Сдвинутое распределение Гомпертца

Сдвинутый Гомпертц

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$b\geq 0$ масштаб ( реальный ) $\eta \geq 0$ форма (настоящая)
Поддерживать	$x\in [0,\infty )\!$
PDF	$be^{-bx}e^{-\eta e^{-bx}}\left[1+\eta \left(1-e^{-bx}\right)\right]$
CDF	$\left(1-e^{-bx}\right)e^{-\eta e^{-bx}}$
Иметь в виду	$(-1/b)\{\mathrm {E} [\ln(X)]-\ln(\eta )\}\,$ где $X=\eta e^{-bx}\,$ и ${\begin{aligned}\mathrm {E} [\ln(X)]=&[1{+}1/\eta ]\!\!\int _{0}^{\eta }\!\!\!\!e^{-X}[\ln(X)]dX\\&-1/\eta \!\!\int _{0}^{\eta }\!\!\!\!Xe^{-X}[\ln(X)]dX\end{aligned}}$
Режим	$0{\text{ for }}0<\eta \leq 0.5$ $(-1/b)\ln(z^{\star }){\text{, for }}\eta >0.5$ ${\text{ where }}z^{\star }=[3+\eta -(\eta ^{2}+2\eta +5)^{1/2}]/(2\eta )$
Дисперсия	$(1/b^{2})(\mathrm {E} \{[\ln(X)]^{2}\}-(\mathrm {E} [\ln(X)])^{2})\,$ где $X=\eta e^{-bx}\,$ и ${\begin{aligned}\mathrm {E} \{[\ln(X)]^{2}\}=&[1{+}1/\eta ]\!\!\int _{0}^{\eta }\!\!\!\!e^{-X}[\ln(X)]^{2}dX\\&-1/\eta \!\!\int _{0}^{\eta }\!\!\!\!Xe^{-X}[\ln(X)]^{2}dX\end{aligned}}$

Сдвинутое распределение Гомпертца — это распределение большей из двух независимых случайных величин, одна из которых имеет экспоненциальное распределение с параметром $b$ а другой имеет распределение Гамбеля с параметрами $\eta$ и $b$. В исходной формулировке распределение было выражено с использованием распределения Гомпертца, а не распределения Гамбеля, но, поскольку распределение Гомпертца является обратным распределением Гамбеля, маркировку можно считать точной. Его использовали в качестве модели внедрения инноваций . Это было предложено Беммаором. (1994). Некоторые из его статистических свойств были дополнительно изучены Хименесом и Ходрой. (2009) и Хименес Торрес (2014).

Он использовался для прогнозирования роста и упадка социальных сетей и онлайн-сервисов и показал превосходство над моделью Басса и распределением Вейбулла (Баукхаге и Керстинг). 2014).

Спецификация

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности смещенного распределения Гомпертца:

$f(x;b,\eta )=be^{-bx}e^{-\eta e^{-bx}}\left[1+\eta \left(1-e^{-bx}\right)\right]{\text{ for }}x\geq 0.\,$

где $b\geq 0$ является параметром масштаба и $\eta \geq 0$ является параметром формы . В условиях распространения инноваций $b$ можно интерпретировать как общую привлекательность инноваций и $\eta$ — это склонность к усыновлению в парадигме склонности к усыновлению. Чем больше $b$ тем сильнее привлекательность и тем больше $\eta$ то есть, тем меньше склонность к усыновлению.

Распределение можно перепараметризировать в соответствии с парадигмой внешнего или внутреннего влияния с помощью $p=f(0;b,\eta )=be^{-\eta }$ как коэффициент внешнего влияния и $q=b-p$ как коэффициент внутреннего влияния. Следовательно:

$f(x;p,q)=(p+q)e^{-(p+q)x}e^{-\ln(1+q/p)e^{-(p+q)x}}\left[1+\ln(1+q/p)\left(1-e^{-(p+q)x}\right)\right]{\text{ for }}x\geq 0,p,q\geq 0.\,$

$=(p+q)e^{-(p+q)x}{(1+q/p)^{-e^{-(p+q)x}}}\left[1+\ln(1+q/p)\left(1-e^{-(p+q)x}\right)\right]{\text{ for }}x\geq 0,p,q\geq 0.\,$

Когда $q=0$, сдвинутое распределение Гомпертца сводится к экспоненциальному распределению. Когда $p=0$, доля последователей равна нулю: нововведение является полным провалом. Параметр формы функции плотности вероятности равен $q/p$. Как и в модели Басса, уровень опасности $z(x;p,q)$ равно $p$ когда $x$ равно $0$; оно приближается $p+q$ как $x$ приближается к $\infty$. Увидеть Беммаора и Чжэна. для дальнейшего анализа.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения смещенного распределения Гомпертца:

$F(x;b,\eta )=\left(1-e^{-bx}\right)e^{-\eta e^{-bx}}{\text{ for }}x\geq 0.\,$

Эквивалентно,

$F(x;p,q)=\left(1-e^{-(p+q)x}\right)e^{-\ln(1+q/p)e^{-(p+q)x}}{\text{ for }}x\geq 0.\,$

$=\left(1-e^{-(p+q)x}\right){(1+q/p)^{-e^{-(p+q)x}}}{\text{ for }}x\geq 0.\,$

Характеристики

Смещенное распределение Гомпертца смещено вправо для всех значений $\eta$. Он более гибкий, чем дистрибутив Gumbel . Степень опасности является вогнутой функцией $F(x;b,\eta )$ который увеличивается от $be^{-\eta }$ к $b$: его кривизна тем круче, чем $\eta$ большой. В контексте распространения инноваций влияние «сарафанного радио» (т. е. предыдущих последователей) на вероятность внедрения снижается по мере увеличения доли последователей. (Для сравнения, в модели Басса эффект со временем остается прежним). Параметр $q=b(1-e^{-\eta })$ фиксирует рост уровня опасности, когда $x$ варьируется от $0$ к $\infty$.

Формы

Сдвинутая функция плотности Гомпертца может принимать различную форму в зависимости от значений параметра формы $\eta$:

• $0<\eta \leq 0.5\,$ функция плотности вероятности имеет режим 0.
• $\eta >0.5\,$ функция плотности вероятности имеет свой режим при

${\text{mode}}=-{\frac {\ln(z^{\star })}{b}}\,\qquad 0<z^{\star }<1$

где $z^{\star }\,$ является наименьшим корнем

$\eta ^{2}z^{2}-\eta (3+\eta )z+\eta +1=0\,,$

который

$z^{\star }=[3+\eta -(\eta ^{2}+2\eta +5)^{1/2}]/(2\eta ).$

Связанные дистрибутивы

Когда $\eta$ варьируется в зависимости от гамма-распределения с параметром формы $\alpha$ и параметр масштабирования $\beta$ (среднее = $\alpha \beta$), распределение $x$ это Гамма/Смещенный Гомпертц (G/SG). Когда $\alpha$ равен единице, G/SG сводится к модели Басса (Беммаор, 1994). Трехпараметрическая G/SG была применена Дувром, Гольденбергом и Шапирой. (2009) и Ван ден Бульте и Стремерш (2004) среди других в контексте распространения инноваций. Модель обсуждается в Чандрасекаране и Теллисе. (2007). Подобно смещенному распределению Гомпертца, G/SG может быть представлено либо в соответствии с парадигмой склонности к принятию, либо в соответствии с парадигмой инноваций-подражания. В последнем случае он включает в себя три параметра: $p,q$ и $\alpha$ с $p=f(0;b,\beta ,\alpha )=b/(1+\beta )^{\alpha }$ и $q=b-p$. Параметр $\alpha$ изменяет кривизну уровня опасности, выраженную как функция $F(x;p,q,\alpha )$: когда $\alpha$ меньше 0,5, оно уменьшается до минимума, а затем увеличивается с возрастающей скоростью, как $F(x;p,q,\alpha <1/2)$ увеличивается, то он выпуклый, когда $\alpha$ меньше единицы и больше или равно 0,5, линейна, когда $\alpha$ равен единице и вогнут, когда $\alpha$ больше единицы. Вот некоторые частные случаи распределения G/SG в случае однородности (по населению) относительно вероятности усыновления в данный момент:

                        $F(x;p,q,\alpha =0)$ = Exponential$(p+q)$
                        $F(x;p,q,\alpha =1/2)$ = Left-skewed two-parameter distribution$(p,q)$
                        $F(x;p,q,\alpha =1)$  = Bass model$(p,q)$
                        $F(x;p,q,\alpha =\infty )$ = Shifted Gompertz$(p,q)$
 

с:

              $F(x;p,q,\alpha =1/2)=\left(1-e^{-(p+q)x}\right)/{(1+(q/p)(2+q/p)e^{-(p+q)x})^{1/2}}{\text{ for }}x\geq 0,p,q\geq 0.\,$

Можно сравнить параметры $p$ и $q$ через ценности $\alpha$ поскольку они отражают одни и те же понятия. Во всех случаях уровень опасности либо постоянен, либо представляет собой монотонно возрастающую функцию $F(x;p,q,\alpha )$ (положительное мнение). Поскольку кривая диффузии тем более перекошена, чем $\alpha$ становится большим, мы ожидаем $q$ уменьшаться по мере увеличения уровня перекоса вправо.

См. также

• Распространение Гумбеля
• Обобщенное распределение экстремальных значений
• Модель смеси
• Басовая модель
• Распределение Гомпертца