Многомерное стабильное распределение

многовариантная стабильная

Функция плотности вероятности Тепловая карта, показывающая многомерное (двумерное) стабильное распределение с α = 1,1.
Параметры	$\alpha \in (0,2]$ — показатель степени $\delta \in \mathbb {R} ^{d}$ - вектор сдвига/положения $\Lambda (s)$ - спектральная конечная мера на сфере
Поддерживать	$u\in \mathbb {R} ^{d}$
PDF	(без аналитического выражения)
CDF	(без аналитического выражения)
Дисперсия	Бесконечно, когда $\alpha <2$
CF	см. текст

Многомерное стабильное распределение — это многомерное распределение вероятностей , которое является многомерным обобщением одномерного стабильного распределения . Многомерное устойчивое распределение определяет линейные отношения между маргиналами стабильного распределения . Так же, как и в одномерном случае, распределение определяется через его характеристическую функцию .

Многомерное стабильное распределение также можно рассматривать как расширение многомерного нормального распределения . Он имеет параметр α , который определяется в диапазоне 0 < α ≤ 2, и где случай α = 2 эквивалентен многомерному нормальному распределению. Он имеет дополнительный параметр асимметрии, который учитывает несимметричные распределения, при которых многомерное нормальное распределение является симметричным.

Определение

Позволять $\mathbb {S}$ быть единичной сферой в $\mathbb {R} ^{d}\colon \mathbb {S} =\{u\in \mathbb {R} ^{d}\colon |u|=1\}$. вектор Случайный , $X$, имеет многомерное устойчивое распределение, обозначаемое как $X\sim S(\alpha ,\Lambda ,\delta )$ -, если совместная характеристическая функция $X$ является

$\operatorname {E} \exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\int \limits _{s\in \mathbb {S} }\left\{|u^{T}s|^{\alpha }+i\nu (u^{T}s,\alpha )\right\}\,\Lambda (ds)+iu^{T}\delta \right\}$

где 0 < α < 2, а при $y\in \mathbb {R}$

$\nu (y,\alpha )={\begin{cases}-\mathbf {sign} (y)\tan(\pi \alpha /2)|y|^{\alpha }&\alpha \neq 1,\\(2/\pi )y\ln |y|&\alpha =1.\end{cases}}$

По сути, это результат Фельдхайма, что любой стабильный случайный вектор можно охарактеризовать спектральной мерой $\Lambda$ (конечная мера на $\mathbb {S}$) и вектор сдвига $\delta \in \mathbb {R} ^{d}$.

Параметризация с использованием проекций

Другой способ описания стабильного случайного вектора — с помощью проекций. Для любого вектора $u$, проекция $u^{T}X$ является одномерным $\alpha -$стабильный с некоторой асимметрией $\beta (u)$, шкала $\gamma (u)$ и некоторые сдвиги $\delta (u)$. Обозначения $X\sim S(\alpha ,\beta (\cdot ),\gamma (\cdot ),\delta (\cdot ))$ используется, если X стабилен с $u^{T}X\sim s(\alpha ,\beta (\cdot ),\gamma (\cdot ),\delta (\cdot ))$для каждого $u\in \mathbb {R} ^{d}$. Это называется параметризацией проекции.

Спектральная мера определяет функции параметров проекции следующим образом:

$\gamma (u)={\Bigl (}\int _{s\in \mathbb {S} }|u^{T}s|^{\alpha }\Lambda (ds){\Bigr )}^{1/\alpha }$

$\beta (u)=\int _{s\in \mathbb {S} }|u^{T}s|^{\alpha }\mathbf {sign} (u^{T}s)\Lambda (ds)/\gamma (u)^{\alpha }$

$\delta (u)={\begin{cases}u^{T}\delta &\alpha \neq 1\\u^{T}\delta -\int _{s\in \mathbb {S} }{\tfrac {\pi }{2}}u^{T}s\ln |u^{T}s|\Lambda (ds)&\alpha =1\end{cases}}$

Особые случаи

Существуют особые случаи, когда многомерная характеристическая функция принимает более простую форму. Определим характеристическую функцию стабильного маргинала как

$\omega (y|\alpha ,\beta )={\begin{cases}|y|^{\alpha }\left[1-i\beta (\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}})\mathbf {sign} (y)\right]&\alpha \neq 1\\|y|\left[1+i\beta {\tfrac {2}{\pi }}\mathbf {sign} (y)\ln |y|\right]&\alpha =1\end{cases}}$

Изотропное многомерное стабильное распределение

Характеристическая функция $E\exp(iu^{T}X)=\exp\{-\gamma _{0}^{\alpha }|u|^{\alpha }+iu^{T}\delta )\}$ Спектральная мера непрерывна и однородна, что приводит к радиальной/изотропной симметрии. Для мультинормального случая $\alpha =2$, это соответствует независимым компонентам, но это не тот случай, когда $\alpha <2$. Изотропия — это частный случай эллиптичности (см. следующий параграф) — просто возьмем $\Sigma$ быть кратным единичной матрице.

Эллиптическое многомерное устойчивое распределение

Многомерное устойчивое распределение эллиптической формы представляет собой особый симметричный случай многомерного устойчивого распределения.Если X -стабилен α и эллиптически контурирован, то он имеет совместную характеристическую функцию $E\exp(iu^{T}X)=\exp\{-(u^{T}\Sigma u)^{\alpha /2}+iu^{T}\delta )\}$ для некоторого вектора сдвига $\delta \in R^{d}$ (равный среднему значению, если оно существует) и некоторую положительно определенную матрицу $\Sigma$ (сродни корреляционной матрице, хотя обычное определение корреляции не имеет смысла).Обратите внимание на связь с характеристической функцией многомерного нормального распределения : $E\exp(iu^{T}X)=\exp\{-(u^{T}\Sigma u)+iu^{T}\delta )\}$ получается при α = 2.

Независимые компоненты

Маргиналы независимы с $X_{j}\sim S(\alpha ,\beta _{j},\gamma _{j},\delta _{j})$, тогдахарактеристическая функция

$E\exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\sum _{j=1}^{m}\omega (u_{j}|\alpha ,\beta _{j})\gamma _{j}^{\alpha }+iu^{T}\delta )\right\}$

Заметьте, что когда α = 2, это снова сводится к многомерному нормальному состоянию; отметим, что случай iid и изотропный случай не совпадают при α < 2.Независимые компоненты — это частный случай дискретной спектральной меры (см. следующий параграф), где спектральная мера поддерживается стандартными единичными векторами.

Тепловая карта, показывающая многомерное (двумерное) независимое стабильное распределение с α = 1.

Тепловая карта, показывающая многомерное (двумерное) независимое стабильное распределение с α = 2.

Дискретный

Если спектральная мера дискретна с массой $\lambda _{j}$ в $s_{j}\in \mathbb {S} ,j=1,\ldots ,m$характеристическая функция

$E\exp(iu^{T}X)=\exp \left\{-\sum _{j=1}^{m}\omega (u^{T}s_{j}|\alpha ,1)\lambda _{j}^{\alpha }+iu^{T}\delta )\right\}$

Линейные свойства

Если $X\sim S(\alpha ,\beta (\cdot ),\gamma (\cdot ),\delta (\cdot ))$ является d -мерным, A представляет собой матрицу размера m x d и $b\in \mathbb {R} ^{m},$ тогда AX + b является m -мерным $\alpha$-стабильный с функцией масштабирования $\gamma (A^{T}\cdot ),$ функция асимметрии $\beta (A^{T}\cdot ),$ и функция определения местоположения $\delta (A^{T}\cdot )+b^{T}.$

Вывод в модели независимых компонентов

Недавно было показано, как вычислить вывод в закрытой форме в линейной модели (или, что то же самое, в модели факторного анализа ), включая модели независимых компонентов.

Точнее, пусть $X_{i}\sim S(\alpha ,\beta _{x_{i}},\gamma _{x_{i}},\delta _{x_{i}}),i=1,\ldots ,n$ быть набором ненаблюдаемых одномерных значений iid, взятых из стабильного распределения . Дана известная матрица линейных отношений A размера $n\times n$, наблюдение $Y_{i}=\sum _{i=1}^{n}A_{ij}X_{j}$ предполагаются распределенными как свертка скрытых факторов $X_{i}$. $Y_{i}=S(\alpha ,\beta _{y_{i}},\gamma _{y_{i}},\delta _{y_{i}})$. Задача вывода состоит в том, чтобы вычислить наиболее вероятное $X_{i}$, учитывая матрицу линейных отношений A и наблюдения $Y_{i}$. Эту задачу можно вычислить в замкнутой форме за O( n ³ ).

Применением этой конструкции является многопользовательское обнаружение со стабильным негауссовским шумом.

См. также

• Многомерное распределение Коши
• Многомерное нормальное распределение

Ресурсы

• Стабильный дистрибутив пакета Matlab Марка Вейлета http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/37514
• Графики на этой странице построены с использованием вывода Дэнни Биксона в пакете Matlab линейно-стабильной модели: https://www.cs.cmu.edu/~bickson/stable