Двухмоментная модель принятия решения

«Анализ средней дисперсии» перенаправляется сюда. Для теории портфеля средней дисперсии см. Современную теорию портфеля и Теорему о разделении взаимных фондов .

В теории принятия решений , экономике и финансах двухмоментная модель принятия решений — это модель, которая описывает или предписывает процесс принятия решений в контексте, в котором лицо, принимающее решения, сталкивается со случайными величинами , реализация которых не может быть известна заранее, и в котором выбор делается на основе знания двух моментов этих случайных величин. Эти два момента почти всегда представляют собой среднее значение, то есть ожидаемое значение , которое является первым моментом около нуля, и дисперсию , которая является вторым моментом относительно среднего значения (или стандартное отклонение , которое является квадратным корнем дисперсии). ).

Наиболее известной моделью двухмоментного принятия решений является модель современной портфельной теории , которая порождает часть принятия решения в модели ценообразования капитальных активов ; они используют анализ среднего отклонения и фокусируются на среднем значении и отклонении окончательной стоимости портфеля.

Двухмоментные модели и максимизация ожидаемой полезности

Предположим, что все соответствующие случайные величины находятся в одном и том же семействе масштабов местоположения , а это означает, что распределение каждой случайной величины такое же, как распределение некоторого линейного преобразования любой другой случайной величины. Тогда для любой функции полезности фон Неймана – Моргенштерна использование схемы принятия решений на основе средней дисперсии согласуется с ожидаемой максимизацией полезности : как показано в примере 1:

Пример 1: Пусть есть один рискованный актив со случайной доходностью. $r$и один безрисковый актив с известной доходностью $r_{f}$, и пусть первоначальное богатство инвестора равно $w_{0}$. Если сумма $q$, переменная выбора, должна быть инвестирована в рискованный актив, а сумма $w_{0}-q$ будет инвестирован в безопасный актив, то, в зависимости от $q$, случайное конечное богатство инвестора будет $w=(w_{0}-q)r_{f}+qr$. Тогда для любого выбора $q$, $w$ распространяется как преобразование в масштабе местоположения $r$. Если мы определим случайную величину $x$ равным по распределению ${\tfrac {w-\mu _{w}}{\sigma _{w}}},$ затем $w$ равно по распределению $\mu _{w}+\sigma _{w}x$, где μ представляет собой ожидаемое значение, а σ представляет собой стандартное отклонение случайной величины (квадратный корень из ее второго момента). Таким образом, мы можем записать ожидаемую полезность через два момента $w$:

$\operatorname {E} u(w)=\int _{-\infty }^{\infty }\!u(\mu _{w}+\sigma _{w}x)f(x)\,dx\equiv v(\mu _{w},\sigma _{w}),$

где $u(\cdot )$ – функция полезности фон Неймана–Моргенштерна , $f(x)$ - плотности функция $x$, и $v(\cdot ,\cdot )$ — это производная функция выбора среднего стандартного отклонения, которая по форме зависит от функции плотности f . Предполагается, что функция полезности фон Неймана-Моргенштерна возрастает, подразумевая, что большее богатство предпочтительнее меньшего, и предполагается, что она вогнутая, что то же самое, что предположить, что человек не склонен к риску .

Можно показать, что частная производная v по µ _w положительна, а частная производная v по σ _w отрицательна; таким образом, большее ожидаемое богатство всегда нравится, а больший риск (измеряемый стандартным отклонением богатства) всегда не нравится. среднего стандартного отклонения Кривая безразличия определяется как геометрическое положение точек ( σ _w , µ _w ) с σ _w, нанесенным горизонтально, так что E u ( w ) имеет одинаковое значение во всех точках геометрического графика. Тогда производные от v означают, что каждая кривая безразличия имеет наклон вверх: то есть вдоль любой кривой безразличия dμ _w / d σ _w > 0. Более того, можно показать что все такие кривые безразличия выпуклы: вдоль любой кривой безразличия d ² μ _ш / д (σ _ш ) ² > 0.

Пример 2. Анализ портфеля в примере 1 можно обобщить. Если имеется n рискованных активов вместо одного и если их доходность совместно распределена эллиптически , то все портфели можно полностью охарактеризовать их средним значением и дисперсией, то есть любые два портфеля с одинаковым средним значением и дисперсией доходности портфеля имеют одинаковое распределение. доходности портфеля — и все возможные портфели имеют распределения доходности, которые связаны друг с другом в масштабе местоположения. Таким образом, оптимизация портфеля может быть реализована с использованием двухмоментной модели принятия решений.

Пример 3. Предположим, что фирма, берущая цены и не склонная к риску, должна взять на себя обязательство произвести количество продукции q, прежде чем наблюдать рыночную реализацию p . цены продукта Задача его решения состоит в том, чтобы выбрать q так, чтобы максимизировать ожидаемую полезность прибыли:

Максимизируйте E u ( pq – c ( q ) – g ),

где E — оператор ожидаемой стоимости , u — функция полезности фирмы, c — ее функция переменных издержек , а g — ее постоянные издержки . Все возможные распределения случайного дохода фирмы pq , основанные на всех возможных вариантах выбора q , связаны с масштабом местоположения; поэтому проблему принятия решения можно сформулировать с точки зрения ожидаемой стоимости и отклонения дохода.

Принятие решений о неожидаемой полезности

Если лицо, принимающее решения, не является максимизатором ожидаемой полезности , принятие решений все равно может быть сформулировано в терминах среднего значения и дисперсии случайной величины, если все альтернативные распределения непредсказуемого результата являются преобразованиями друг друга в масштабе местоположения.

См. также

• Теория принятия решений
• Межвременной выбор портфеля
• Микроэкономика