Перекрестный спектр

При анализе временных рядов перекрестный спектр используется как часть частотной области анализа взаимной корреляции или взаимной ковариации между двумя временными рядами.

Определение

Позволять $(X_{t},Y_{t})$ представляют пару случайных процессов , которые совместно являются стационарными в широком смысле с автоковариационными функциями $\gamma _{xx}$ и $\gamma _{yy}$ и перекрестной ковариации функция $\gamma _{xy}$. Тогда перекрестный спектр $\Gamma _{xy}$ определяется как Фурье преобразование $\gamma _{xy}$

$\Gamma _{xy}(f)={\mathcal {F}}\{\gamma _{xy}\}(f)=\sum _{\tau =-\infty }^{\infty }\,\gamma _{xy}(\tau )\,e^{-2\,\pi \,i\,\tau \,f},$

где

$\gamma _{xy}(\tau )=\operatorname {E} [(x_{t}-\mu _{x})(y_{t+\tau }-\mu _{y})]$ .

Кросс-спектр имеет представления в виде разложения на (i) его действительную часть (коспектр) и (ii) его мнимую часть (квадратурный спектр).

$\Gamma _{xy}(f)=\Lambda _{xy}(f)-i\Psi _{xy}(f),$

и (ii) в полярных координатах

$\Gamma _{xy}(f)=A_{xy}(f)\,e^{i\phi _{xy}(f)}.$

Здесь амплитудный спектр $A_{xy}$ дается

$A_{xy}(f)=(\Lambda _{xy}(f)^{2}+\Psi _{xy}(f)^{2})^{\frac {1}{2}},$

и фазовый спектр $\Phi _{xy}$ дается

${\begin{cases}\tan ^{-1}(\Psi _{xy}(f)/\Lambda _{xy}(f))&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)\neq 0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)\neq 0\\0&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)=0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)>0\\\pm \pi &{\text{if }}\Psi _{xy}(f)=0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)<0\\\pi /2&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)>0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)=0\\-\pi /2&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)<0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)=0\\\end{cases}}$

Квадратичный спектр когерентности

Квадрат спектра когерентности определяется выражением

$\kappa _{xy}(f)={\frac {A_{xy}^{2}}{\Gamma _{xx}(f)\Gamma _{yy}(f)}},$

выражающее амплитудный спектр в безразмерных единицах.

См. также

• Взаимная корреляция
• Спектр мощности
• Масштабированная корреляция