Нецентральное распределение ци

Нецентральная ци

Параметры	$k>0\,$ степени свободы $\lambda >0\,$
Поддерживать	$x\in [0;+\infty )\,$
PDF	${\frac {e^{-(x^{2}+\lambda ^{2})/2}x^{k}\lambda }{(\lambda x)^{k/2}}}I_{k/2-1}(\lambda x)$
CDF	$1-Q_{\frac {k}{2}}\left(\lambda ,x\right)$ с Q-функцией Маркума $Q_{M}(a,b)$
Иметь в виду	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{1/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)\,$
Дисперсия	$k+\lambda ^{2}-\mu ^{2}$, где $\mu$ это среднее

В теории вероятностей и статистике нецентральное распределение хи является нецентральным обобщением распределения ци . Оно также известно как обобщенное распределение Рэлея.

Определение

Если $X_{i}$ являются k независимыми нормально распределенными случайными величинами со средними значениями $\mu _{i}$ и отклонения $\sigma _{i}^{2}$, то статистика

$Z={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

распределяется в соответствии с нецентральным распределением ци. Нецентральное распределение ци имеет два параметра: $k$ который определяет количество степеней свободы (т.е. количество $X_{i}$), и $\lambda$ что связано со средним значением случайных величин $X_{i}$ к:

$\lambda ={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Характеристики

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (pdf) равна

$f(x;k,\lambda )={\frac {e^{-(x^{2}+\lambda ^{2})/2}x^{k}\lambda }{(\lambda x)^{k/2}}}I_{k/2-1}(\lambda x)$

где $I_{\nu }(z)$ представляет собой модифицированную функцию Бесселя первого рода.

Сырые моменты

Первые несколько резких моментов :

$\mu _{1}^{'}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{1/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)$

$\mu _{2}^{'}=k+\lambda ^{2}$

$\mu _{3}^{'}=3{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{3/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)$

$\mu _{4}^{'}=(k+\lambda ^{2})^{2}+2(k+2\lambda ^{2})$

где $L_{n}^{(a)}(z)$ является функцией Лагерра . Обратите внимание, что 2 $n$этот момент такой же, как и $n$-й момент нецентрального распределения хи-квадрат с $\lambda$ заменяется на $\lambda ^{2}$.

Двумерное нецентральное распределение ци

Позволять $X_{j}=(X_{1j},X_{2j}),j=1,2,\dots n$, представляет собой набор из n независимых и одинаково распределенных двумерных нормальных случайных векторов с маргинальными распределениями. $N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,2$, корреляция $\rho$, а также средний вектор и ковариационная матрица

$E(X_{j})=\mu =(\mu _{1},\mu _{2})^{T},\qquad \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{bmatrix}},$

с $\Sigma$ положительный определенный . Определять

$U=\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {X_{1j}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\right]^{1/2},\qquad V=\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {X_{2j}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right]^{1/2}.$

Тогда совместное распределение U , V является центральным или нецентральным двумерным распределением хи с n степенями свободы . Если один или оба $\mu _{1}\neq 0$ или $\mu _{2}\neq 0$ распределение представляет собой нецентральное двумерное распределение хи.

Связанные дистрибутивы

• Если $X$ — случайная величина с нецентральным распределением ци, случайная величина $X^{2}$ будет иметь нецентральное распределение хи-квадрат . Другие связанные дистрибутивы можно увидеть там.
• Если $X$ распределена ли ци : $X\sim \chi _{k}$ затем $X$ также распределяется нецентральная ци: $X\sim NC\chi _{k}(0)$. Другими словами, распределение хи является частным случаем нецентрального распределения хи (т. е. с нулевым параметром нецентральности).
• Нецентральное распределение ци с двумя степенями свободы эквивалентно распределению Райса с $\sigma =1$.
• Если X следует нецентральному распределению хи с 1 степенью свободы и параметром нецентральности λ, то σ X следует свернутому нормальному распределению , параметры которого равны σλ и σ. ² для любого значения σ.