Бикогерентность

В математике и анализе статистическом бикогерентность (также известная как биспектральная когерентность ) представляет собой нормализованную в квадрате версию биспектра . Бикогерентность принимает значения, ограниченные от 0 до 1, что делает ее удобной мерой для количественной оценки степени фазовой связи в сигнале. Приставка би- в биспектре и бикогерентности относится не к двум временным рядам x _t , y _t , а скорее к двум частотам одного сигнала.

Биспектр — это статистика , используемая для поиска нелинейных взаимодействий. кумулянта Преобразование Фурье порядка второго , т. е. автокорреляционная функция, представляет собой традиционный спектр мощности . Преобразование Фурье C ₃ (t ₁ ,t ₂ третьего порядка ) ( кумулянт ) называется биспектром или биспектральной плотностью . Они попадают в категорию спектров высшего порядка или полиспектров и предоставляют дополнительную информацию о спектре мощности. Полиспектр третьего порядка (биспектр) проще всего вычислить и, следовательно, наиболее популярен.

Отличие от измерения когерентности (когерентный анализ — это широко используемый метод изучения корреляций в частотной области между двумя одновременно измеряемыми сигналами) заключается в необходимости измерения как входных, так и выходных сигналов путем оценки двух автоспектров и одного перекрестного спектра. С другой стороны, бикогерентность — это автовеличина, т. е. ее можно вычислить по одному сигналу. Функция когерентности обеспечивает количественную оценку отклонений от линейности в системе, которая находится между входными и выходными измерительными датчиками. Бикогерентность измеряет долю энергии сигнала на любой двухчастоте, которая квадратично связана по фазе. Обычно его нормируют в диапазоне, аналогичном коэффициенту корреляции и классической (второго порядка) когерентности. Он также использовался для оценки глубины анестезии и широко использовался в физике плазмы (нелинейная передача энергии), а также для обнаружения гравитационных волн .

Биспектр и бикогерентность могут быть применены к случаю нелинейных взаимодействий непрерывного спектра распространяющихся волн в одном измерении. ^[1]

Проведены измерения бикогерентности для ЭЭГ сигналов мониторинга во сне , бодрствовании и судорогах . ^{[ нужна ссылка ]}

Определение

Биспектр определяется как тройное произведение

B(f_{1},f_{2})=F(f_{1})F(f_{2})F^{*}(f_{1}+f_{2})

где $B$ это биспектр, оцениваемый на частотах $f_{1}$ и $f_{2}$ , $F$ - преобразование Фурье сигнала, а $^{*}$ обозначает комплексно-сопряженное. Преобразование Фурье — комплексная величина, как и биспектр. В результате комплексного умножения величина биспектра равна произведению величин каждой из частотных составляющих, а фаза биспектра представляет собой сумму фаз каждой из частотных составляющих.

Предположим, что три компоненты Фурье $F(f_{1})$ , $F(f_{2})$ и $F(f_{1}+f_{2})$ были идеально синхронизированы по фазе. Тогда, если преобразование Фурье было рассчитано несколько раз из разных частей временного ряда, биспектр всегда будет иметь одно и то же значение. Если мы сложим все биспектры, они просуммируются без отмены. С другой стороны, предположим, что фазы каждой из этих частот были случайными. Тогда биспектр будет иметь ту же самую величину (при условии, что величина частотных составляющих одинакова), но фаза будет ориентирована случайным образом. Сложение всех биспектров приведет к аннулированию из-за случайной ориентации фаз, поэтому сумма биспектров будет иметь небольшую величину. Обнаружение фазовой связи требует суммирования по ряду независимых выборок — это первая причина для определения бикогерентности. Во-вторых, биспектр не нормируется, поскольку он по-прежнему зависит от величин каждой из частотных составляющих. Бикогерентность включает коэффициент нормализации, который устраняет зависимость от величины.

Существует некоторое несоответствие с определением константы нормализации бикогерентности. Некоторые из использованных определений:

b(f_{1},f_{2})={\frac {\left|\sum \limits _{n}F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})\right|}{\sqrt {\sum \limits _{n}|F_{n}(f_{1})|^{2}|F_{n}(f_{2})|^{2}|F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})|^{2}}}}

которое было представлено в Sigl and Chamoun 1994, но, похоже, не нормализовано правильно. Альтернативно, физика плазмы обычно использует

b^{2}(f_{1},f_{2})={\frac {|\langle F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})\rangle |^{2}}{\langle |F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})|^{2}\rangle \langle |F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})|^{2}\rangle }}

где угловые скобки обозначают усреднение. Обратите внимание, что это то же самое, что и использование суммы, поскольку $n$ одинаково и в числителе, и в знаменателе. Это определение взято непосредственно из Nagashima 2006, а также упоминается в He 2009 и Maccarone 2005.

Наконец, одно из наиболее интуитивных определений взято из Hagihira 2001 и Hayashi 2007:

b(f_{1},f_{2})={\frac {\left|\sum \limits _{n}F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})\right|}{\sum \limits _{n}|F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})|}}

Числитель содержит величину биспектра, суммированную по всем сегментам временного ряда. Эта величина велика при наличии связи фаз и приближается к 0 в пределе случайных фаз. Знаменатель, который нормализует биспектр, определяется путем расчета биспектра после установки всех фаз на 0. Это соответствует случаю идеальной связи фаз, поскольку все образцы имеют нулевую фазу. Следовательно, бикогерентность имеет значение от 0 (случайные фазы) до 1 (полная связь фаз).

Физическая интерпретация

Среди трех приведенных выше нормировок вторую можно интерпретировать как коэффициент корреляции, определенный между энергопоставляющими и энергополучающими сторонами в нелинейном взаимодействии второго порядка, тогда как доказано, что биспектр является соответствующей ковариацией. ^[2] Следовательно, как корреляция не может в достаточной степени продемонстрировать наличие причинной связи, так и значительный пик бикогерентности не может в достаточной степени обосновать существование нелинейного взаимодействия.

См. также

Когерентность (обработка сигналов)

Ссылки

^ http://www.iop.org/EJ/abstract/0741-3335/30/5/005 ^{[ мертвая ссылка ]}
^ Он, Маошэн; Форбс, Джеффри М. (07 декабря 2022 г.). «Генерация второй гармоники волны Россби, наблюдаемая в средней атмосфере» . Природные коммуникации . 13 (1): 7544. doi : 10.1038/s41467-022-35142-3 . ISSN 2041-1723 . ПМЦ 9729661 . ПМИД 36476614 .

Хагихира С., Такашина М., Мори Т., Машимо Т. и Ёшия И. (2001). Практические вопросы биспектрального анализа электроэнцефалографических сигналов. Анестезия и анальгезия, 93(4), 966-970. Получено с http://www.anesthesia-analgesia.org/content/93/4/966.abstract.
Хаяши К., Цуда Н., Сава Т. и Хагихира С. (2007). Кетамин увеличивает частоту электроэнцефалографического пика бикогерентности в области альфа-веретена, индуцированного пропофолом. Британский журнал анестезии, 99(3), 389-95. дои: 10.1093/бья/aem175
Нагасима Ю., Ито К., Ито С.-И., Хосино К., Фудзисава А., Эдзири А., Такасе Ю. и др. (2006). Наблюдение когерентной бикогерентности и двухфазности колебаний потенциала вокруг частоты геодезической акустической моды на JFT-2M. Физика плазмы и управляемый термоядерный синтез, 48(5A), A377-A386. дои: 10.1088/0741-3335/48/5A/S38
Он, Х. (2009). Каноническая бикогерентность - Часть I: Определение, многоконусная оценка и статистика. Обработка сигналов, транзакции IEEE, 57 (4), 1273-1284. Получено с http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=4749274.
Маккароне, Ти Джей, и Шнитман, Джей Ди (2004). Бикогерентность как диагностика моделей высокочастотных квазипериодических колебаний. Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества , 357 (1), 12–16. doi:10.1111/j.1365-2966.2004.08615.x
Мендель Дж.М. «Учебное пособие по статистике высшего порядка (спектрам) в обработке сигналов и теории систем: теоретические результаты и некоторые приложения». Труды IEEE , 79 , 3, 278-305.
М. Дж. Хинич, «Проверка гауссовости и линейности стационарного временного ряда», Журнал анализа временных рядов 3 (3), 1982, стр. 169–176.
HOSA — Набор инструментов спектрального анализа высшего порядка . (условно-бесплатная программа для персональных компьютеров под управлением Microsoft Windows.)
Сигл, Дж. К. и Н. Г. Шамун. 1994. Введение в биспектральный анализ электроэнцефалограммы. Журнал клинического мониторинга 10:392-404.
Т.Х. Буллок, Дж.З. Ахимович и др. , «Бикогерентность внутричерепной ЭЭГ в состоянии бодрствования, сна и судорог», Журнал клинической нейрофизиологии и ЭЭГ, 1997, том. 231, стр. 130–142.
Дж. Л. Шилс, М. Литт, Б. Е. Сколник, М. М. Стекер, «Биспектральный анализ зрительных взаимодействий у людей», Электроэнцефалография и клиническая нейрофизиология, 1996; 98: 113-125.

[1] ttp://www.iop.org/EJ/abstract/0741-3335/30/5/005 ^{[ мертвая ссылка ]}

[2] Он, Маошэн; Форбс, Джеффри М. (07 декабря 2022 г.). «Генерация второй гармоники волны Россби, наблюдаемая в средней атмосфере» . Природные коммуникации . 13 (1): 7544. doi : 10.1038/s41467-022-35142-3 . ISSN 2041-1723 . ПМЦ 9729661 . ПМИД 36476614 .

[1]

[2]