Логранковый тест

Логранговый тест или логранговый тест — это проверка гипотезы, позволяющая сравнить распределения выживаемости двух выборок. Это непараметрический тест, который целесообразно использовать, когда данные искажены вправо и подвергаются цензуре (технически цензура должна быть неинформативной). Он широко используется в клинических исследованиях для установления эффективности нового лечения по сравнению с контрольным лечением, когда измерением является время до события (например, время от первоначального лечения до сердечного приступа). Этот тест иногда называют тестом Мантеля-Кокса . Критерий логранга также можно рассматривать как стратифицированный по времени критерий Кокрана-Мантела-Хэнзеля .

Впервые тест был предложен Натаном Мантелом назвали его тестом , а Ричард логранговым и Джулиан Пето .

Определение

Статистика логрангового теста сравнивает оценки функций риска двух групп в каждый момент времени наблюдаемого события. Он строится путем вычисления наблюдаемого и ожидаемого количества событий в одной из групп в каждый момент времени наблюдаемого события, а затем их сложения для получения общей сводки по всем точкам времени, где происходит событие.

Рассмотрим две группы пациентов, например, лечение и контроль. Позволять $1,\ldots ,J$ быть разными моментами наблюдаемых событий в каждой группе. Позволять $N_{1,j}$ и $N_{2,j}$ быть числом субъектов, «подверженных риску» (у которых еще не было события или которые не подверглись цензуре) в начале периода $j$ в группах соответственно. Позволять $O_{1,j}$ и $O_{2,j}$ быть наблюдаемым количеством событий в группах за раз $j$. Наконец, определите $N_{j}=N_{1,j}+N_{2,j}$ и $O_{j}=O_{1,j}+O_{2,j}$.

Нулевая гипотеза состоит в том, что обе группы имеют одинаковые функции риска. $H_{0}:h_{1}(t)=h_{2}(t)$. Следовательно, под $H_{0}$, для каждой группы $i=1,2$, $O_{i,j}$ следует гипергеометрическому распределению с параметрами $N_{j}$, $N_{i,j}$, $O_{j}$. Это распределение имеет ожидаемое значение $E_{i,j}=O_{j}{\frac {N_{i,j}}{N_{j}}}$ и дисперсия $V_{i,j}=E_{i,j}\left({\frac {N_{j}-O_{j}}{N_{j}}}\right)\left({\frac {N_{j}-N_{i,j}}{N_{j}-1}}\right)$.

Для всех $j=1,\ldots ,J$, статистика логранга сравнивается $O_{i,j}$ к его ожиданию $E_{i,j}$ под $H_{0}$. Это определяется как

$Z_{i}={\frac {\sum _{j=1}^{J}(O_{i,j}-E_{i,j})}{\sqrt {\sum _{j=1}^{J}V_{i,j}}}}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}(0,1)$ (для $i=1$ или $2$)

По центральной предельной теореме распределение каждого $Z_{i}$ сходится к стандартному нормальному распределению как $J$ приближается к бесконечности и поэтому может быть аппроксимирован стандартным нормальным распределением для достаточно большого $J$. Улучшенное приближение можно получить, приравняв эту величину к распределениям Пирсона типа I или II (бета) с совпадением первых четырех моментов, как описано в Приложении B статьи Пето и Пето.

распределение

Если две группы имеют одинаковую функцию выживания, логранговая статистика примерно соответствует стандартному нормальному значению. Односторонний уровень $\alpha$ тест отклонит нулевую гипотезу, если $Z>z_{\alpha }$ где $z_{\alpha }$ это верхний $\alpha$ квантиль стандартного нормального распределения. Если коэффициент риска $\lambda$, есть $n$ всего предметов, $d$ — это вероятность того, что у субъекта в любой группе в конечном итоге произойдет событие (так что $nd$ — ожидаемое количество событий на момент анализа), а доля субъектов, рандомизированных в каждую группу, составляет 50%, тогда логранговая статистика примерно нормальна со средним значением $(\log {\lambda })\,{\sqrt {\frac {n\,d}{4}}}$ и дисперсия 1. Для одностороннего уровня $\alpha$ тест с силой $1-\beta$, требуемый размер выборки составляет $n={\frac {4\,(z_{\alpha }+z_{\beta })^{2}}{d\log ^{2}{\lambda }}}$где $z_{\alpha }$ и $z_{\beta }$ являются квантилями стандартного нормального распределения.

Совместное распространение

Предполагать $Z_{1}$ и $Z_{2}$ — это статистика логрангов в два разных момента времени в одном и том же исследовании ( $Z_{1}$ ранее). Опять же, предположим, что функции риска в двух группах пропорциональны отношению рисков. $\lambda$ и $d_{1}$ и $d_{2}$ — это вероятности того, что у субъекта произойдет событие в два момента времени, когда $d_{1}\leq d_{2}$. $Z_{1}$ и $Z_{2}$ приблизительно двумерные нормальные со средними значениями $\log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{1}}{4}}}$ и $\log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{2}}{4}}}$ и корреляция ${\sqrt {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$. Расчеты, включающие совместное распределение, необходимы для правильного учета уровня ошибок при многократной проверке данных в рамках исследования Комитетом по мониторингу данных .

с

• Статистика логрангов может быть получена как критерий оценки для модели пропорциональных рисков Кокса, сравнивающей две группы. Таким образом, это асимптотически эквивалентно статистике теста отношения правдоподобия, основанной на этой модели.
• Статистика логранга асимптотически эквивалентна статистике теста отношения правдоподобия для любого семейства распределений с альтернативой пропорционального риска. Например, если данные из двух выборок имеют экспоненциальное распределение .
• Если $Z$ это логранговая статистика, $D$ количество наблюдаемых событий, и ${\hat {\lambda }}$ – оценка отношения рисков, тогда $\log {\hat {\lambda }}\approx Z\,{\sqrt {4/D}}$. Это соотношение полезно, когда известны две величины (например, из опубликованной статьи), но требуется третья.
• Статистику логранга можно использовать, когда наблюдения подвергаются цензуре. Если цензурированные наблюдения отсутствуют в данных, то критерий суммы рангов Уилкоксона . подходит
• Статистика логрангов придает всем расчетам одинаковый вес, независимо от времени, в которое произошло событие. Статистика логрангового теста Пето придает больший вес более ранним событиям при большом количестве наблюдений.

Тестовые предположения

Логранговый тест основан на тех же предположениях, что и кривая выживаемости Каплана-Мейера , а именно, что цензура не связана с прогнозом, вероятности выживания одинаковы для субъектов, набранных на ранних и поздних стадиях исследования, и события произошли в указанное время. . Отклонения от этих предположений имеют наибольшее значение, если они выполняются по-разному в сравниваемых группах, например, если цензура более вероятна в одной группе, чем в другой.

См. также

• Оценщик Каплана – Мейера
• Коэффициент опасности