Отрицательное полиномиальное распределение

Обозначения	${\textrm {NM}}(x_{0},\,\mathbf {p} )$
Параметры	$x_{0}>0$ — количество неудач до остановки эксперимента, $\mathbf {p}$ € Р м — m — вектор вероятностей «успеха», p 0 = 1 − ( p 1 +…+ p m ) — вероятность «неудачи».
Поддерживать	$x_{i}\in \{0,1,2,\ldots \},1\leq i\leq m$
ПМФ	$\Gamma \!\left(\sum _{i=0}^{m}{x_{i}}\right){\frac {p_{0}^{x_{0}}}{\Gamma (x_{0})}}\prod _{i=1}^{m}{\frac {p_{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}},$ где Γ( x ) — гамма-функция .
Иметь в виду	${\tfrac {x_{0}}{p_{0}}}\,\mathbf {p}$
Дисперсия	${\tfrac {x_{0}}{p_{0}^{2}}}\,\mathbf {pp} '+{\tfrac {x_{0}}{p_{0}}}\,\operatorname {diag} (\mathbf {p} )$
МГФ	${\bigg (}{\frac {p_{0}}{1-\sum _{j=1}^{m}p_{j}e^{t_{j}}}}{\bigg )}^{\!x_{0}}$
CF	${\bigg (}{\frac {p_{0}}{1-\sum _{j=1}^{m}p_{j}e^{it_{j}}}}{\bigg )}^{\!x_{0}}$

В теории вероятностей и статистике отрицательное полиномиальное распределение является обобщением отрицательного биномиального распределения (NB( x ₀ , p )) на более чем два результата.

Как и в случае с одномерным отрицательным биномиальным распределением, если параметр $x_{0}$ является положительным целым числом, отрицательное полиномиальное распределение имеет интерпретацию модели урны . есть эксперимент, который генерирует m +1≥2 возможных результатов, { X ₀ ,..., X _m }, каждый из которых происходит с неотрицательными вероятностями { p ₀ ,..., pm _{Предположим, у нас} } соответственно. бы выборка продолжалась до тех пор, пока n не было сделано наблюдений, то { X0 _Если ,..., Xm _} было бы полиномиально распределено . Однако, если эксперимент прекращается, как только X ₀ достигает заданного значения x ₀ (при условии, что x ₀ является положительным целым числом), то распределение m -кортежа { X ₁ ,..., X _m } является отрицательным полиномиальным . Эти переменные не имеют полиномиального распределения, поскольку их сумма X ₁ +...+ X _m не фиксирована и представляет собой результат отрицательного биномиального распределения .

Характеристики

Маржинальные распределения

Если m -мерный x разделен следующим образом $$\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\mathbf {X} ^{(1)}\\\mathbf {X} ^{(2)}\end{bmatrix}}{\text{ with sizes }}{\begin{bmatrix}n\times 1\\(m-n)\times 1\end{bmatrix}}$$и соответственно ${\boldsymbol {p}}$$${\boldsymbol {p}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {p}}^{(1)}\\{\boldsymbol {p}}^{(2)}\end{bmatrix}}{\text{ with sizes }}{\begin{bmatrix}n\times 1\\(m-n)\times 1\end{bmatrix}}$$и пусть $$q=1-\sum _{i}p_{i}^{(2)}=p_{0}+\sum _{i}p_{i}^{(1)}$$

Маргинальное распределение ${\boldsymbol {X}}^{(1)}$ является $\mathrm {NM} (x_{0},p_{0}/q,{\boldsymbol {p}}^{(1)}/q)$. То есть предельное распределение также является отрицательным полиномом с ${\boldsymbol {p}}^{(2)}$ удалены, а оставшиеся p правильно масштабированы, чтобы добавить к единице.

Одномерный предел $m=1$ Говорят, что оно имеет отрицательное биномиальное распределение.

Условные распределения

Условное распределение ​ $\mathbf {X} ^{(1)}$ данный $\mathbf {X} ^{(2)}=\mathbf {x} ^{(2)}$ является ${\textstyle \mathrm {NM} (x_{0}+\sum {x_{i}^{(2)}},\mathbf {p} ^{(1)})}$. То есть, $$\Pr(\mathbf {x} ^{(1)}\mid \mathbf {x} ^{(2)},x_{0},\mathbf {p} )=\Gamma \!\left(\sum _{i=0}^{m}{x_{i}}\right){\frac {(1-\sum _{i=1}^{n}{p_{i}^{(1)}})^{x_{0}+\sum _{i=1}^{m-n}x_{i}^{(2)}}}{\Gamma (x_{0}+\sum _{i=1}^{m-n}x_{i}^{(2)})}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {(p_{i}^{(1)})^{x_{i}}}{(x_{i}^{(1)})!}}.$$

Независимые суммы

Если $\mathbf {X} _{1}\sim \mathrm {NM} (r_{1},\mathbf {p} )$ и если $\mathbf {X} _{2}\sim \mathrm {NM} (r_{2},\mathbf {p} )$ независимы то , $\mathbf {X} _{1}+\mathbf {X} _{2}\sim \mathrm {NM} (r_{1}+r_{2},\mathbf {p} )$. Аналогично и обратно из характеристической функции легко увидеть, что отрицательный многочлен делится безгранично .

Агрегация

Если $$\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})\sim \operatorname {NM} (x_{0},(p_{1},\ldots ,p_{m}))$$тогда, если случайные величины с индексами i и j исключить из вектора и заменить их суммой, $$\mathbf {X} '=(X_{1},\ldots ,X_{i}+X_{j},\ldots ,X_{m})\sim \operatorname {NM} (x_{0},(p_{1},\ldots ,p_{i}+p_{j},\ldots ,p_{m})).$$

Это свойство агрегации можно использовать для получения предельного распределения $X_{i}$ упомянуто выше.

Матрица корреляции

Элементы корреляционной матрицы : $$\rho (X_{i},X_{i})=1.$$$$\rho (X_{i},X_{j})={\frac {\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}{\sqrt {\operatorname {var} (X_{i})\operatorname {var} (X_{j})}}}={\sqrt {\frac {p_{i}p_{j}}{(p_{0}+p_{i})(p_{0}+p_{j})}}}.$$

Оценка параметров

Метод моментов

Если мы позволим среднему вектору отрицательного многочлена быть $${\boldsymbol {\mu }}={\frac {x_{0}}{p_{0}}}\mathbf {p}$$и ковариационная матрица $${\boldsymbol {\Sigma }}={\tfrac {x_{0}}{p_{0}^{2}}}\,\mathbf {p} \mathbf {p} '+{\tfrac {x_{0}}{p_{0}}}\,\operatorname {diag} (\mathbf {p} ),$$ легко показать, то через свойства определителей что ${\textstyle |{\boldsymbol {\Sigma }}|={\frac {1}{p_{0}}}\prod _{i=1}^{m}{\mu _{i}}}$. Отсюда можно показать, что $$x_{0}={\frac {\sum {\mu _{i}}\prod {\mu _{i}}}{|{\boldsymbol {\Sigma }}|-\prod {\mu _{i}}}}$$и $$\mathbf {p} ={\frac {|{\boldsymbol {\Sigma }}|-\prod {\mu _{i}}}{|{\boldsymbol {\Sigma }}|\sum {\mu _{i}}}}{\boldsymbol {\mu }}.$$

Замена выборочных моментов дает моментов. метод оценок $${\hat {x}}_{0}={\frac {(\sum _{i=1}^{m}{{\bar {x_{i}}})}\prod _{i=1}^{m}{\bar {x_{i}}}}{|\mathbf {S} |-\prod _{i=1}^{m}{\bar {x_{i}}}}}$$и $${\hat {\mathbf {p} }}=\left({\frac {|{\boldsymbol {S}}|-\prod _{i=1}^{m}{{\bar {x}}_{i}}}{|{\boldsymbol {S}}|\sum _{i=1}^{m}{{\bar {x}}_{i}}}}\right){\boldsymbol {\bar {x}}}$$

Связанные дистрибутивы

• Отрицательное биномиальное распределение
• Полиномиальное распределение
• Инвертированное распределение Дирихле , сопряженное априорное значение для отрицательного многочлена
• Отрицательное полиномиальное распределение Дирихле

Ссылки

Уоллер Л.А. и Зельтерман Д. (1997). Логлинейное моделирование с отрицательным мульти-номинальное распределение. Биометрия 53: 971–82.

Дальнейшее чтение

Джонсон, Норман Л.; Коц, Сэмюэл; Балакришнан, Н. (1997). «Глава 36: Отрицательные полиномиальные и другие полиномиальные распределения». Дискретные многомерные распределения . Уайли. ISBN  978-0-471-12844-1 .