Параметр местоположения

В статистике параметр местоположения распределения вероятностей представляет собой скалярный или векторный параметр. $x_{0}$, который определяет «местоположение» или сдвиг распределения. В литературе по оценке параметров местоположения распределения вероятностей с таким параметром формально определяются одним из следующих эквивалентных способов:

• либо как функция плотности вероятности , либо функция массы вероятности $f(x-x_{0})$; или
• имеющая кумулятивную функцию распределения $F(x-x_{0})$; или
• определяется как результат преобразования случайной величины $x_{0}+X$, где $X$ это случайная величина с определенным, возможно, неизвестным распределением (См. также #Additive_noise ).

Прямым примером параметра местоположения является параметр $\mu$ нормального распределения . Чтобы убедиться в этом, заметим, что функция плотности вероятности $f(x|\mu ,\sigma )$ нормального распределения ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ может иметь параметр $\mu$ вынести на множитель и записать так:

$g(y-\mu |\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {y}{\sigma }}\right)^{2}}$

таким образом выполняя первое из приведенных выше определений.

Приведенное выше определение указывает в одномерном случае, что если $x_{0}$ увеличивается, плотность вероятности или функция массы жестко смещается вправо, сохраняя свою точную форму.

Параметр местоположения также можно найти в семействах, имеющих более одного параметра, например в семействах масштаба местоположения . В этом случае функция плотности вероятности или функция массы вероятности будет частным случаем более общего вида

$f_{x_{0},\theta }(x)=f_{\theta }(x-x_{0})$

где $x_{0}$ — параметр местоположения, θ представляет дополнительные параметры, а $f_{\theta }$ — функция, параметризованная дополнительными параметрами.

Определение

Позволять $f(x)$ — любая функция плотности вероятности, и пусть $\mu$ и $\sigma >0$ быть любыми заданными константами. Тогда функция

$g(x|\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma }}f\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$

представляет собой функцию плотности вероятности.

Тогда семейство местоположений определяется следующим образом:

Позволять $f(x)$ быть любой функцией плотности вероятности. Тогда семейство функций плотности вероятности ${\mathcal {F}}=\{f(x-\mu ):\mu \in \mathbb {R} \}$ называется семейством местоположений со стандартной функцией плотности вероятности $f(x)$, где $\mu$ называется параметром местоположения семейства.

Аддитивный шум

Альтернативный подход к семействам местоположений основан на концепции аддитивного шума . Если $x_{0}$ — константа, а W — случайный шум с плотностью вероятности. $f_{W}(w),$ затем $X=x_{0}+W$ имеет плотность вероятности $f_{x_{0}}(x)=f_{W}(x-x_{0})$ и поэтому его распространение является частью семейства местоположений.

Доказательства

Для непрерывного одномерного случая рассмотрим функцию плотности вероятности $f(x|\theta ),x\in [a,b]\subset \mathbb {R}$, где $\theta$ представляет собой вектор параметров. Параметр местоположения $x_{0}$ можно добавить, определив:

$g(x|\theta ,x_{0})=f(x-x_{0}|\theta ),\;x\in [a-x_{0},b-x_{0}]$

можно доказать, что $g$ является PDF-файлом, проверив, соответствует ли он двум условиям $g(x|\theta ,x_{0})\geq 0$ и $\int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=1$. $g$ интегрируется до 1, потому что:

$\int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a-x_{0}}^{b-x_{0}}g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a-x_{0}}^{b-x_{0}}f(x-x_{0}|\theta )dx$

теперь вносим изменения в переменную $u=x-x_{0}$ и соответствующее обновление интервала интегрирования дает:

$\int _{a}^{b}f(u|\theta )du=1$

потому что $f(x|\theta )$ это pdf по гипотезе. $g(x|\theta ,x_{0})\geq 0$ следует из $g$ делюсь одним и тем же изображением $f$, который представляет собой PDF-файл, поэтому его изображение содержится в $[0,1]$.

См. также

• Центральная тенденция
• Тест местоположения
• Инвариантная оценка
• Параметр масштаба
• Двухмоментные модели принятия решений