Распределение Ландау

Распределение Ландау

Функция плотности вероятности $\mu =0,\;c=\pi /2$
Параметры	$c\in (0,\infty )$ — параметр масштаба $\mu \in (-\infty ,\infty )$ — параметр местоположения
Поддерживать	$\mathbb {R}$
PDF	${\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt$
Иметь в виду	Неопределенный
Дисперсия	Неопределенный
МГФ	Неопределенный
CF	$\exp \left(it\mu -{\frac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)$

В теории вероятностей распределение Ландау — распределение вероятностей имени Льва Ландау .Из-за «толстого» хвоста распределения моменты распределения, такие как среднее значение или дисперсия, не определены. Распределение является частным случаем устойчивого распределения .

Определение

Функция плотности вероятности , первоначально написанная Ландау, определяется комплексным интегралом :

$p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }e^{s\log(s)+xs}\,ds,$

где a — произвольное положительное действительное число , что означает, что путь интегрирования может быть любым, параллельным мнимой оси, пересекающим действительную положительную полуось, и $\log$ относится к натуральному логарифму .Другими словами, это преобразование Лапласа функции $s^{s}$.

Следующий действительный интеграл эквивалентен приведенному выше:

$p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-t\log(t)-xt}\sin(\pi t)\,dt.$

Полное семейство распределений Ландау получается путем расширения исходного распределения до в масштабе местоположения семейства устойчивых распределений с параметрами $\alpha =1$ и $\beta =1$, с характеристической функцией :

$\varphi (t;\mu ,c)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)$

где $c\in (0,\infty )$ и $\mu \in (-\infty ,\infty )$, что дает функцию плотности:

$p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt,$

принимая $\mu =0$ и $c={\frac {\pi }{2}}$ мы получаем исходную форму $p(x)$ выше.

Характеристики

Функция аппроксимации для $\mu =0,\,c=1$

• Перевод: Если $X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,$ затем $X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)\,$.
• Масштабирование: Если $X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,$ затем $aX\sim {\textrm {Landau}}(a\mu -{\tfrac {2ac\log(a)}{\pi }},ac)\,$.
• Сумма: Если $X\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1},c_{1})$ и $Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{2},c_{2})\,$ затем $X+Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1}+\mu _{2},c_{1}+c_{2})$.

Все эти свойства могут быть получены из характеристической функции.Вместе они означают, что распределения Ландау замкнуты относительно аффинных преобразований .

Приближения

В «стандартном» случае $\mu =0$ и $c=\pi /2$, PDF-файл можно аппроксимировать используя теорию Линдхарда, которая гласит:

$p(x+\log(x)-1+\gamma )\approx {\frac {\exp(-1/x)}{x(1+x)}},$

где $\gamma$ — постоянная Эйлера .

Подобное приближение из $p(x;\mu ,c)$ для $\mu =0$ и $c=1$ является:

$p(x)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {x+e^{-x}}{2}}\right).$

Связанные дистрибутивы

• Распределение Ландау является устойчивым распределением с параметром устойчивости. $\alpha$ и параметр асимметрии $\beta$ оба равны 1.