распределение фон Мизеса

фон Мизес

Функция плотности вероятности Носителем выбирается [− π , π ] с µ = 0.
Кумулятивная функция распределения Носителем выбирается [− π , π ] с µ = 0.
Параметры	$\mu$ настоящий $\kappa >0$
Поддерживать	$x\in$ любой интервал длины 2π
PDF	${\frac {e^{\kappa \cos(x-\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}$
CDF	(не аналитический – см. текст)
Иметь в виду	$\mu$
медиана	$\mu$
Режим	$\mu$
Дисперсия	${\textrm {var}}(x)=1-I_{1}(\kappa )/I_{0}(\kappa )$ (круговой)
Энтропия	$-\kappa {\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}+\ln[2\pi I_{0}(\kappa )]$ (дифференциал)
CF	${\frac {I_{|t|}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{it\mu }$

В теории вероятностей и направленной статистике распределение фон Мизеса ) представляет собой (также известное как круговое нормальное распределение или Тихонова распределение непрерывное распределение вероятностей на окружности . Это близкое приближение к завернутому нормальному распределению , которое является круговым аналогом нормального распределения . Свободно рассеивающий угол $\theta$ на круге представляет собой обернутую нормально распределенную случайную величину с развернутой дисперсией, которая линейно растет во времени. С другой стороны, распределение фон Мизеса представляет собой стационарное распределение процесса дрейфа и диффузии по окружности в гармоническом потенциале, т. е. с выделенной ориентацией. Распределение фон Мизеса — это максимальное распределение энтропии действительная и мнимая части первого кругового момента для круговых данных, когда указаны . Распределение фон Мизеса является частным случаем распределения фон Мизеса-Фишера на N -мерной сфере.

Определение

Функция плотности вероятности фон Мизеса для угла x определяется выражением:

$f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {\exp(\kappa \cos(x-\mu ))}{2\pi I_{0}(\kappa )}}$

где я ₀ ( $\kappa$) представляет собой модифицированную функцию Бесселя первого рода порядка 0, причем эта масштабирующая константа выбрана так, чтобы сумма распределения равнялась единице: ${\textstyle \int _{-\pi }^{\pi }\exp(\kappa \cos x)dx={2\pi I_{0}(\kappa )}.}$

Параметры ц и 1/ $\kappa$ аналогичны μ и σ ² (среднее значение и дисперсия) в нормальном распределении:

• μ — мера местоположения (распределение сгруппировано вокруг μ ), а
• $\kappa$ является мерой концентрации (обратной мерой дисперсии , поэтому 1/ $\kappa$ аналогичен п ² ).
  • Если $\kappa$ равно нулю, распределение равномерное, а при малых $\kappa$, оно близко к равномерному.
  • Если $\kappa$ велико, распределение становится очень концентрированным вокруг угла µ с $\kappa$ является мерой концентрации. Фактически, как $\kappa$ увеличивается, распределение приближается к нормальному распределению по x со средним значением µ и дисперсией 1/ $\kappa$.

Плотность вероятности можно выразить как ряд функций Бесселя

$f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {1}{2\pi }}\left(1+{\frac {2}{I_{0}(\kappa )}}\sum _{j=1}^{\infty }I_{j}(\kappa )\cos[j(x-\mu )]\right)$

где I _j ( x ) — модифицированная функция Бесселя порядка j .

Кумулятивная функция распределения не является аналитической, и ее лучше всего найти путем интегрирования приведенного выше ряда. Неопределенный интеграл плотности вероятности равен:

$\Phi (x\mid \mu ,\kappa )=\int f(t\mid \mu ,\kappa )\,dt={\frac {1}{2\pi }}\left(x+{\frac {2}{I_{0}(\kappa )}}\sum _{j=1}^{\infty }I_{j}(\kappa ){\frac {\sin[j(x-\mu )]}{j}}\right).$

Кумулятивная функция распределения будет функцией нижнего пределаинтеграция х ₀ :

$F(x\mid \mu ,\kappa )=\Phi (x\mid \mu ,\kappa )-\Phi (x_{0}\mid \mu ,\kappa ).\,$

Моменты

Дополнительная информация: Среднее круговое.

Моменты распределения фон Мизеса обычно вычисляются как моменты комплексной экспоненты z = e ^ix а не сам угол x . Эти моменты называются круговыми моментами . Дисперсия, рассчитанная по этим моментам, называется круговой дисперсией . Единственным исключением из этого правила является то, что «среднее» обычно относится к аргументу комплексного среднего.

N -й необработанный момент z равен:

$m_{n}=\langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }z^{n}\,f(x|\mu ,\kappa )\,dx$

$={\frac {I_{|n|}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{in\mu }$

где интеграл находится по любому интервалу $\Gamma$ длины 2π. При вычислении указанного интеграла воспользуемся тем, что z ^н = cos( n x) + i sin( nx ) и тождество функции Бесселя:

$I_{n}(\kappa )={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{\kappa \cos(x)}\cos(nx)\,dx.$

Тогда среднее значение комплексной экспоненты z будет просто

$m_{1}={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{i\mu }$

и тогда среднее круговое значение угла x принимается в качестве аргумента µ . Это ожидаемое или предпочтительное направление угловых случайных величин. Дисперсия z или круговая дисперсия x равна:

${\textrm {var}}(x)=1-E[\cos(x-\mu )]=1-{\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}.$

Ограничивающее поведение

Когда $\kappa$ велико, то распределение напоминает нормальное . Точнее, для больших положительных действительных чисел. $\kappa$,

$f(x\mid \mu ,\kappa )\approx {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[{\dfrac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]$

где σ ² = 1/ $\kappa$ а разность между левой и правой частями приближения равномерно сходится к нулю как $\kappa$ уходит в бесконечность. Кроме того, когда $\kappa$ мала, функция плотности вероятности напоминает равномерное распределение :

$\lim _{\kappa \rightarrow 0}f(x\mid \mu ,\kappa )=\mathrm {U} (x)$

где интервал равномерного распределения $\mathrm {U} (x)$ выбранный интервал длины $2\pi$ (т.е. $\mathrm {U} (x)=1/(2\pi )$ когда $x$ находится в интервале и $\mathrm {U} (x)=0$ когда $x$ не находится в интервале).

Оценка параметров

Серия N измерений $z_{n}=e^{i\theta _{n}}$ полученные из распределения фон Мизеса, можно использовать для оценки определенных параметров распределения. Среднее значение серии ${\overline {z}}$ определяется как

${\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}$

и его математическое ожидание будет только первым моментом:

$\langle {\overline {z}}\rangle ={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{i\mu }.$

Другими словами, ${\overline {z}}$ является несмещенной оценкой первого момента. Если предположить, что среднее $\mu$ лежит в интервале $[-\pi ,\pi ]$, тогда Арг $({\overline {z}})$ будет (смещенной) оценкой среднего значения $\mu$.

Просмотр $z_{n}$ как набор векторов на комплексной плоскости, ${\bar {R}}^{2}$ статистика представляет собой квадрат длины усредненного вектора:

${\bar {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}$

и его математическое ожидание равно

$\langle {\bar {R}}^{2}\rangle ={\frac {1}{N}}+{\frac {N-1}{N}}\,{\frac {I_{1}(\kappa )^{2}}{I_{0}(\kappa )^{2}}}.$

Другими словами, статистика

$R_{e}^{2}={\frac {N}{N-1}}\left({\bar {R}}^{2}-{\frac {1}{N}}\right)$

будет несмещенной оценкой ${\frac {I_{1}(\kappa )^{2}}{I_{0}(\kappa )^{2}}}\,$ и решение уравнения $R_{e}={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}\,$ для $\kappa \,$ даст (смещенную) оценку $\kappa \,$. По аналогии с линейным случаем решение уравнения ${\bar {R}}={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}\,$ даст максимального правдоподобия оценку $\kappa \,$ будут равны в пределе больших N. и оба Для приближенного решения $\kappa \,$ обратитесь к распределению фон Мизеса-Фишера .

Распределение среднего значения

Распределение выборочного среднего ${\overline {z}}={\bar {R}}e^{i{\overline {\theta }}}$ для распределения фон Мизеса определяется выражением:

$P({\bar {R}},{\bar {\theta }})\,d{\bar {R}}\,d{\bar {\theta }}={\frac {1}{(2\pi I_{0}(\kappa ))^{N}}}\int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}\left(e^{\kappa \cos(\theta _{n}-\mu )}d\theta _{n}\right)={\frac {e^{\kappa N{\bar {R}}\cos({\bar {\theta }}-\mu )}}{I_{0}(\kappa )^{N}}}\left({\frac {1}{(2\pi )^{N}}}\int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}d\theta _{n}\right)$

где N — количество измерений и $\Gamma \,$ состоит из интервалов $2\pi$ в переменных, при условии, что ${\bar {R}}$ и ${\bar {\theta }}$ постоянны, где ${\bar {R}}$ средний результат:

${\bar {R}}^{2}=|{\bar {z}}|^{2}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos(\theta _{n})\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin(\theta _{n})\right)^{2}$

и ${\overline {\theta }}$ средний угол:

${\overline {\theta }}=\mathrm {Arg} ({\overline {z}}).\,$

Обратите внимание, что член продукта в скобках — это просто распределение среднего значения для кругового равномерного распределения .

Это означает, что распределение среднего направления $\mu$ распределения фон Мизеса $VM(\mu ,\kappa )$ это распределение фон Мизеса $VM(\mu ,{\bar {R}}N\kappa )$или, что то же самое, $VM(\mu ,R\kappa )$.

Энтропия

По определению информационная энтропия распределения фон Мизеса равна

$H=-\int _{\Gamma }f(\theta ;\mu ,\kappa )\,\ln(f(\theta ;\mu ,\kappa ))\,d\theta \,$

где $\Gamma$ любой интервал длины $2\pi$. Логарифм плотности распределения фон Мизеса прост:

$\ln(f(\theta ;\mu ,\kappa ))=-\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))+\kappa \cos(\theta )\,$

Характеристическое представление функции распределения фон Мизеса:

$f(\theta ;\mu ,\kappa )={\frac {1}{2\pi }}\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }\phi _{n}\cos(n\theta )\right)$

где $\phi _{n}=I_{|n|}(\kappa )/I_{0}(\kappa )$. Подставляя эти выражения в интеграл энтропии, меняя порядок интегрирования и суммирования и используя ортогональность косинусов, энтропию можно записать:

$H=\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))-\kappa \phi _{1}=\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))-\kappa {\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}$

Для $\kappa =0$, распределение фон Мизеса становится круговым равномерным распределением , а энтропия достигает максимального значения $\ln(2\pi )$.

Обратите внимание, что распределение фон Мизеса максимизирует энтропию действительная и мнимая части первого кругового момента. , когда указаны или, что то же самое, круговое среднее и круговое отклонение указываются .

См. также

• Двумерное распределение фон Мизеса
• Направленная статистика
• Распределение фон Мизеса – Фишера
• Распределение Кента

Цитируемые работы

• Абрамовиц М. и Стегун И.А. (ред.), Справочник по математическим функциям , Национальное бюро стандартов, 1964; переиздано Dover Publications , 1965. ISBN   0-486-61272-4