Комплексный случайный вектор

В теории вероятностей и статистике комплексный случайный вектор обычно представляет собой случайных кортеж с комплексными значениями величин и обычно представляет собой случайную величину, принимающую значения в векторном пространстве над полем комплексных чисел. Если $Z_{1},\ldots ,Z_{n}$ являются комплексными случайными величинами, то n -кортеж $\left(Z_{1},\ldots ,Z_{n}\right)$ представляет собой сложный случайный вектор. Комплексные случайные величины всегда можно рассматривать как пары вещественных случайных векторов: их действительную и мнимую части.

Некоторые концепции реальных случайных векторов имеют прямое обобщение на комплексные случайные векторы. Например, определение среднего значения комплексного случайного вектора. Другие концепции уникальны для сложных случайных векторов.

Приложения сложных случайных векторов можно найти в цифровой обработке сигналов .

Определение

Сложный случайный вектор $\mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{T}$ в вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ это функция $\mathbf {Z} \colon \Omega \rightarrow \mathbb {C} ^{n}$ такой, что вектор $(\Re {(Z_{1})},\Im {(Z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})},\Im {(Z_{n})})^{T}$ является действительным случайным вектором на $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ где $\Re {(z)}$ обозначает действительную часть $z$ и $\Im {(z)}$ обозначает мнимую часть $z$.

Кумулятивная функция распределения

Обобщение кумулятивной функции распределения от вещественных случайных величин к комплексным неочевидно, поскольку выражения вида $P(Z\leq 1+3i)$ не имеет смысла. Однако выражения вида $P(\Re {(Z)}\leq 1,\Im {(Z)}\leq 3)$ имеет смысл. Следовательно, кумулятивная функция распределения $F_{\mathbf {Z} }:\mathbb {C} ^{n}\mapsto [0,1]$ случайного вектора $\mathbf {Z} =(Z_{1},...,Z_{n})^{T}$ определяется как

$F_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )=\operatorname {P} (\Re {(Z_{1})}\leq \Re {(z_{1})},\Im {(Z_{1})}\leq \Im {(z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})}\leq \Re {(z_{n})},\Im {(Z_{n})}\leq \Im {(z_{n})})$ ( Уравнение 1 )

где $\mathbf {z} =(z_{1},...,z_{n})^{T}$.

Ожидание

Как и в реальном случае, математическое ожидание (также называемое ожидаемым значением ) сложного случайного вектора берется покомпонентно.

$\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]=(\operatorname {E} [Z_{1}],\ldots ,\operatorname {E} [Z_{n}])^{T}$ ( Уравнение 2 )

Ковариационная матрица и псевдоковариационная матрица

См. Также: Ковариационная матрица § Комплексный случайный вектор

Ковариационная матрица (также называемая вторым центральным моментом ) $\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }$ содержит ковариации между всеми парами компонентов. Ковариационная матрица $n\times 1$ случайный вектор – это $n\times n$ матрица, чья $(i,j)$^й элемент — это ковариация между i ^й и Дж ^й случайные переменные. В отличие от реальных случайных величин, ковариация между двумя случайными величинами включает в себя комплексное сопряжение одной из двух. Таким образом, ковариационная матрица является эрмитовой матрицей .

${\begin{aligned}&\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatorname {cov} [\mathbf {Z} ,\mathbf {Z} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])}^{H}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{H}]-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {Z} ^{H}]\\[12pt]\end{aligned}}$

( Уравнение 3 )

$\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])}}]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])}}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])}}]\end{bmatrix}}$

( Псевдоковариационная матрица также называемая матрицей отношений ) определяется заменой эрмитовой транспозиции на транспозицию в приведенном выше определении.

$\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatorname {cov} [\mathbf {Z} ,{\overline {\mathbf {Z} }}]=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])}^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {Z} ^{T}]$

( Уравнение 4 )

$\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])]\end{bmatrix}}$

Характеристики

Ковариационная матрица является эрмитовой матрицей , т.е.

$\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }^{H}=\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }$.

Псевдоковариационная матрица является симметричной матрицей , т.е.

$\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }^{T}=\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }$.

Ковариационная матрица является положительной полуопределенной матрицей , т.е.

$\mathbf {a} ^{H}\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}$.

Ковариационные матрицы действительных и мнимых частей

См. Также: Комплексная случайная величина § Ковариационная матрица действительной и мнимой частей.

Разложив случайный вектор $\mathbf {Z}$ в свою реальную часть $\mathbf {X} =\Re {(\mathbf {Z} )}$ и мнимая часть $\mathbf {Y} =\Im {(\mathbf {Z} )}$ (т.е. $\mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y}$), пара $(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )$ имеет ковариационную матрицу вида:

${\begin{bmatrix}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }&\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }\\\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }&\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {Y} }\end{bmatrix}}$

Матрицы $\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }$ и $\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }$ могут быть связаны с ковариационными матрицами $\mathbf {X}$ и $\mathbf {Y}$ через следующие выражения:

${\begin{aligned}&\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }+\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\\&\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }-\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\\&\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} (\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }+\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\\&\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} (\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }-\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\\\end{aligned}}$

Наоборот:

${\begin{aligned}&\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }+\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {Y} }+i(\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }-\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} })\\&\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }-\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {Y} }+i(\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }+\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} })\end{aligned}}$

Матрица перекрестной ковариации и матрица псевдоперекрестной ковариации

Матрица перекрестной ковариации между двумя комплексными случайными векторами $\mathbf {Z} ,\mathbf {W}$ определяется как:

$\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {cov} [\mathbf {Z} ,\mathbf {W} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])}^{H}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{H}]-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ^{H}]$ ( Уравнение 5 )

$\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])}}]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])}}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])}}]\end{bmatrix}}$

Матрица псевдокросс-ковариации определяется как:

$\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {cov} [\mathbf {Z} ,{\overline {\mathbf {W} }}]=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])}^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ^{T}]$ ( Уравнение 6 )

$\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])]\end{bmatrix}}$

Два комплексных случайных вектора $\mathbf {Z}$ и $\mathbf {W}$ называются некоррелированными, если

$\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=0$.

Независимость

Основная статья: Независимость (теория вероятностей)

Два комплексных случайных вектора $\mathbf {Z} =(Z_{1},...,Z_{m})^{T}$ и $\mathbf {W} =(W_{1},...,W_{n})^{T}$ называются независимыми , если

$F_{\mathbf {Z,W} }(\mathbf {z,w} )=F_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )\cdot F_{\mathbf {W} }(\mathbf {w} )\quad {\text{for all }}\mathbf {z} ,\mathbf {w}$ ( Уравнение 7 )

где $F_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )$ и $F_{\mathbf {W} }(\mathbf {w} )$ обозначают кумулятивные функции распределения $\mathbf {Z}$ и $\mathbf {W}$ как определено в уравнении 1 и $F_{\mathbf {Z,W} }(\mathbf {z,w} )$ обозначает их совместную кумулятивную функцию распределения. Независимость $\mathbf {Z}$ и $\mathbf {W}$ часто обозначается $\mathbf {Z} \perp \!\!\!\perp \mathbf {W}$.Написано покомпонентно, $\mathbf {Z}$ и $\mathbf {W}$ называются независимыми, если

$F_{Z_{1},\ldots ,Z_{m},W_{1},\ldots ,W_{n}}(z_{1},\ldots ,z_{m},w_{1},\ldots ,w_{n})=F_{Z_{1},\ldots ,Z_{m}}(z_{1},\ldots ,z_{m})\cdot F_{W_{1},\ldots ,W_{n}}(w_{1},\ldots ,w_{n})\quad {\text{for all }}z_{1},\ldots ,z_{m},w_{1},\ldots ,w_{n}$.

Круговая симметрия

Сложный случайный вектор $\mathbf {Z}$ называется кругово-симметричным, если для любого детерминированного $\varphi \in [-\pi ,\pi )$ распространение $e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z}$ равно распределению $\mathbf {Z}$.

Характеристики

• Математическое ожидание циклически симметричного комплексного случайного вектора либо равно нулю, либо не определено.
• Псевдоковариационная матрица циклически симметричного комплексного случайного вектора равна нулю.

Правильные комплексные случайные векторы

Сложный случайный вектор $\mathbf {Z}$ называется правильным, если выполняются все три условия:

• $\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]=0$ (нулевое среднее)
• $\operatorname {var} [Z_{1}]<\infty ,\ldots ,\operatorname {var} [Z_{n}]<\infty$ (все компоненты имеют конечную дисперсию)
• $\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{T}]=0$

Два комплексных случайных вектора $\mathbf {Z} ,\mathbf {W}$ называются совместно собственными, представляет собой составной случайный вектор $(Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{m},W_{1},W_{2},\ldots ,W_{n})^{T}$ правильно.

Характеристики

• Сложный случайный вектор $\mathbf {Z}$ является правильным тогда и только тогда, когда для всех (детерминированных) векторов $\mathbf {c} \in \mathbb {C} ^{n}$ комплексная случайная величина $\mathbf {c} ^{T}\mathbf {Z}$ правильно.
• Линейные преобразования собственных комплексных случайных векторов являются правильными, т.е. если $\mathbf {Z}$ являются собственными случайными векторами с $n$ компоненты и $A$ является детерминистическим $m\times n$ матрица, то комплексный случайный вектор $A\mathbf {Z}$ тоже правильно.
• Каждый циклически симметричный комплексный случайный вектор с конечной дисперсией всех его компонент является собственным.
• Существуют собственные комплексные случайные векторы, которые не являются кругово-симметричными.
• Действительный случайный вектор является правильным тогда и только тогда, когда он постоянен.
• Два совместно собственных комплексных случайных вектора некоррелированы тогда и только тогда, когда их ковариационная матрица равна нулю, т. е. если $\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=0$.

Неравенство Коши-Шварца

Неравенство Коши -Шварца для комплексных случайных векторов имеет вид

$\left|\operatorname {E} [\mathbf {Z} ^{H}\mathbf {W} ]\right|^{2}\leq \operatorname {E} [\mathbf {Z} ^{H}\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [|\mathbf {W} ^{H}\mathbf {W} |]$.

Характеристическая функция

Характеристическая функция комплексного случайного вектора $\mathbf {Z}$ с $n$ компоненты - это функция $\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ определяется:

$\varphi _{\mathbf {Z} }(\mathbf {\omega } )=\operatorname {E} \left[e^{i\Re {(\mathbf {\omega } ^{H}\mathbf {Z} )}}\right]=\operatorname {E} \left[e^{i(\Re {(\omega _{1})}\Re {(Z_{1})}+\Im {(\omega _{1})}\Im {(Z_{1})}+\cdots +\Re {(\omega _{n})}\Re {(Z_{n})}+\Im {(\omega _{n})}\Im {(Z_{n})})}\right]$

См. также

• Комплексное нормальное распределение
• Комплексная случайная величина (скалярный случай)