Дополнительное мероприятие

В теории вероятностей дополнением к любому событию А является событие [не А ], то есть событие, при котором А не происходит. ^[1] Событие А и его дополнение [не А ] являются взаимоисключающими и исчерпывающими . Обычно существует только одно событие B , такое что A и B являются взаимоисключающими и исчерпывающими; это событие является дополнением к A . Дополнение события A обычно обозначается как A′ , A ^с, $\neg$ А или А. Учитывая событие, событие и дополняющее его событие определяют процесс Бернулли : произошло это событие или нет?

Например, если подбросить обычную монету и предположить, что она не может приземлиться на ребро, то она может приземлиться либо с изображением «орла», либо «решки». Поскольку эти два результата являются взаимоисключающими (т. е. на монете не могут одновременно быть изображены и орёл, и решка) и в совокупности исчерпывающими (т. е. не существует других возможных результатов, не представленных между этими двумя), они, следовательно, дополняют друг друга. Это означает, что [орёл] логически эквивалентен [не решка], а [решка] эквивалентен [не решка].

Правило дополнения [ править ]

В случайном эксперименте вероятности всех возможных событий ( выборочное пространство ) должны в сумме равняться 1, то есть в каждом испытании должен иметь место некоторый результат. Чтобы два события дополняли друг друга, они должны быть в совокупности исчерпывающими и вместе заполнять все пространство выборки. Следовательно, вероятность дополнения к событию должна быть равна единице минус вероятность события. ^[2] есть для события А То

P(A^{c})=1-P(A).

Эквивалентно, вероятности события и его дополнения всегда должны составлять 1. Однако это не означает, что любые два события, общая вероятность которых равна 1, являются дополнением друг друга; взаимодополняющие события также должны соответствовать условию взаимной исключительности .

Пример полезности этой концепции [ править ]

Предположим, кто-то бросает обычный шестигранный кубик восемь раз. Какова вероятность того, что человек хотя бы один раз увидит цифру «1»?

Может возникнуть соблазн сказать, что

Pr(["1" при 1-й попытке] или ["1" при второй попытке] или ... или ["1" при 8-й попытке])

= Pr("1" при 1-м испытании) + Pr("1" при втором испытании) + ... + P("1" при 8-м испытании)

= 1/6 + 1/6 + ... + 1/6

= 8/6

= 1.3333...

Этот результат не может быть правильным, потому что вероятность не может быть больше 1. Метод неверен, потому что восемь событий, вероятности которых были добавлены, не являются взаимоисключающими.

Это перекрытие можно устранить с помощью принципа включения-исключения или, в данном случае, просто найдя вероятность дополнительного события и вычитая его из 1, таким образом:

Pr(хотя бы одна «1») = 1 − Pr(нет «1»)

= 1 − Pr([нет «1» в 1-й попытке] и [нет «1» во 2-й попытке] и ... и [нет «1» в 8-й попытке])

= 1 − Pr(нет «1» в 1-й попытке) × Pr(нет «1» в 2-й попытке) × ... × Pr(нет «1» в 8-й попытке)

= 1 −(5/6) × (5/6) × ... × (5/6)

= 1 − (5/6) ⁸

= 0.7674...

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Роберт Р. Джонсон, Патрисия Дж. Куби: Элементарная статистика . Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-495-38386-4 , с. 229 ( ограниченная онлайн-копия , стр. 229, в Google Книгах )
^ Йейтс, Дэниел С.; Мур, Дэвид С.; Старнс, Дарен С. (2003). Практика статистики (2-е изд.). Нью-Йорк: Фриман . ISBN 978-0-7167-4773-4 . Архивировано из оригинала 9 февраля 2005 г. Проверено 18 июля 2013 г.

Внешние ссылки [ править ]

Дополнительные события - (бесплатная) страница из книги вероятностей МакГроу-Хилла.

[1] Роберт Р. Джонсон, Патрисия Дж. Куби: Элементарная статистика . Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-495-38386-4 , с. 229 ( ограниченная онлайн-копия , стр. 229, в Google Книгах )

[yates-2] Йейтс, Дэниел С.; Мур, Дэвид С.; Старнс, Дарен С. (2003). Практика статистики (2-е изд.). Нью-Йорк: Фриман . ISBN 978-0-7167-4773-4 . Архивировано из оригинала 9 февраля 2005 г. Проверено 18 июля 2013 г.

[1]

[2]