Межвременной выбор портфеля

Межвременной выбор портфеля — это процесс многократного распределения своего инвестиционного богатства по различным активам , особенно финансовым активам , с течением времени таким образом, чтобы оптимизировать какой-либо критерий. Набор пропорций активов в любой момент времени определяет портфель . Поскольку доходность почти всех активов не полностью предсказуема, критерий должен учитывать риск финансовый . Обычно критерием является ожидаемая ценность некоторой вогнутой функции стоимости портфеля через определенное количество периодов времени, то есть ожидаемая полезность конечного богатства. Альтернативно, это может быть функцией различных уровней товаров и услуг потребления , которые достигаются путем изъятия некоторых средств из портфеля после каждого периода времени.

Дискретное время

Решения, не зависящие от времени

В общем контексте оптимальное распределение портфеля в любой период времени после первого будет зависеть от суммы богатства, полученной в результате портфеля предыдущего периода, который зависит от доходности активов, произошедшей в предыдущем периоде, а также от размера портфеля этого периода и распределение, причем последнее, в свою очередь, зависело от суммы богатства, возникшей в результате портфеля предыдущего периода, и т. д. Однако при определенных обстоятельствах оптимальные решения по портфелю могут быть приняты способом, разделенным во времени, так что доли богатства, помещенные в определенные активы, зависят только от стохастического распределения доходности активов в этот конкретный период.

Утилита журнала

Если функция полезности инвестора представляет собой логарифм функции полезности , не склонной к риску , конечного богатства. $W_{T},$

{\text{Utility}}=\ln W_{T},

тогда решения являются межвременными отдельными. ^[1] Пусть первоначальное богатство (сумма, которую можно инвестировать в начальный период) будет $W_{0}$ и пусть стохастическая доходность портфеля в любой период (несовершенно предсказуемая сумма, до которой средний доллар в портфеле вырастет или уменьшится за данный период t ) будет $R_{t}.$ $R_{t}$ зависит от распределения портфеля — доли $w_{it}$ текущего богатства $W_{t-1}$ унаследованные от предыдущего периода, которые распределяются в начале периода t по активам i ( i =1, ..., n ). Так:

W_{T}=W_{0}R_{1}R_{2}\cdots R_{T}

где

R_{t}=w_{1t}r_{1t}+w_{2t}r_{2t}+\cdots +w_{nt}r_{nt},

где $r_{it}$ относится к стохастической доходности (несовершенно предсказуемой сумме, до которой вырастает средний доллар) актива i за период t , и где доли $w_{it}$ ( i =1, ..., n ) ограничены в сумме до 1. Принимая логарифм $W_{T}$ выше, чтобы выразить полезность, зависящую от результата, заменяя на $R_{t}$ для каждого t и взяв ожидаемое значение журнала $W_{T}$ дает выражение ожидаемой полезности, которую необходимо максимизировать:

\ln[W_{0}]+\sum _{t=1}^{T}{\text{E}}\ln[w_{1t}r_{1t}+w_{2t}r_{2t}+\cdots +w_{nt}r_{nt}].

Условия, содержащие выборочные акции $w_{it}$ для различных t аддитивно разделены, что приводит к результату межвременной независимости оптимальных решений : оптимизация для любого конкретного периода принятия решения t включает в себя взятие производных одного аддитивно отдельного выражения по отношению к различным долям и условий первого порядка для оптимальные акции в определенный период не содержат стохастической информации о доходности или информации о решениях для любого другого периода.

критерий Келли

Критерий Келли для межвременного выбора портфеля гласит, что, когда распределения доходности активов одинаковы во всех периодах, конкретный портфель, воспроизводимый в каждом периоде, в долгосрочной перспективе превзойдет все другие последовательности портфелей. Здесь долгосрочный период представляет собой произвольно большое количество периодов времени, в которых распределения наблюдаемых результатов для всех активов соответствуют их распределениям ожидаемых вероятностей. Критерий Келли приводит к тем же портфельным решениям, что и максимизация ожидаемого значения логарифмической функции полезности, как описано выше.

Энергетическая компания

Как и логарифмическая функция полезности, функция полезности мощности для любого значения параметра мощности демонстрирует постоянное относительное неприятие риска — свойство, которое имеет тенденцию вызывать пропорциональное масштабирование решений без изменений по мере увеличения первоначального богатства. Функция энергоснабжения

{\text{Utility}}=aW_{T}^{a}

с положительным или отрицательным, но ненулевым параметром a < 1. Используя эту функцию полезности вместо логарифмической, приведенный выше анализ приводит к максимизации следующего выражения ожидаемой полезности:

a\cdot W_{0}^{a}\cdot {\text{E}}[R_{1}^{a}\cdot R_{2}^{a}\cdots R_{T}^{a}],

где как раньше

R_{t}=w_{1t}r_{1t}+w_{2t}r_{2t}+\cdots +w_{nt}r_{nt}

за каждый период времени t .

Если существует серийная независимость доходности активов , то есть если реализация доходности любого актива в любом периоде не связана с реализацией доходности любого актива в любом другом периоде, то это выражение ожидаемой полезности принимает вид

a\cdot W_{0}^{a}\cdot {\text{E}}R_{1}^{a}\cdot {\text{E}}R_{2}^{a}\cdots {\text{E}}R_{T}^{a};

максимизация этого выражения ожидаемой полезности эквивалентна отдельной максимизации (если a >0) или минимизации (если a <0) каждого из членов ${\text{E}}R_{t}^{a}.$ Следовательно, при этом условии мы снова имеем межвременную независимость портфельных решений. Обратите внимание, что логарифмическая функция полезности, в отличие от степенной функции полезности, не требует предположения о межвременной независимости доходности для получения межвременной независимости портфельных решений.

Утилита HARA

Гиперболическое абсолютное неприятие риска (HARA) является особенностью широкого класса функций полезности фон Неймана-Моргенштерна для выбора в условиях риска, включая логарифмические и степенные функции полезности, рассмотренные выше. Моссин ^[2] показали, что при использовании утилиты HARA оптимальный выбор портфеля предполагает частичную независимость решений от времени, если есть безрисковый актив и существует серийная независимость доходности активов: чтобы найти оптимальный портфель в текущем периоде, не нужно знать никакой информации о будущем распределении. о доходности активов, за исключением будущих безрисковых доходов.

Решения, зависящие от времени

Согласно вышесказанному, ожидаемая полезность конечного богатства с степенной функцией полезности равна

a\cdot W_{0}^{a}\cdot {\text{E}}[R_{1}^{a}\cdot R_{2}^{a}\cdots R_{T}^{a}].

Если нет последовательной независимости доходности во времени, то оператор ожиданий не может применяться отдельно к различным мультипликативным условиям. Таким образом, оптимальный портфель для любого периода будет зависеть от вероятностного распределения доходности различных активов в зависимости от их реализации в предыдущем периоде и поэтому не может быть определен заранее.

Более того, оптимальные действия в конкретном периоде должны быть выбраны на основе знаний о том, как будут приниматься решения в будущих периодах, поскольку реализация в настоящий период доходности активов влияет не только на результат портфеля за текущий период, но и на результат. также условные распределения вероятностей будущей доходности активов и, следовательно, будущих решений.

Эти соображения применимы к функциям полезности в целом, за исключениями, отмеченными ранее. В общем случае выражение ожидаемой полезности, которое необходимо максимизировать, равно

{\text{E}}U(W_{T})={\text{E}}U(W_{0}R_{1}R_{2}\cdots R_{T}),

где U – функция полезности.

Динамическое программирование

Математическим методом решения этой задачи принятия текущих решений с учетом будущих решений является динамическое программирование . В динамическом программировании правило принятия решения за последний период, зависящее от доступного богатства и реализации доходности активов всех предыдущих периодов, разрабатывается заранее; затем разрабатывается правило принятия решения для предпоследнего периода с учетом того, как результаты этого периода повлияют на решения заключительного периода; и так далее назад во времени. Эта процедура очень быстро усложняется, если имеется более нескольких периодов времени или более нескольких активов.

Усреднение долларовой стоимости

Усреднение долларовой стоимости – это постепенный вход в рискованные активы; его часто защищают инвестиционные консультанты. Как указано выше, это не подтверждается моделями с утилитой журнала. Однако он может возникнуть из модели межвременной средней дисперсии с отрицательной серийной корреляцией доходностей. ^[3]

Возрастные эффекты

При использовании утилиты HARA доходность активов, которая независимо и одинаково распределяется во времени, а также безрисковый актив, пропорции рискованных активов не зависят от оставшегося срока жизни инвестора. ^[1]^{: гл.11} При определенных предположениях, включая экспоненциальную полезность и один актив с доходностью в соответствии с процессом ARMA (1,1), это необходимое, но недостаточное условие для увеличения консерватизма (уменьшения владения рискованным активом) с течением времени (что часто защищают инвестиционные консультанты) первого порядка является отрицательной серийной корреляцией , в то время как неотрицательная серийная корреляция первого порядка дает противоположный результат - повышенное принятие риска в более поздние моменты времени. ^[4]

Модели межвременного портфеля, в которых выбор портфеля осуществляется совместно с решениями о межвременном предложении рабочей силы, могут привести к возрастающему эффекту консерватизма с возрастом. ^{[ нужна ссылка ]} как утверждают многие инвестиционные консультанты. Этот результат следует из того факта, что на рискованные инвестиции, когда инвестор молод, и которые оказываются плохими, можно отреагировать путем предложения большего количества рабочей силы, чем ожидалось, в последующие периоды времени, чтобы хотя бы частично компенсировать потерянное богатство; поскольку пожилой человек с меньшим количеством последующих периодов времени менее способен компенсировать плохую доходность инвестиций таким образом, для инвестора оптимально брать на себя меньший инвестиционный риск в более старшем возрасте.

Непрерывное время

Роберт С. Мертон ^[5] показали, что в непрерывном времени с гиперболическим абсолютным неприятием риска, с доходностью активов, эволюция которой описывается броуновским движением и которые независимо и одинаково распределены во времени, и с безрисковым активом можно получить явное решение для спроса на уникальный оптимальный портфель, и этот спрос линейен по начальному богатству.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Ингерсолл, Джонатан Э. (1987). Теория принятия финансовых решений . Тотова, Нью-Джерси: Роуман и Литтлфилд. ISBN 0847673596 .
^ Моссин, Ян (1968). «Оптимальная многопериодная портфельная политика». Журнал бизнеса . 41 (2): 215–229. дои : 10.1086/295078 . JSTOR 2351447 .
^ Балверс, Рональд Дж., и Митчелл, Дуглас В., «Эффективный градуализм в межвременных портфелях», Журнал экономической динамики и контроля 24, 2000, 21-38.
^ Балверс, Рональд Дж., и Митчелл, Дуглас В., «Автокоррелированная доходность и оптимальный межвременной выбор портфеля», Management Science 43 (11), ноябрь 1997 г., стр. 1537-1551.
^ Мертон, Роберт К. (1971). «Правила оптимального потребления и портфеля в модели непрерывного времени». Журнал экономической теории . 3 (4): 373–413. дои : 10.1016/0022-0531(71)90038-X . hdl : 1721.1/63980 . (Глава I его докторской диссертации; глава 5 в его книге «Финансы в непрерывном времени» ).

[Ingersoll-1] Jump up to: ^а ^б Ингерсолл, Джонатан Э. (1987). Теория принятия финансовых решений . Тотова, Нью-Джерси: Роуман и Литтлфилд. ISBN 0847673596 .

[2] Моссин, Ян (1968). «Оптимальная многопериодная портфельная политика». Журнал бизнеса . 41 (2): 215–229. дои : 10.1086/295078 . JSTOR 2351447 .

[BM-3] Балверс, Рональд Дж., и Митчелл, Дуглас В., «Эффективный градуализм в межвременных портфелях», Журнал экономической динамики и контроля 24, 2000, 21-38.

[4] Балверс, Рональд Дж., и Митчелл, Дуглас В., «Автокоррелированная доходность и оптимальный межвременной выбор портфеля», Management Science 43 (11), ноябрь 1997 г., стр. 1537-1551.

[5] Мертон, Роберт К. (1971). «Правила оптимального потребления и портфеля в модели непрерывного времени». Журнал экономической теории . 3 (4): 373–413. дои : 10.1016/0022-0531(71)90038-X . hdl : 1721.1/63980 . (Глава I его докторской диссертации; глава 5 в его книге «Финансы в непрерывном времени» ).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]