Нецентральное распределение хи-квадрат

Нецентральный хи-квадрат

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$k>0\,$ степени свободы $\lambda >0\,$ параметр нецентральности
Поддерживать	$x\in [0,+\infty )\;$
PDF	${\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})$
CDF	$1-Q_{\frac {k}{2}}\left({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}}\right)$ с Q-функцией Маркума $Q_{M}(a,b)$
Иметь в виду	$k+\lambda \,$
Дисперсия	$2(k+2\lambda )\,$
асимметрия	${\frac {2^{3/2}(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )^{3/2}}}$
Избыточный эксцесс	${\frac {12(k+4\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}$
МГФ	${\frac {\exp \left({\frac {\lambda t}{1-2t}}\right)}{(1-2t)^{k/2}}}{\text{ for }}2t<1$
CF	${\frac {\exp \left({\frac {i\lambda t}{1-2it}}\right)}{(1-2it)^{k/2}}}$

В теории вероятностей и статистике нецентральное распределение хи-квадрат (или нецентральное распределение хи-квадрат, нецентральное распределение хи-квадрат). $\chi ^{2}$ распределение ) является нецентральным обобщением распределения хи-квадрат . Это часто возникает при анализе мощности статистических тестов, в которых нулевое распределение является (возможно, асимптотически) распределением хи-квадрат; Важными примерами таких тестов являются тесты отношения правдоподобия .

Определения

Фон

Позволять $(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{i},\ldots ,X_{k})$ быть k независимыми нормально распределенными случайными величинами со средними значениями $\mu _{i}$ и единичные отклонения. Тогда случайная величина

$\sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}$

распределяется согласно нецентральному распределению хи-квадрат. Он имеет два параметра: $k$ который определяет количество степеней свободы (т.е. количество $X_{i}$), и $\lambda$ что связано со средним значением случайных величин $X_{i}$ к:

$\lambda =\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}^{2}.$

$\lambda$ иногда называют параметром нецентральности . Обратите внимание, что некоторые ссылки определяют $\lambda$ другими способами, например, половиной указанной выше суммы или ее квадратным корнем.

Это распределение возникает в многомерной статистике как производная от многомерного нормального распределения . В то время как центральное распределение хи-квадрат представляет собой квадрат нормы вектора случайного с $N(0_{k},I_{k})$ распределение (т. е. квадрат расстояния от начала координат до точки, случайно взятой из этого распределения), нецентральное $\chi ^{2}$ – квадрат нормы случайного вектора с $N(\mu ,I_{k})$ распределение. Здесь $0_{k}$ — нулевой вектор длины k , $\mu =(\mu _{1},\ldots ,\mu _{k})$ и $I_{k}$ — единичная матрица размера k .

Плотность

Функция плотности вероятности (pdf) определяется выражением

$f_{X}(x;k,\lambda )=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{i}}{i!}}f_{Y_{k+2i}}(x),$

где $Y_{q}$ распределяется как хи-квадрат с $q$ степени свободы.

Из этого представления видно, что нецентральное распределение хи-квадрат представляет собой взвешенную по Пуассону смесь центральных распределений хи-квадрат. Предположим, что случайная величина J имеет распределение Пуассона со средним значением $\lambda /2$, а распределение Z k при условии J = i является хи-квадрат с условное + 2 i степенями свободы. Тогда безусловное распределение Z степенями является нецентральным хи-квадрат с k свободы, а параметр нецентральности $\lambda$.

Альтернативно, PDF-файл можно записать как

$f_{X}(x;k,\lambda )={\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})$

где $I_{\nu }(y)$ представляет собой модифицированную функцию Бесселя первого рода, определяемую формулой

$I_{\nu }(y)=(y/2)^{\nu }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(y^{2}/4)^{j}}{j!\Gamma (\nu +j+1)}}.$

Используя связь между функциями Бесселя и гипергеометрическими функциями , PDF-файл также можно записать как:

$f_{X}(x;k,\lambda )={{\rm {e}}^{-\lambda /2}}_{0}F_{1}(;k/2;\lambda x/4){\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}{\rm {e}}^{-x/2}x^{k/2-1}.$

Случай k = 0 ( нулевые степени свободы ), и в этом случае распределение имеет дискретную составляющую в нуле,обсуждается Торгерсеном (1972) и далее Сигелом (1979).

Получение PDF-файла

Вывод функции плотности вероятности проще всего выполнить, выполнив следующие шаги:

1. С $X_{1},\ldots ,X_{k}$ имеют единичные дисперсии, их совместное распределение сферически симметрично, вплоть до смещения местоположения.
2. Тогда сферическая симметрия означает, что распределение $X=X_{1}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}$ зависит от средства только через квадрат длины, $\lambda =\mu _{1}^{2}+\cdots +\mu _{k}^{2}$. Поэтому без ограничения общности можно принять $\mu _{1}={\sqrt {\lambda }}$ и $\mu _{2}=\cdots =\mu _{k}=0$.
3. Теперь вычислим плотность $X=X_{1}^{2}$ (т.е. случай k = 1). Простое преобразование случайных величин показывает, что

${\begin{aligned}f_{X}(x,1,\lambda )&={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\left(\phi ({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+\phi ({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}e^{-(x+\lambda )/2}\cosh({\sqrt {\lambda x}}),\end{aligned}}$

где $\phi (\cdot )$ — стандартная нормальная плотность.

1. Разложите член Коша в ряд Тейлора . Это дает представление плотности в виде взвешенной по Пуассону смеси, все еще для k = 1. Индексы случайных величин хи-квадрат в приведенном выше ряду в этом случае равны 1 + 2 i .
2. Наконец, для общего случая. Мы предположили, не ограничивая общности, что $X_{2},\ldots ,X_{k}$ стандартно нормальны, и поэтому $X_{2}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}$ имеет центральное распределение хи-квадрат с ( k - 1) степенями свободы, независимыми от $X_{1}^{2}$. Используя представление смеси, взвешенной по Пуассону, для $X_{1}^{2}$, а также тот факт, что сумма случайных величин хи-квадрат также является хи-квадратом, завершает результат. Индексы в ряду: (1 + 2 i ) + ( k − 1) = k + 2 i , как и требуется.

Характеристики

Функция генерации момента

имеет Создающая момент функция вид

$M(t;k,\lambda )={\frac {\exp \left({\frac {\lambda t}{1-2t}}\right)}{(1-2t)^{k/2}}}.$

Моменты

Первые несколько резких моментов :

$\mu '_{1}=k+\lambda$

$\mu '_{2}=(k+\lambda )^{2}+2(k+2\lambda )$

$\mu '_{3}=(k+\lambda )^{3}+6(k+\lambda )(k+2\lambda )+8(k+3\lambda )$

$\mu '_{4}=(k+\lambda )^{4}+12(k+\lambda )^{2}(k+2\lambda )+4(11k^{2}+44k\lambda +36\lambda ^{2})+48(k+4\lambda ).$

Первые несколько центральных моментов таковы:

$\mu _{2}=2(k+2\lambda )\,$

$\mu _{3}=8(k+3\lambda )\,$

$\mu _{4}=12(k+2\lambda )^{2}+48(k+4\lambda )\,$

кумулянт n й ​ -

$\kappa _{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda ).\,$

Следовательно

$\mu '_{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda )+\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {(n-1)!2^{j-1}}{(n-j)!}}(k+j\lambda )\mu '_{n-j}.$

Кумулятивная функция распределения

Опять же, используя соотношение между центральным и нецентральным распределениями хи-квадрат, кумулятивную функцию распределения (cdf) можно записать как

$P(x;k,\lambda )=e^{-\lambda /2}\;\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}Q(x;k+2j)$

где $Q(x;k)\,$ - кумулятивная функция распределения центрального распределения хи-квадрат с k степенями свободы, которая определяется выражением

$Q(x;k)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,$

и где $\gamma (k,z)\,$ — нижняя неполная гамма-функция .

Маркума Q-функция $Q_{M}(a,b)$ также может использоваться для представления cdf.

$P(x;k,\lambda )=1-Q_{\frac {k}{2}}\left({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}}\right)$

Когда степени свободы k являются положительным нечетным целым числом, мы имеем выражение в замкнутой форме для дополнительной кумулятивной функции распределения, определяемой формулой

${\begin{aligned}P(x;2n+1,\lambda )&=1-Q_{n+1/2}({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}})\\&=1-\left[Q({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+Q({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})+e^{-(x+\lambda )/2}\sum _{m=1}^{n}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{m/2-1/4}I_{m-1/2}({\sqrt {\lambda x}})\right],\end{aligned}}$

где n — неотрицательное целое число, Q — гауссова Q-функция , а I — модифицированная функция Бесселя первого рода с полуцелым порядком. Модифицированная функция Бесселя первого рода с полуцелым порядком сама по себе может быть представлена ​​в виде конечной суммы через гиперболические функции .

В частности, для k = 1 имеем

$P(x;1,\lambda )=1-\left[Q({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+Q({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})\right].$

Кроме того, для k = 3 имеем

$P(x;3,\lambda )=1-\left[Q({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+Q({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})+{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh({\sqrt {\lambda x}})}{\sqrt {\lambda }}}e^{-(x+\lambda )/2}\right].$

Аппроксимация (в том числе для квантилей)

Абдель-Аты выводит (как «первое приближение») нецентральное преобразование Вильсона – Хилферти :

$\left({\frac {\chi '^{2}}{k+\lambda }}\right)^{\frac {1}{3}}$ примерно нормально распределено , $\sim {\mathcal {N}}\left(1-{\frac {2}{9f}},{\frac {2}{9f}}\right),$ то есть,

$P(x;k,\lambda )\approx \Phi \left\{{\frac {\left({\frac {x}{k+\lambda }}\right)^{1/3}-\left(1-{\frac {2}{9f}}\right)}{\sqrt {\frac {2}{9f}}}}\right\},{\text{where }}\ f:={\frac {(k+\lambda )^{2}}{k+2\lambda }}=k+{\frac {\lambda ^{2}}{k+2\lambda }},$

что довольно точно и хорошо адаптируется к нецентральности. Также, $f=f(k,\lambda )$ становится $f=k$ для $\lambda =0$, (центральный) случай хи-квадрат .

Шанкаран обсуждается ряд в замкнутой форме аппроксимаций для кумулятивной функции распределения . В более ранней статье он вывел и формулирует следующее приближение:

$P(x;k,\lambda )\approx \Phi \left\{{\frac {({\frac {x}{k+\lambda }})^{h}-(1+hp(h-1-0.5(2-h)mp))}{h{\sqrt {2p}}(1+0.5mp)}}\right\}$

где

$\Phi \lbrace \cdot \rbrace \,$ обозначает кумулятивную функцию распределения стандартного нормального распределения ;

$h=1-{\frac {2}{3}}{\frac {(k+\lambda )(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}\,;$

$p={\frac {k+2\lambda }{(k+\lambda )^{2}}};$

$m=(h-1)(1-3h)\,.$

Это и другие приближения обсуждаются в более позднем учебнике.

Совсем недавно, поскольку CDF нецентрального распределения хи-квадрат с нечетной степенью свободы можно точно вычислить, CDF для четной степени свободы можно аппроксимировать, используя свойства монотонности и логарифмической вогнутости функции Marcum-Q как

$P(x;2n,\lambda )\approx {\frac {1}{2}}\left[P(x;2n-1,\lambda )+P(x;2n+1,\lambda )\right].$

Другое приближение, которое также служит верхней границей, определяется выражением

$P(x;2n,\lambda )\approx 1-\left[(1-P(x;2n-1,\lambda ))(1-P(x;2n+1,\lambda ))\right]^{1/2}.$

Для заданной вероятности эти формулы легко обратить, чтобы получить соответствующее приближение для $x$, для вычисления приблизительных квантилей.

Связанные дистрибутивы

• Если $V$ по хи-квадрату распределено $V\sim \chi _{k}^{2}$ затем $V$ также распределено нецентрально по хи-квадрату: $V\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)$
• Линейная комбинация независимых нецентральных переменных хи-квадрат $\xi =\sum _{i}\lambda _{i}Y_{i}+c,\quad Y_{i}\sim \chi '^{2}(m_{i},\delta _{i}^{2})$, является обобщенным распределением хи-квадрат .
• Если $V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda )$ и $V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(0)$ и $V_{1}$ не зависит от $V_{2}$ тогда нецентральная F -распределенная переменная определяется как ${\frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}\sim F'_{k_{1},k_{2}}(\lambda )$
• Если $J\sim \mathrm {Poisson} \left({{\frac {1}{2}}\lambda }\right)$, затем $\chi _{k+2J}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda )$
• Если $V\sim {\chi '}_{2}^{2}(\lambda )$, затем ${\sqrt {V}}$ принимает распределение Райса с параметром ${\sqrt {\lambda }}$.
• Нормальное приближение: если $V\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda )$, затем ${\frac {V-(k+\lambda )}{\sqrt {2(k+2\lambda )}}}\to N(0,1)$ в распределении как либо $k\to \infty$ или $\lambda \to \infty$.
• Если $V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda _{1})$и $V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(\lambda _{2})$, где $V_{1},V_{2}$ независимы, то $W=(V_{1}+V_{2})\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda _{1}+\lambda _{2})$ где $k=k_{1}+k_{2}$.
• В общем случае для конечного набора $V_{i}\sim {\chi '}_{k_{i}}^{2}(\lambda _{i}),i\in \left\{1..N\right\}$, сумма этих нецентральных распределенных случайных величин по хи-квадрату $Y=\sum _{i=1}^{N}V_{i}$ имеет распределение $Y\sim {\chi '}_{k_{y}}^{2}(\lambda _{y})$ где $k_{y}=\sum _{i=1}^{N}k_{i},\lambda _{y}=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}$. Это можно увидеть с помощью функций, генерирующих момент, следующим образом: $M_{Y}(t)=M_{\sum _{i=1}^{N}V_{i}}(t)=\prod _{i=1}^{N}M_{V_{i}}(t)$ благодаря независимости $V_{i}$ случайные переменные. Осталось подключить MGF для нецентральных распределений хи-квадрат к произведению и вычислить новый MGF – это оставлено в качестве упражнения. В качестве альтернативы это можно рассматривать через интерпретацию в разделе «Общие сведения» выше как суммы квадратов независимых нормально распределенных случайных величин с дисперсией 1 и указанными средними значениями.
• Сложное нецентральное распределение хи-квадрат находит применение в радиосвязи и радиолокационных системах. Позволять $(z_{1},\ldots ,z_{k})$ быть независимыми скалярными комплексными случайными величинами с нецентральной круговой симметрией, средствами $\mu _{i}$ и единичные отклонения: $\operatorname {E} \left|z_{i}-\mu _{i}\right|^{2}=1$. Тогда реальная случайная величина $S=\sum _{i=1}^{k}\left|z_{i}\right|^{2}$ распределяется в соответствии со сложным нецентральным распределением хи-квадрат, которое фактически представляет собой масштабированное (на 1/2) нецентральное распределение. ${\chi '}^{2}$ с удвоенной степенью свободы и удвоенным параметром нецентральности:

$f_{S}(S)=\left({\frac {S}{\lambda }}\right)^{(k-1)/2}e^{-(S+\lambda )}I_{k-1}(2{\sqrt {S\lambda }})$

где $\lambda =\sum _{i=1}^{k}\left|\mu _{i}\right|^{2}.$

Преобразования

Шанкаран (1963) обсуждает преобразования формы $z=[(X-b)/(k+\lambda )]^{1/2}$. анализирует разложения кумулянтов Он $z$ до срока $O((k+\lambda )^{-4})$ и показывает, что следующие варианты выбора $b$ дают разумные результаты:

• $b=(k-1)/2$ составляет второй кумулянт $z$ примерно независимо от $\lambda$
• $b=(k-1)/3$ составляет третий кумулянт $z$ примерно независимо от $\lambda$
• $b=(k-1)/4$ составляет четвертый кумулянт $z$ примерно независимо от $\lambda$

Также более простое преобразование $z_{1}=(X-(k-1)/2)^{1/2}$ может использоваться как преобразование, стабилизирующее дисперсию , которое создает случайную величину со средним значением $(\lambda +(k-1)/2)^{1/2}$ и дисперсия $O((k+\lambda )^{-2})$.

Удобство этих преобразований может быть затруднено из-за необходимости извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

Различные распределения хи и хи-квадрат

Имя	Статистика
распределение хи-квадрат	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
нецентральное распределение хи-квадрат	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
распределение ци	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$
нецентральное распределение ци	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Возникновение и применение

Использование в интервалах допуска

Двусторонние нормальные регрессии интервалы допуска могут быть получены на основе нецентрального распределения хи-квадрат. Это позволяет рассчитать статистический интервал, в который с некоторым уровнем достоверности попадает определенная доля выборочной совокупности.

Ссылки

• Абрамовиц М. и Стегун И.А. (1972), Справочник по математическим функциям , Дувр.
• Джонсон, Н.Л., Коц, С., Балакришнан, Н. (1995), Непрерывные одномерные распределения, Том 2 (2-е издание) , Wiley. ISBN   0-471-58494-0
• Мюрхед, Р. (2005) Аспекты многомерной статистической теории (2-е издание). Уайли. ISBN   0-471-76985-1
• Торгерсен, Э.Н. (1972), «Дополнительные примечания к линейным моделям», серия препринтов: Статистические мемуары, факультет математики, Университет Осло, http://urn.nb.no/URN:NBN:no-58681
• Сигел, А.Ф. (1979), «Нецентральное распределение хи-квадрат с нулевыми степенями свободы и проверка на однородность», Biometrika , 66, 381–386.
• Пресс, С.Дж. (1966), «Линейные комбинации нецентральных переменных хи-квадрат», Анналы математической статистики , 37 (2): 480–487, doi : 10.1214/aoms/1177699531 , JSTOR   2238621