Q-функция Маркума

В статистике обобщенная Q-функция Маркума порядка $\nu$ определяется как

$Q_{\nu }(a,b)={\frac {1}{a^{\nu -1}}}\int _{b}^{\infty }x^{\nu }\exp \left(-{\frac {x^{2}+a^{2}}{2}}\right)I_{\nu -1}(ax)\,dx$

где $b\geq 0$ и $a,\nu >0$ и $I_{\nu -1}$ — модифицированная функция Бесселя первого рода $\nu -1$. Если $b>0$, интеграл сходится для любого $\nu$. Q-функция Маркума возникает как дополнительная кумулятивная функция распределения для нецентрального распределения хи , нецентрального хи-квадрат и распределения Райса . В технике эта функция появляется при исследовании радиолокационных систем, систем связи, систем массового обслуживания и обработки сигналов. Впервые эта функция была изучена для $\nu =1$и, следовательно, назван в честь Джесса Маркума для импульсных радаров.

Характеристики

Конечное интегральное представление

Используя тот факт, что $Q_{\nu }(a,0)=1$, обобщенную Q-функцию Маркума можно альтернативно определить как конечный интеграл как

$Q_{\nu }(a,b)=1-{\frac {1}{a^{\nu -1}}}\int _{0}^{b}x^{\nu }\exp \left(-{\frac {x^{2}+a^{2}}{2}}\right)I_{\nu -1}(ax)\,dx.$

Однако предпочтительно иметь интегральное представление Q-функции Маркума такое, чтобы (i) пределы интеграла не зависели от аргументов функции, (ii) и чтобы пределы были конечными, (iii) и чтобы подынтегральная функция является гауссовой функцией этих аргументов. Для положительных целочисленных значений $\nu =n$, такое представление дается тригонометрическим интегралом

$Q_{n}(a,b)=\left\{{\begin{array}{lr}H_{n}(a,b)&a<b,\\{\frac {1}{2}}+H_{n}(a,a)&a=b,\\1+H_{n}(a,b)&a>b,\end{array}}\right.$

где

$H_{n}(a,b)={\frac {\zeta ^{1-n}}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\right)\int _{0}^{2\pi }{\frac {\cos(n-1)\theta -\zeta \cos n\theta }{1-2\zeta \cos \theta +\zeta ^{2}}}\exp(ab\cos \theta )\mathrm {d} \theta ,$

и соотношение $\zeta =a/b$ является константой.

Для любого реального $\nu >0$, такой конечный тригонометрический интеграл имеет вид

$Q_{\nu }(a,b)=\left\{{\begin{array}{lr}H_{\nu }(a,b)+C_{\nu }(a,b)&a<b,\\{\frac {1}{2}}+H_{\nu }(a,a)+C_{\nu }(a,b)&a=b,\\1+H_{\nu }(a,b)+C_{\nu }(a,b)&a>b,\end{array}}\right.$

где $H_{n}(a,b)$ как определено ранее, $\zeta =a/b$, а дополнительный поправочный член определяется выражением

$C_{\nu }(a,b)={\frac {\sin(\nu \pi )}{\pi }}\exp \left(-{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\right)\int _{0}^{1}{\frac {(x/\zeta )^{\nu -1}}{\zeta +x}}\exp \left[-{\frac {ab}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right]\mathrm {d} x.$

Для целочисленных значений $\nu$, срок поправки $C_{\nu }(a,b)$ имеют тенденцию исчезать.

Монотонность и лог-вогнутость

• Обобщенная Q-функция Маркума $Q_{\nu }(a,b)$ строго увеличивается в $\nu$ и $a$ для всех $a\geq 0$ и $b,\nu >0$, и строго убывает по $b$ для всех $a,b\geq 0$ и $\nu >0.$

• Функция $\nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)$ логарифмически вогнутый ​ $[1,\infty )$ для всех $a,b\geq 0.$

• Функция $b\mapsto Q_{\nu }(a,b)$ строго логарифмически вогнута $(0,\infty )$ для всех $a\geq 0$ и $\nu >1$, что означает, что обобщенная Q-функция Маркума удовлетворяет свойству «новое лучше, чем использованное».

• Функция $a\mapsto 1-Q_{\nu }(a,b)$ логарифмически вогнутый $[0,\infty )$ для всех $b,\nu >0.$

Представление серии

• Обобщенная Q-функция Маркума порядка $\nu >0$ может быть представлено с использованием неполной гамма-функции как

$Q_{\nu }(a,b)=1-e^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {\gamma (\nu +k,{\frac {b^{2}}{2}})}{\Gamma (\nu +k)}}\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k},$

где $\gamma (s,x)$ — нижняя неполная гамма-функция . Обычно это называют каноническим представлением $\nu$Обобщенная Q-функция Маркума -го порядка.

• Обобщенная Q-функция Маркума порядка $\nu >0$ также можно представить с помощью обобщенных полиномов Лагерра как

$Q_{\nu }(a,b)=1-e^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {L_{k}^{(\nu -1)}({\frac {a^{2}}{2}})}{\Gamma (\nu +k+1)}}\left({\frac {b^{2}}{2}}\right)^{k+\nu },$

где $L_{k}^{(\alpha )}(\cdot )$ – обобщенный полином Лагерра степени $k$ и порядка $\alpha$.

• Обобщенная Q-функция порядка Маркума $\nu >0$ также можно представить в виде разложения в ряд Неймана

$Q_{\nu }(a,b)=e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{\alpha =1-\nu }^{\infty }\left({\frac {a}{b}}\right)^{\alpha }I_{-\alpha }(ab),$

$1-Q_{\nu }(a,b)=e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{\alpha =\nu }^{\infty }\left({\frac {b}{a}}\right)^{\alpha }I_{\alpha }(ab),$

где суммирование ведется с шагом в единицу. Обратите внимание, что когда $\alpha$ принимает целое значение, мы имеем $I_{\alpha }(ab)=I_{-\alpha }(ab)$.

• Для неотрицательных полуцелых значений $\nu =n+1/2$, мы имеем выражение в замкнутой форме для обобщенной Q-функции Маркума как

$Q_{n+1/2}(a,b)={\frac {1}{2}}\left[\mathrm {erfc} \left({\frac {b-a}{\sqrt {2}}}\right)+\mathrm {erfc} \left({\frac {b+a}{\sqrt {2}}}\right)\right]+e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {b}{a}}\right)^{k-1/2}I_{k-1/2}(ab),$

где $\mathrm {erfc} (\cdot )$ — дополнительная функция ошибок . Поскольку функции Бесселя с полуцелым параметром имеют разложение в конечную сумму как

$I_{\pm (n+0.5)}(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{k!(n-k)!}}\left[{\frac {(-1)^{k}e^{z}\mp (-1)^{n}e^{-z}}{(2z)^{k+0.5}}}\right],$

где $n$ является неотрицательным целым числом, мы можем точно представить обобщенную Q-функцию Маркума с полуцелым параметром. Точнее, мы имеем

$Q_{n+1/2}(a,b)=Q(b-a)+Q(b+a)+{\frac {1}{b{\sqrt {2\pi }}}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {b}{a}}\right)^{i}\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {(i+k-1)!}{k!(i-k-1)!}}\left[{\frac {(-1)^{k}e^{-(a-b)^{2}/2}+(-1)^{i}e^{-(a+b)^{2}/2}}{(2ab)^{k}}}\right],$

для неотрицательных целых чисел $n$, где $Q(\cdot )$ — гауссова Q-функция . В качестве альтернативы мы также можем более компактно выразить функции Бесселя с полуцелым числом как сумму гиперболических функций синуса и косинуса:

$I_{n+{\frac {1}{2}}}(z)={\sqrt {\frac {2z}{\pi }}}\left[g_{n}(z)\sinh(z)+g_{-n-1}(z)\cosh(z)\right],$

где $g_{0}(z)=z^{-1}$, $g_{1}(z)=-z^{-2}$, и $g_{n-1}(z)-g_{n+1}(z)=(2n+1)z^{-1}g_{n}(z)$ для любого целого значения $n$.

Рекуррентное соотношение и производящая функция

• Интегрируя по частям, можно показать, что обобщенная Q-функция Маркума удовлетворяет следующему рекуррентному соотношению

$Q_{\nu +1}(a,b)-Q_{\nu }(a,b)=\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{\nu }(ab).$

• Приведенную выше формулу легко обобщить как

$Q_{\nu -n}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)-\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {a}{b}}\right)^{k}I_{\nu -k}(ab),$

$Q_{\nu +n}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)+\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{k}I_{\nu +k}(ab),$

для положительного целого числа $n$. Первую рекуррентность можно использовать для формального определения обобщенной Q-функции Маркума для отрицательных значений. $\nu$. принимая $Q_{\infty }(a,b)=1$ и $Q_{-\infty }(a,b)=0$ для $n=\infty$, мы получаем представление обобщенной Q-функции Маркума в виде ряда Неймана.

• Соответствующее трехчленное рекуррентное соотношение имеет вид

$Q_{\nu +1}(a,b)-(1+c_{\nu }(a,b))Q_{\nu }(a,b)+c_{\nu }(a,b)Q_{\nu -1}(a,b)=0,$

где

$c_{\nu }(a,b)=\left({\frac {b}{a}}\right){\frac {I_{\nu }(ab)}{I_{\nu +1}(ab)}}.$

Мы можем исключить появление функции Бесселя, чтобы получить рекуррентное соотношение третьего порядка

${\frac {a^{2}}{2}}Q_{\nu +2}(a,b)=\left({\frac {a^{2}}{2}}-\nu \right)Q_{\nu +1}(a,b)+\left({\frac {b^{2}}{2}}+\nu \right)Q_{\nu }(a,b)-{\frac {b^{2}}{2}}Q_{\nu -1}(a,b).$

• Другое рекуррентное соотношение, связывающее его с его производными, имеет вид

$Q_{\nu +1}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)+{\frac {1}{a}}{\frac {\partial }{\partial a}}Q_{\nu }(a,b),$

$Q_{\nu -1}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)+{\frac {1}{b}}{\frac {\partial }{\partial b}}Q_{\nu }(a,b).$

• Обычная производящая функция $Q_{\nu }(a,b)$ для интеграла $\nu$ является

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}Q_{n}(a,b)=e^{-(a^{2}+b^{2})/2}{\frac {t}{1-t}}e^{(b^{2}t+a^{2}/t)/2},$

где $|t|<1.$

Отношение симметрии

• Используя два представления ряда Неймана, мы можем получить следующее соотношение симметрии для положительного интеграла $\nu =n$

$Q_{n}(a,b)+Q_{n}(b,a)=1+e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\left[I_{0}(ab)+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {a^{2k}+b^{2k}}{(ab)^{k}}}I_{k}(ab)\right].$

В частности, для $n=1$ у нас есть

$Q_{1}(a,b)+Q_{1}(b,a)=1+e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{0}(ab).$

Особые значения

Некоторые конкретные значения функции Marcum-Q:

• $Q_{\nu }(0,0)=1,$
• $Q_{\nu }(a,0)=1,$
• $Q_{\nu }(a,+\infty )=0,$
• $Q_{\nu }(0,b)={\frac {\Gamma (\nu ,b^{2}/2)}{\Gamma (\nu )}},$
• $Q_{\nu }(+\infty ,b)=1,$
• $Q_{\infty }(a,b)=1,$
• Для $a=b$, вычитая две формы представлений ряда Неймана, мы имеем

$Q_{1}(a,a)={\frac {1}{2}}[1+e^{-a^{2}}I_{0}(a^{2})],$

что в сочетании с рекурсивной формулой дает

$Q_{n}(a,a)={\frac {1}{2}}[1+e^{-a^{2}}I_{0}(a^{2})]+e^{-a^{2}}\sum _{k=1}^{n-1}I_{k}(a^{2}),$

$Q_{-n}(a,a)={\frac {1}{2}}[1+e^{-a^{2}}I_{0}(a^{2})]-e^{-a^{2}}\sum _{k=1}^{n}I_{k}(a^{2}),$

для любого неотрицательного целого числа $n$.

• Для $\nu =1/2$, используя базовое интегральное определение обобщенной Q-функции Маркума, мы имеем

$Q_{1/2}(a,b)={\frac {1}{2}}\left[\mathrm {erfc} \left({\frac {b-a}{\sqrt {2}}}\right)+\mathrm {erfc} \left({\frac {b+a}{\sqrt {2}}}\right)\right].$

• Для $\nu =3/2$, у нас есть

$Q_{3/2}(a,b)=Q_{1/2}(a,b)+{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {\sinh(ab)}{a}}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}.$

• Для $\nu =5/2$ у нас есть

$Q_{5/2}(a,b)=Q_{3/2}(a,b)+{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {ab\cosh(ab)-\sinh(ab)}{a^{3}}}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}.$

Асимптотические формы

• Предполагая $\nu$ быть исправлено и $ab$ большой, пусть $\zeta =a/b>0$, то обобщенная функция Marcum-Q имеет следующую асимптотику

$Q_{\nu }(a,b)\sim \sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n},$

где $\psi _{n}$ дается

$\psi _{n}={\frac {1}{2\zeta ^{\nu }{\sqrt {2\pi }}}}(-1)^{n}\left[A_{n}(\nu -1)-\zeta A_{n}(\nu )\right]\phi _{n}.$

Функции $\phi _{n}$ и $A_{n}$ даны

$\phi _{n}=\left[{\frac {(b-a)^{2}}{2ab}}\right]^{n-{\frac {1}{2}}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n,{\frac {(b-a)^{2}}{2}}\right),$

$A_{n}(\nu )={\frac {2^{-n}\Gamma ({\frac {1}{2}}+\nu +n)}{n!\Gamma ({\frac {1}{2}}+\nu -n)}}.$

Функция $A_{n}(\nu )$ удовлетворяет рекурсии

$A_{n+1}(\nu )=-{\frac {(2n+1)^{2}-4\nu ^{2}}{8(n+1)}}A_{n}(\nu ),$

для $n\geq 0$ и $A_{0}(\nu )=1.$

• В первом члене приведенного выше асимптотического приближения имеем

$\phi _{0}={\frac {\sqrt {2\pi ab}}{b-a}}\mathrm {erfc} \left({\frac {b-a}{\sqrt {2}}}\right).$

Следовательно, предполагая $b>a$, асимптотическая аппроксимация первого члена обобщенной функции Маркума-Q равна

$Q_{\nu }(a,b)\sim \psi _{0}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}Q(b-a),$

где $Q(\cdot )$ — гауссова Q-функция . Здесь $Q_{\nu }(a,b)\sim 0.5$ как $a\uparrow b.$

Для случая, когда $a>b$, у нас есть

$Q_{\nu }(a,b)\sim 1-\psi _{0}=1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}Q(a-b).$

Здесь тоже $Q_{\nu }(a,b)\sim 0.5$ как $a\downarrow b.$

Дифференциация

• Частная производная $Q_{\nu }(a,b)$ относительно $a$ и $b$ дается

${\frac {\partial }{\partial a}}Q_{\nu }(a,b)=a\left[Q_{\nu +1}(a,b)-Q_{\nu }(a,b)\right]=a\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{\nu }(ab),$

${\frac {\partial }{\partial b}}Q_{\nu }(a,b)=b\left[Q_{\nu -1}(a,b)-Q_{\nu }(a,b)\right]=-b\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu -1}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{\nu -1}(ab).$

Мы можем связать две частные производные как

${\frac {1}{a}}{\frac {\partial }{\partial a}}Q_{\nu }(a,b)+{\frac {1}{b}}{\frac {\partial }{\partial b}}Q_{\nu +1}(a,b)=0.$

• -я n частная производная от $Q_{\nu }(a,b)$ относительно его аргументов определяется выражением

${\frac {\partial ^{n}}{\partial a^{n}}}Q_{\nu }(a,b)=n!(-a)^{n}\sum _{k=0}^{[n/2]}{\frac {(-2a^{2})^{-k}}{k!(n-2k)!}}\sum _{p=0}^{n-k}(-1)^{p}{\binom {n-k}{p}}Q_{\nu +p}(a,b),$

${\frac {\partial ^{n}}{\partial b^{n}}}Q_{\nu }(a,b)={\frac {n!a^{1-\nu }}{2^{n}b^{n-\nu +1}}}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{k=[n/2]}^{n}{\frac {(-2b^{2})^{k}}{(n-k)!(2k-n)!}}\sum _{p=0}^{k-1}{\binom {k-1}{p}}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{p}I_{\nu -p-1}(ab).$

Неравенства

• Обобщенная функция Маркума-Q удовлетворяет неравенству типа Турана

$Q_{\nu }^{2}(a,b)>{\frac {Q_{\nu -1}(a,b)+Q_{\nu +1}(a,b)}{2}}>Q_{\nu -1}(a,b)Q_{\nu +1}(a,b)$

для всех $a\geq b>0$ и $\nu >1$.

Границы

На основе монотонности и логарифмической вогнутости.

Различные верхние и нижние оценки обобщенной функции Маркума-Q можно получить, используя монотонность и логарифмическую вогнутость функции. $\nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)$ и тот факт, что у нас есть выражение в замкнутой форме для $Q_{\nu }(a,b)$ когда $\nu$ имеет полуцелое значение.

Позволять $\lfloor x\rfloor _{0.5}$ и $\lceil x\rceil _{0.5}$ обозначают пару операторов полуцелого округления, отображающих действительное число. $x$ к ближайшему левому и правому полунечетному целому числу соответственно в соответствии с соотношениями

$\lfloor x\rfloor _{0.5}=\lfloor x-0.5\rfloor +0.5$

$\lceil x\rceil _{0.5}=\lceil x+0.5\rceil -0.5$

где $\lfloor x\rfloor$ и $\lceil x\rceil$ обозначают целочисленные функции пола и потолка.

• Монотонность функции $\nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)$ для всех $a\geq 0$ и $b>0$ дает нам следующую простую оценку

$Q_{\lfloor \nu \rfloor _{0.5}}(a,b)<Q_{\nu }(a,b)<Q_{\lceil \nu \rceil _{0.5}}(a,b).$

Однако относительная ошибка этой оценки не стремится к нулю, когда $b\to \infty$. Для интегральных значений $\nu =n$, эта оценка сводится к

$Q_{n-0.5}(a,b)<Q_{n}(a,b)<Q_{n+0.5}(a,b).$

Очень хорошее приближение обобщенной Q-функции Маркума для целочисленных значений. $\nu =n$ получается путем взятия среднего арифметического верхней и нижней границы

$Q_{n}(a,b)\approx {\frac {Q_{n-0.5}(a,b)+Q_{n+0.5}(a,b)}{2}}.$

• Более точную оценку можно получить, используя логарифмическую вогнутость $\nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)$ на $[1,\infty )$ как

$Q_{\nu _{1}}(a,b)^{\nu _{2}-v}Q_{\nu _{2}}(a,b)^{v-\nu _{1}}<Q_{\nu }(a,b)<{\frac {Q_{\nu _{2}}(a,b)^{\nu _{2}-\nu +1}}{Q_{\nu _{2}+1}(a,b)^{\nu _{2}-\nu }}},$

где $\nu _{1}=\lfloor \nu \rfloor _{0.5}$ и $\nu _{2}=\lceil \nu \rceil _{0.5}$ для $\nu \geq 1.5$. Точность этой границы улучшается по мере того, как $a$ или $\nu$ увеличивается. Относительная ошибка этой оценки сходится к 0 при $b\to \infty$. Для интегральных значений $\nu =n$, эта оценка сводится к

${\sqrt {Q_{n-0.5}(a,b)Q_{n+0.5}(a,b)}}<Q_{n}(a,b)<Q_{n+0.5}(a,b){\sqrt {\frac {Q_{n+0.5}(a,b)}{Q_{n+1.5}(a,b)}}}.$

Граница Коши-Шварца

Использование тригонометрического интегрального представления для целочисленных значений $\nu =n$, можно получить следующую оценку Коши-Шварца

$e^{-b^{2}/2}\leq Q_{n}(a,b)\leq \exp \left[-{\frac {1}{2}}(b^{2}+a^{2})\right]{\sqrt {I_{0}(2ab)}}{\sqrt {{\frac {2n-1}{2}}+{\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(1-\zeta ^{2})}}}},\qquad \zeta <1,$

$1-Q_{n}(a,b)\leq \exp \left[-{\frac {1}{2}}(b^{2}+a^{2})\right]{\sqrt {I_{0}(2ab)}}{\sqrt {\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(\zeta ^{2}-1)}}},\qquad \zeta >1,$

где $\zeta =a/b>0$.

Границы экспоненциального типа

Для аналитических целей часто бывает полезно иметь границы в простой экспоненциальной форме, даже если они могут быть не самыми точными из достижимых границ. Сдача в аренду $\zeta =a/b>0$, одна такая граница для целочисленного значения $\nu =n$ дается как

$e^{-(b+a)^{2}/2}\leq Q_{n}(a,b)\leq e^{-(b-a)^{2}/2}+{\frac {\zeta ^{1-n}-1}{\pi (1-\zeta )}}\left[e^{-(b-a)^{2}/2}-e^{-(b+a)^{2}/2}\right],\qquad \zeta <1,$

$Q_{n}(a,b)\geq 1-{\frac {1}{2}}\left[e^{-(a-b)^{2}/2}-e^{-(a+b)^{2}/2}\right],\qquad \zeta >1.$

Когда $n=1$, оценка упрощается и дает

$e^{-(b+a)^{2}/2}\leq Q_{1}(a,b)\leq e^{-(b-a)^{2}/2},\qquad \zeta <1,$

$1-{\frac {1}{2}}\left[e^{-(a-b)^{2}/2}-e^{-(a+b)^{2}/2}\right]\leq Q_{1}(a,b),\qquad \zeta >1.$

Другая такая оценка, полученная с помощью неравенства Коши-Шварца, имеет вид

$e^{-b^{2}/2}\leq Q_{n}(a,b)\leq {\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {2n-1}{2}}+{\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(1-\zeta ^{2})}}}}\left[e^{-(b-a)^{2}/2}+e^{-(b+a)^{2}/2}\right],\qquad \zeta <1$

$Q_{n}(a,b)\geq 1-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(\zeta ^{2}-1)}}}\left[e^{-(b-a)^{2}/2}+e^{-(b+a)^{2}/2}\right],\qquad \zeta >1.$

Граница типа Чернова

Границы типа Чернова для обобщенной Q-функции Маркума, где $\nu =n$ является целым числом, задается формулой

$(1-2\lambda )^{-n}\exp \left(-\lambda b^{2}+{\frac {\lambda na^{2}}{1-2\lambda }}\right)\geq \left\{{\begin{array}{lr}Q_{n}(a,b),&b^{2}>n(a^{2}+2)\\1-Q_{n}(a,b),&b^{2}<n(a^{2}+2)\end{array}}\right.$

где параметр Чернова $(0<\lambda <1/2)$ имеет оптимальное значение $\lambda _{0}$ из

$\lambda _{0}={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {n}{b^{2}}}-{\frac {n}{b^{2}}}{\sqrt {1+{\frac {(ab)^{2}}{n}}}}\right).$

Полулинейное приближение

Функция Marcum-Q первого порядка может быть полулинейно аппроксимирована формулой

${\begin{aligned}Q_{1}(a,b)={\begin{cases}1,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm {if} ~b<c_{1}\\-\beta _{0}e^{-{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+\left(\beta _{0}\right)^{2}\right)}I_{0}\left(a\beta _{0}\right)\left(b-\beta _{0}\right)+Q_{1}\left(a,\beta _{0}\right),~~~~~\mathrm {if} ~c_{1}\leq b\leq c_{2}\\0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm {if} ~b>c_{2}\end{cases}}\end{aligned}}$

где

${\begin{aligned}\beta _{0}={\frac {a+{\sqrt {a^{2}+2}}}{2}},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}c_{1}(a)=\max {\Bigg (}0,\beta _{0}+{\frac {Q_{1}\left(a,\beta _{0}\right)-1}{\beta _{0}e^{-{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+\left(\beta _{0}\right)^{2}\right)}I_{0}\left(a\beta _{0}\right)}}{\Bigg )},\end{aligned}}$

и

${\begin{aligned}c_{2}(a)=\beta _{0}+{\frac {Q_{1}\left(a,\beta _{0}\right)}{\beta _{0}e^{-{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+\left(\beta _{0}\right)^{2}\right)}I_{0}\left(a\beta _{0}\right)}}.\end{aligned}}$

Эквивалентные формы для эффективных вычислений

Q-функцию Маркума удобно переформулировать как

$P_{N}(X,Y)=Q_{N}({\sqrt {2NX}},{\sqrt {2Y}}).$

The $P_{N}(X,Y)$ можно интерпретировать как вероятность обнаружения $N$ некогерентно интегрированные выборки принятого сигнала с постоянным отношением принимаемого сигнала к шуму, $X$, с нормированным порогом обнаружения $Y$. В этой эквивалентной форме Q-функции Маркума для данного $a$ и $b$, у нас есть $X=a^{2}/2N$ и $Y=b^{2}/2$. Существует множество выражений, которые могут представлять $P_{N}(X,Y)$. Однако ниже приведены пять наиболее надежных, точных и эффективных для численных расчетов. Они являются первой формой:

$P_{N}(X,Y)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}}\sum _{m=0}^{N-1+k}e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}},$

сформировать два:

$P_{N}(X,Y)=\sum _{m=0}^{N-1}e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}}+\sum _{m=N}^{\infty }e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}}\left(1-\sum _{k=0}^{m-N}e^{-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}}\right),$

форма три:

$1-P_{N}(X,Y)=\sum _{m=N}^{\infty }e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}}\sum _{k=0}^{m-N}e^{-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}},$

форма четыре:

$1-P_{N}(X,Y)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}}\left(1-\sum _{m=0}^{N-1+k}e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}}\right),$

и образуем пять:

$1-P_{N}(X,Y)=e^{-(NX+Y)}\sum _{r=N}^{\infty }\left({\frac {Y}{NX}}\right)^{r/2}I_{r}(2{\sqrt {NXY}}).$

Среди этих пяти форм вторая форма является наиболее устойчивой.

Приложения

Обобщенная Q-функция Маркума может использоваться для представления кумулятивной функции распределения (cdf) многих случайных величин:

• Если $X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )$ представляет собой экспоненциальное распределение с параметром скорости $\lambda$, то его компакт-диск определяется выражением $F_{X}(x)=1-Q_{1}\left(0,{\sqrt {2\lambda x}}\right)$

• Если $X\sim \mathrm {Erlang} (k,\lambda )$ представляет собой распределение Эрланга с параметром формы $k$ и параметр скорости $\lambda$, то его компакт-диск определяется выражением $F_{X}(x)=1-Q_{k}\left(0,{\sqrt {2\lambda x}}\right)$

• Если $X\sim \chi _{k}^{2}$ представляет собой распределение хи-квадрат с $k$ степеней свободы, то его компакт-диск определяется выражением $F_{X}(x)=1-Q_{k/2}(0,{\sqrt {x}})$

• Если $X\sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )$ представляет собой гамма-распределение с параметром формы $\alpha$ и параметр скорости $\beta$, то его компакт-диск определяется выражением $F_{X}(x)=1-Q_{\alpha }(0,{\sqrt {2\beta x}})$

• Если $X\sim \mathrm {Weibull} (k,\lambda )$ представляет собой распределение Вейбулла с параметрами формы $k$ и параметр масштабирования $\lambda$, то его компакт-диск определяется выражением $F_{X}(x)=1-Q_{1}\left(0,{\sqrt {2}}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{\frac {k}{2}}\right)$

• Если $X\sim \mathrm {GG} (a,d,p)$ представляет собой обобщенное гамма-распределение с параметрами $a,d,p$, то его компакт-диск определяется выражением $F_{X}(x)=1-Q_{\frac {d}{p}}\left(0,{\sqrt {2}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {p}{2}}\right)$

• Если $X\sim \chi _{k}^{2}(\lambda )$ представляет собой нецентральное распределение хи-квадрат с параметром нецентральности $\lambda$ и $k$ степеней свободы, то его компакт-диск определяется выражением $F_{X}(x)=1-Q_{k/2}({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}})$

• Если $X\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )$ представляет собой распределение Рэлея с параметром $\sigma$, то его компакт-диск определяется выражением $F_{X}(x)=1-Q_{1}\left(0,{\frac {x}{\sigma }}\right)$

• Если $X\sim \mathrm {Maxwell} (\sigma )$ представляет собой распределение Максвелла – Больцмана с параметром $\sigma$, то его компакт-диск определяется выражением $F_{X}(x)=1-Q_{3/2}\left(0,{\frac {x}{\sigma }}\right)$

• Если $X\sim \chi _{k}$ представляет собой распределение ци с $k$ степеней свободы, то его компакт-диск определяется выражением $F_{X}(x)=1-Q_{k/2}(0,x)$

• Если $X\sim \mathrm {Nakagami} (m,\Omega )$ представляет собой дистрибутив Накагами с $m$ как параметр формы и $\Omega$ в качестве параметра распространения, то его cdf определяется выражением $F_{X}(x)=1-Q_{m}\left(0,{\sqrt {\frac {2m}{\Omega }}}x\right)$

• Если $X\sim \mathrm {Rice} (\nu ,\sigma )$ представляет собой распределение Райса с параметрами $\nu$ и $\sigma$, то его компакт-диск определяется выражением $F_{X}(x)=1-Q_{1}\left({\frac {\nu }{\sigma }},{\frac {x}{\sigma }}\right)$

• Если $X\sim \chi _{k}(\lambda )$ представляет собой нецентральное распределение ци с параметром нецентральности $\lambda$ и $k$ степеней свободы, то его компакт-диск определяется выражением $F_{X}(x)=1-Q_{k/2}(\lambda ,x)$

Ссылки

• Маркум, Дж.И. (1950) «Таблица Q-функций». Исследовательский меморандум RAND ВВС США M-339 . Санта-Моника, Калифорния: Rand Corporation, 1 января 1950 г.
• Наттолл, Альберт Х. (1975): Некоторые интегралы, включающие _{Q M} функцию , Транзакции IEEE по теории информации , 21 (1), 95–96, ISSN   0018-9448
• Шнидман, Дэвид А. (1989): Расчет вероятности обнаружения и обобщенная Q-функция Маркума, Транзакции IEEE по теории информации, 35 (2), 389-400.
• Вайсштейн, Эрик В. Маркум Q-функция. Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. [1]