Когерентность (обработка сигналов)

В обработке сигналов когерентность статистика — это , которую можно использовать для изучения связи между двумя сигналами или наборами данных . Он обычно используется для оценки передачи мощности между входом и выходом линейной системы . Если сигналы эргодичны , а системная функция линейна , ее можно использовать для оценки причинно-следственной связи между входом и выходом. ^{[ нужна ссылка ]}

Определение и формулировка

Когерентность ) (иногда называемая квадратичной когерентностью между двумя сигналами x(t) и y(t) представляет собой вещественную функцию, которая определяется как: ^[1]^[2]

C_{xy}(f)={\frac {|G_{xy}(f)|^{2}}{G_{xx}(f)G_{yy}(f)}}

где G _xy (f) — перекрестная спектральная плотность между x и y, а G _xx (f) и G _yy (f) — автоспектральная плотность x и y соответственно. Величина спектральной плотности обозначается как |G|. Учитывая отмеченные выше ограничения (эргодичность, линейность), функция когерентности оценивает степень, в которой y(t) может быть предсказана на основе x(t) с помощью оптимальной линейной функции наименьших квадратов .

Ценности согласованности всегда будут удовлетворять $0\leq C_{xy}(f)\leq 1$ . Для идеальной линейной системы с постоянным параметром с одним входом x(t) и одним выходом y(t) когерентность будет равна единице. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим линейную систему с импульсной характеристикой h(t), определяемой как: $y(t)=h(t)*x(t)$ , где $*$ обозначает свертку . В области Фурье это уравнение принимает вид $Y(f)=H(f)X(f)$ , где Y(f) — преобразование Фурье y(t), а H(f) — передаточная функция линейной системы . Поскольку для идеальной линейной системы: $G_{yy}=|H(f)|^{2}G_{xx}(f)$ и $G_{xy}=H(f)G_{xx}(f)$ , и поскольку $G_{xx}(f)$ действителен, имеет место следующее тождество:

C_{xy}(f)={\frac {|H(f)G_{xx}(f)|^{2}}{G_{xx}(f)G_{yy}(f)}}={\frac {|H(f)G_{xx}(f)|^{2}}{G_{xx}^{2}(f)|H(f)|^{2}}}={\frac {|G_{xx}(f)|^{2}}{G_{xx}^{2}(f)}}=1

.

Однако в физическом мире идеальная линейная система редко реализуется, шум является неотъемлемым компонентом измерения системы, и вполне вероятно, что линейной системы с одним входом и одним выходом недостаточно для отражения всей динамики системы. В тех случаях, когда предположения об идеальной линейной системе недостаточны, неравенство Коши – Шварца гарантирует значение $C_{xy}\leq 1$ .

Если C _xy меньше единицы, но больше нуля, это указывает на то, что либо: в измерения попадает шум, либо предполагаемая функция, связывающая x(t) и y(t), не является линейной, либо что y(t) создает выход за счет входа x(t), а также других входов. Если когерентность равна нулю, это указывает на то, что x(t) и y(t) совершенно не связаны, учитывая ограничения, упомянутые выше.

Таким образом, когерентность линейной системы представляет собой дробную часть мощности выходного сигнала, создаваемую входным сигналом на этой частоте. Также мы можем просмотреть количество $1-C_{xy}$ как оценка дробной мощности выходного сигнала, на которую не влияет вход на определенной частоте. Это естественным образом приводит к определению когерентного выходного спектра:

G_{vv}=\left(1-C_{xy}\right)G_{yy}

$G_{vv}$ обеспечивает спектральную количественную оценку выходной мощности, которая не коррелирует с шумом или другими входными данными.

Пример

Здесь мы иллюстрируем вычисление когерентности (обозначаемой как $\gamma ^{2}$ ), как показано на рисунке 1.Рассмотрим два сигнала, показанные в нижней части рисунка 2.По-видимому, существует тесная взаимосвязь между уровнем поверхностных вод океана и уровнем грунтовых вод. Также ясно, что барометрическое давление влияет как на уровень воды в океане, так и на уровень грунтовых вод.

На рис. 3 показана автоспектральная плотность уровня воды океана за длительный период времени.

Как и ожидалось, большая часть энергии сосредоточена на хорошо известных приливных частотах. Аналогично, автоспектральная плотность уровней грунтовых вод показана на рисунке 4.

Очевидно, что колебания уровня грунтовых вод имеют значительную силу на частотах океанских приливов. Чтобы оценить степень влияния уровней грунтовых вод на уровни поверхности океана, мы вычисляем согласованность между ними. Предположим, что существует линейная зависимость между высотой поверхности океана и уровнем грунтовых вод. Далее мы предполагаем, что высота поверхности океана контролирует уровень грунтовых вод, поэтому мы принимаем высоту поверхности океана в качестве входной переменной, а высоту скважины для грунтовых вод в качестве выходной переменной.

Вычисленная когерентность (рисунок 1) показывает, что на большинстве основных частот океанских приливов изменение уровня грунтовых вод на этом конкретном участке составляет более 90% из-за воздействия океанских приливов. Однако следует проявлять осторожность в объяснении причинно-следственной связи. Если связь ( передаточная функция ) между входом и выходом нелинейна , то значения когерентности могут быть ошибочными. Другая распространенная ошибка — предполагать наличие причинно-следственной связи между наблюдаемыми переменными, хотя на самом деле причинный механизм не заложен в модель системы. Например, ясно, что атмосферное барометрическое давление вызывает изменение как уровня воды в океане, так и уровня грунтовых вод, но барометрическое давление не включено в модель системы в качестве входной переменной. Мы также предположили, что уровень воды в океане управляет или контролирует уровень грунтовых вод. На самом деле это сочетание гидрологического воздействия уровня воды в океане и приливного потенциала , которое управляет как наблюдаемыми входными, так и выходными сигналами. Кроме того, шум, вносимый в процессе измерения или при обработке спектрального сигнала, может способствовать или искажать когерентность.

Распространение на нестационарные сигналы

Если сигналы нестационарны (и, следовательно, не эргодичны ), приведенные выше формулы могут оказаться неприемлемыми. Для таких сигналов концепция когерентности была расширена за счет использования концепции частотно-временных распределений для представления изменяющихся во времени спектральных изменений нестационарных сигналов вместо традиционных спектров. Более подробную информацию см. ^[3]

Применение в нейробиологии

Когерентность использовалась для измерения динамических функциональных связей в сетях мозга. Исследования показывают, что согласованность между различными областями мозга может меняться в разных психических состояниях или состояниях восприятия. ^[4] На когерентность мозга в состоянии покоя могут влиять расстройства и заболевания. ^[5]

См. также

Ссылки

^ Дж. С. Бендат, А. Г. Пирсол, Случайные данные , Wiley-Interscience, 1986.
^ http://www.fil.ion.ucl.ac.uk/~wpenny/course/course.html , глава 7.
^ Уайт, LB; Боашаш, Б. (1990). «Кросс-спектральный анализ нестационарных процессов». Транзакции IEEE по теории информации . 36 (4): 830–835. дои : 10.1109/18.53742 .
^ Гадери, Амир Хосейн; Морадхани, Шади; Хагигатфард, Арвин; Акрами, Фатима; Хайер, Захра; Балджи, Фуат (2018). «Оценка времени и бета-сегрегация: исследование ЭЭГ и теоретический подход к графикам » . ПЛОС ОДИН . 13 (4): e0195380. Бибкод : 2018PLoSO..1395380G . дои : 10.1371/journal.pone.0195380 . ПМЦ 5889177 . ПМИД 29624619 .
^ Россини, премьер-министр; Дель Персио, К.; Паскуалетти, П.; Кассетта, Э.; Бинетти, Дж.; Даль Форно, Г.; Феррери, Ф.; Фризони, Г.; Чиовенда, П.; Миниусси, К.; Паризи, Л.; Томбини, М.; Веккьо, Ф.; Бабилони, К. (декабрь 2006 г.). «Преобразование легких когнитивных нарушений в болезнь Альцгеймера предсказывается источниками и когерентностью ритмов электроэнцефалографии мозга». Нейронаука . 143 (3): 793–803. doi : 10.1016/j.neuroscience.2006.08.049 . ПМИД 17049178 . S2CID 4494245 .

[1] Дж. С. Бендат, А. Г. Пирсол, Случайные данные , Wiley-Interscience, 1986.

[2] ttp://www.fil.ion.ucl.ac.uk/~wpenny/course/course.html , глава 7.

[3] Уайт, LB; Боашаш, Б. (1990). «Кросс-спектральный анализ нестационарных процессов». Транзакции IEEE по теории информации . 36 (4): 830–835. дои : 10.1109/18.53742 .

[4] Гадери, Амир Хосейн; Морадхани, Шади; Хагигатфард, Арвин; Акрами, Фатима; Хайер, Захра; Балджи, Фуат (2018). «Оценка времени и бета-сегрегация: исследование ЭЭГ и теоретический подход к графикам » . ПЛОС ОДИН . 13 (4): e0195380. Бибкод : 2018PLoSO..1395380G . дои : 10.1371/journal.pone.0195380 . ПМЦ 5889177 . ПМИД 29624619 .

[5] Россини, премьер-министр; Дель Персио, К.; Паскуалетти, П.; Кассетта, Э.; Бинетти, Дж.; Даль Форно, Г.; Феррери, Ф.; Фризони, Г.; Чиовенда, П.; Миниусси, К.; Паризи, Л.; Томбини, М.; Веккьо, Ф.; Бабилони, К. (декабрь 2006 г.). «Преобразование легких когнитивных нарушений в болезнь Альцгеймера предсказывается источниками и когерентностью ритмов электроэнцефалографии мозга». Нейронаука . 143 (3): 793–803. doi : 10.1016/j.neuroscience.2006.08.049 . ПМИД 17049178 . S2CID 4494245 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]