Эргодический процесс

Для более широкого освещения этой темы см. Эргодичность .

В физике , статистике , эконометрике и обработке сигналов , что случайный процесс говорят находится в эргодическом режиме, наблюдаемой если среднее значение ансамбля равно среднему времени. В этом режиме любой набор случайных выборок из процесса должен представлять собой средние статистические свойства всего режима. И наоборот, режим процесса, который не является эргодическим, называется неэргодическим режимом. Режим подразумевает временное окно процесса, в котором применяется мера эргодичности.

Конкретные определения

Можно обсуждать эргодичность различных статистик случайного процесса. Например, в широком смысле стационарный процесс $X(t)$ имеет постоянное среднее значение

$\mu _{X}=E[X(t)],$

и автоковариация

$r_{X}(\tau )=E[(X(t)-\mu _{X})(X(t+\tau )-\mu _{X})],$

это зависит только от задержки $\tau$ и не вовремя $t$. Свойства $\mu _{X}$ и $r_{X}(\tau )$являются средними по ансамблю (рассчитываются по всем возможным выборочным функциям $X$), а не средние значения по времени .

Процесс $X(t)$ называется среднеэргодическим или среднеквадратичное эргодическое в первый момент если средняя по времени оценка

${\hat {\mu }}_{X}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}X(t)\,dt$

сходится в квадрате среднего значения к среднему по ансамблю $\mu _{X}$ как $T\rightarrow \infty$.

Так же,процесс называется автоковариационно-эргодическим или d-моментом если средняя по времени оценка

${\hat {r}}_{X}(\tau )={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}[X(t+\tau )-\mu _{X}][X(t)-\mu _{X}]\,dt$

сходится в квадрате среднего значения к среднему по ансамблю $r_{X}(\tau )$, как $T\rightarrow \infty$.Процесс, эргодический в среднем и автоковариантный, иногда называют эргодическим в широком смысле .

Случайные процессы с дискретным временем

Понятие эргодичности также применимо к случайным процессам с дискретным временем. $X[n]$ для целого числа $n$.

Случайный процесс с дискретным временем $X[n]$ эргодично в среднем, если

${\hat {\mu }}_{X}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}X[n]$

сходится в среднем квадрате к среднему ансамблю $E[X]$,как $N\rightarrow \infty$.

Примеры

Эргодичность означает, что среднее значение по ансамблю равно среднему по времени. Ниже приведены примеры, иллюстрирующие этот принцип.

Колл-центр

Каждый оператор колл-центра попеременно разговаривает и слушает телефон, а также делает перерывы между звонками. Каждый перерыв и каждый звонок имеют разную продолжительность, как и продолжительность каждого «всплеска» речи и слушания, а также скорость речи в любой данный момент, каждый из которых можно смоделировать как случайный процесс.

• Возьмите N операторов колл-центра ( N должно быть очень большим целым числом) и постройте график количества слов, произнесенных в минуту каждым оператором за длительный период (несколько смен). Для каждого оператора у вас будет ряд точек, которые можно соединить линиями, чтобы создать «сигнал».
• Рассчитайте среднее значение этих точек на форме волны; это дает вам среднее время .
• Существует N сигналов и N операторов. Эти N сигналов известны как ансамбль .
• Теперь возьмем конкретный момент времени для всех этих сигналов и найдем среднее значение количества слов, произнесенных в минуту. Это дает вам среднее значение ансамбля на данный момент.
• Если среднее по ансамблю всегда равно среднему по времени, то система эргодична.

Электроника

Каждый резистор имеет связанный с ним тепловой шум , который зависит от температуры. Возьмите N резисторов ( N должно быть очень большим) и постройте график напряжения на этих резисторах за длительный период. Для каждого резистора у вас будет форма сигнала. Рассчитайте среднее значение этого сигнала; это дает вам среднее время. Существует N сигналов, поскольку имеется N резисторов. Эти N графиков известны как ансамбль. Теперь возьмем конкретный момент времени на всех этих графиках и найдем среднее значение напряжения. Это дает вам среднее значение ансамбля для каждого участка. Если среднее по ансамблю и среднее по времени совпадают, то оно эргодично.

Примеры неэргодических случайных процессов

• Несмещенное случайное блуждание неэргодично. Его математическое ожидание всегда равно нулю, тогда как его среднее значение по времени представляет собой случайную величину с расходящейся дисперсией.

• Предположим, что у нас есть две монеты: одна честная, а у другой две орла. одну из монет Мы выбираем (случайным образом) сначала , а затем выполняем последовательность независимых подбрасываний выбранной нами монеты. Пусть X [ n ] обозначает результат n- го броска, где 1 для орла и 0 для решки. Тогда среднее значение по ансамблю равно 1 ⁄ 2   ( 1 ⁄ 2 +  1) = 3 ⁄ 4 ; однако долгосрочное среднее значение 1 ⁄ 2 для честной монеты и 1 для двуглавой монеты. Таким образом, долгосрочное среднее по времени равно либо 1/2, либо 1. Следовательно, этот случайный процесс не является эргодическим в среднем.

См. также

• Эргодическая гипотеза
• Эргодичность
• Эргодическая теория — раздел математики, занимающийся более общей формулировкой эргодичности.
• Парадокс Лошмидта
• Теорема Пуанкаре о возврате

Ссылки

• Порат, Б. (1994). Цифровая обработка случайных сигналов: теория и методы . Прентис Холл. п. 14. ISBN  0-13-063751-3 .
• Папулис, Афанасиос (1991). Вероятность, случайные величины и случайные процессы . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 427–442. ISBN  0-07-048477-5 .