Визуальное сравнение свертки , кросс-корреляции и автокорреляции . Для операций с функцией f и при условии, что высота f равна 1,0, значение результата в 5 разных точках обозначается заштрихованной областью под каждой точкой. Кроме того, вертикальная симметрия f является причиной и в этом примере идентичны.
В теории вероятности и статистике термин « взаимная корреляция» относится к корреляциям между элементами двух случайных векторов. и , а корреляции случайного вектора являются корреляциями между записями сами по себе те, которые формируют матрицу корреляционную . Если каждый из и является скалярной случайной величиной, которая неоднократно реализуется во временном ряду , то корреляции различных временных моментов известны автокорреляции как и взаимные корреляции с во времени являются временными взаимными корреляциями. В теории вероятности и статистике определение корреляции всегда включает стандартизирующий фактор, таким образом, корреляции имеют значения от -1 до +1.
Если и две независимые случайные величины с функциями плотности вероятности и соответственно, то плотность вероятности разности формально задается взаимной корреляцией (в смысле обработки сигналов) ; однако эта терминология не используется в теории вероятности и статистике. Напротив, свертка (эквивалент взаимной корреляции и ) дает функцию плотности вероятности суммы .
Для непрерывных функций и , взаимная корреляция определяется как: [1] [2] [3]
что эквивалентно
где обозначает комплексно-сопряженное число , и называется смещением или задержкой. Для высококоррелированных и которые имеют максимальную взаимную корреляцию в конкретном , особенность в в также происходит позже в в , следовательно можно описать как отставание к .
Если и обе являются непрерывными периодическими функциями периода , интегрирование из к заменяется интегрированием по любому интервалу длины :
что эквивалентно
Аналогично для дискретных функций взаимная корреляция определяется как: [4] [5]
что эквивалентно:
Для конечных дискретных функций , (круговая) взаимная корреляция определяется как: [6]
что эквивалентно:
Для конечных дискретных функций , , взаимная корреляция ядра определяется как: [7]
Конкретно, это может быть преобразование кругового перемещения, преобразование вращения или масштабное преобразование и т. д. Взаимная корреляция ядра расширяет взаимную корреляцию из линейного пространства в пространство ядра. Взаимная корреляция эквивалентна переводу; кросс-корреляция ядра эквивалентна любым аффинным преобразованиям, включая перемещение, вращение, масштабирование и т. д.
В качестве примера рассмотрим две вещественнозначные функции. и отличающиеся лишь неизвестным сдвигом вдоль оси x. Можно использовать взаимную корреляцию, чтобы определить, насколько необходимо сместить по оси X, чтобы сделать его идентичным . Формула, по существу, сдвигает функционируют вдоль оси X, вычисляя интеграл от их произведения в каждой позиции. Когда функции совпадают, значение максимизируется. Это связано с тем, что когда пики (положительные области) совпадают, они вносят большой вклад в интеграл. Аналогичным образом, когда впадины (отрицательные области) совпадают, они также вносят положительный вклад в интеграл, поскольку произведение двух отрицательных чисел положительно.
Анимация расчета взаимной корреляции. На левом графике показана зеленая функция G, сдвинутая по фазе относительно функции F на временное смещение на 𝜏. Средний график показывает функцию F и сдвинутую по фазе G, представленную вместе в виде кривой Лиссажу . Интегрирование F, умноженное на сдвинутую по фазе G, дает правильный график — взаимную корреляцию между всеми значениями 𝜏.
С комплексными функциями и взяв сопряженное , гарантирует, что совмещенные пики (или совмещенные впадины) с мнимыми компонентами будут вносить положительный вклад в интеграл.
В эконометрике лаговую кросс-корреляцию иногда называют кросс-автокорреляцией. [8] : п. 74
Случайные векторы и не обязательно должны иметь одинаковую размерность, и любое из них может быть скалярным значением.
Где это математическое ожидание .
Например, если и являются случайными векторами, то это матрица, чья -я запись .
Определение сложных случайных векторов [ править ]
Если и представляют собой комплексные случайные векторы , каждый из которых содержит случайные переменные, ожидаемое значение и дисперсия которых существуют, матрицу взаимной корреляции и определяется
Предположим, что процесс имеет средства и и отклонения и вовремя , для каждого . Тогда определение взаимной корреляции между временами и является [10] : стр.392
Вычитание среднего значения перед умножением дает перекрестную ковариацию между временами. и : [10] : стр.392
Обратите внимание, что это выражение не является четко определенным для всех временных рядов или процессов, поскольку среднее значение или дисперсия могут не существовать.
широком стационарного случайного процесса в Определение смысле
где и среднее и стандартное отклонение процесса , которые постоянны во времени из-за стационарности; и аналогично для , соответственно. указывает ожидаемое значение . Что взаимная ковариация и взаимная корреляция не зависят от — это именно дополнительная информация (помимо индивидуальной стационарности в широком смысле), передаваемая требованием, чтобы являются совместно стационарными в широком смысле.
Взаимную корреляцию пары совместных стационарных стохастических процессов в широком смысле можно оценить путем усреднения произведения выборок, измеренных в результате одного процесса, и выборок, измеренных в результате другого (и их временных сдвигов). Выборки, включенные в среднее значение, могут представлять собой произвольное подмножество всех выборок в сигнале (например, выборки в пределах конечного временного окна или подвыборку) . [ который? ] одного из сигналов). Для большого количества выборок среднее значение сходится к истинной взаимной корреляции.
Определение нормированной взаимной корреляции случайного процесса:
Если функция четко определен, его значение должно лежать в диапазоне , где 1 указывает на идеальную корреляцию, а −1 указывает на идеальную антикорреляцию .
Для совместных стационарных случайных процессов в широком смысле определение таково:
Нормализация важна как потому, что интерпретация автокорреляции как корреляции обеспечивает безмасштабную меру силы статистической зависимости , так и потому, что нормализация влияет на статистические свойства оцененных автокорреляций.
Взаимная корреляция полезна для определения временной задержки между двумя сигналами, например, для определения временных задержек при распространении акустических сигналов по микрофонной решетке. [12] [13] [ нужны разъяснения ] После расчета взаимной корреляции между двумя сигналами максимум (или минимум, если сигналы отрицательно коррелированы) функции взаимной корреляции указывает момент времени, когда сигналы лучше всего выровнены; т. е. временная задержка между двумя сигналами определяется аргументом максимума или arg max взаимной корреляции , как в
Терминология в обработке изображений
Взаимная корреляция с нулевой нормализацией (ZNCC) [ править ]
Для приложений обработки изображений , в которых яркость изображения и шаблона может меняться в зависимости от условий освещения и экспозиции, изображения можно сначала нормализовать. Обычно это делается на каждом этапе путем вычитания среднего значения и деления на стандартное отклонение . То есть взаимная корреляция шаблона с фрагментом изображения является
где это количество пикселей в и ,
среднее значение и стандартное отклонение .
Таким образом, если и являются действительными матрицами, их нормированная взаимная корреляция равна косинусу угла между единичными векторами и , будучи таким образом если и только если равно умноженное на положительную скалярную величину.
Следует соблюдать осторожность при использовании взаимной корреляции для нелинейных систем. В определенных обстоятельствах, которые зависят от свойств входа, взаимная корреляция между входом и выходом системы с нелинейной динамикой может быть полностью невосприимчива к определенным нелинейным эффектам. [14] Эта проблема возникает потому, что некоторые квадратичные моменты могут равняться нулю, и это может ошибочно предполагать, что между двумя сигналами существует небольшая «корреляция» (в смысле статистической зависимости), хотя на самом деле эти два сигнала сильно связаны нелинейной динамикой.
^ Ван, Чен; Чжан, Ле; Юань, Джунсонг; Се, Лихуа (2018). «Кросс-коррелятор ядра» . Материалы конференции AAAI по искусственному интеллекту . Тридцать вторая конференция AAAI по искусственному интеллекту. 32 . Ассоциация по развитию искусственного интеллекта: 4179–4186. дои : 10.1609/aaai.v32i1.11710 . S2CID 3544911 .
^ Кэмпбелл; Ло; МакКинли (1996). Эконометрика финансовых рынков . Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0691043019 .
^ Капинчев Константин; Браду, Адриан; Барнс, Фредерик; Подолеану, Адриан (2015). «Реализация кросс-корреляции графическим процессором для генерации изображений в реальном времени». 2015 9-я Международная конференция по системам обработки сигналов и связи (ICSPCS) . стр. 1–6. дои : 10.1109/ICSPCS.2015.7391783 . ISBN 978-1-4673-8118-5 . S2CID 17108908 .
^ Перейти обратно: а б с Губнер, Джон А. (2006). Вероятность и случайные процессы для инженеров-электриков и вычислительной техники . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86470-1 .
^ Кун Иль Пак, Основы теории вероятностей и случайных процессов с применением в коммуникациях, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
^ Руди, Мэтью; Брайан Буччи; Джеффри Випперман; Джеффри Алланах; Брюс Абрахам (ноябрь 2009 г.). Методы анализа микрофонных решеток с использованием взаимной корреляции . Материалы Международного конгресса машиностроения ASME 2009 г., Лейк-Буэна-Виста, Флорида. стр. 281–288. дои : 10.1115/IMECE2009-10798 . ISBN 978-0-7918-4388-8 .
^ Биллингс, Ю.А. (2013). Идентификация нелинейных систем: методы NARMAX во временной, частотной и пространственно-временной областях . Уайли. ISBN 978-1-118-53556-1 .
Arc.Ask3.Ru Номер скриншота №: 7B939B67CA1A9EECE89E6731A900B669__1713934860 URL1:https://en.wikipedia.org/wiki/Cross-correlation Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1: Cross-correlation - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть, любые претензии не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, денежную единицу можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)