Распределение Парето

Парето-тип I

Функция плотности вероятности Функции плотности вероятности Парето типа I для различных $\alpha$ с $x_{\mathrm {m} }=1.$ Как $\alpha \rightarrow \infty ,$ подходы к распределению $\delta (x-x_{\mathrm {m} }),$ где $\delta$ – дельта-функция Дирака .
Кумулятивная функция распределения Кумулятивные функции распределения Парето типа I для различных $\alpha$ с $x_{\mathrm {m} }=1.$
Параметры	$x_{\mathrm {m} }>0$ масштаб ( реальный ) $\alpha >0$ форма (настоящая)
Поддерживать	$x\in [x_{\mathrm {m} },\infty )$
PDF	${\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}$
CDF	$1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }$
Квантиль	$x_{\mathrm {m} }{(1-p)}^{-{\frac {1}{\alpha }}}$
Иметь в виду	${\begin{cases}\infty &{\text{for }}\alpha \leq 1\\{\dfrac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&{\text{for }}\alpha >1\end{cases}}$
медиана	$x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{\alpha }]{2}}$
Режим	$x_{\mathrm {m} }$
Дисперсия	${\begin{cases}\infty &{\text{for }}\alpha \leq 2\\{\dfrac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&{\text{for }}\alpha >2\end{cases}}$
асимметрия	${\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ for }}\alpha >3$
Избыточный эксцесс	${\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ for }}\alpha >4$
Энтропия	$\log \left(\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha }}\right)\,e^{1+{\tfrac {1}{\alpha }}}\right)$
МГФ	не существует
CF	$\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)$
Информация о Фишере	${\mathcal {I}}(x_{\mathrm {m} },\alpha )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\alpha ^{2}}{x_{\mathrm {m} }^{2}}}&0\\0&{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}\end{bmatrix}}$
Ожидаемый дефицит	${\frac {x_{m}\alpha }{(1-p)^{\frac {1}{\alpha }}(\alpha -1)}}$

Распределение Парето , названное в честь итальянского инженера-строителя , экономиста и социолога Вильфредо Парето . — это степенное распределение вероятностей , которое используется при описании социальных , контрольных , научных , геофизических , актуарных и многих других типов наблюдаемых явлений; Этот принцип первоначально применялся для описания распределения богатства в обществе, что соответствует тенденции, согласно которой большая часть богатства принадлежит небольшой части населения. Принцип Парето что 80% результатов обусловлены 20% причин, был назван в честь Парето, но концепции различны, и только распределения Парето со значением формы ( α ) log _4,5 или «правило 80-20», утверждающий , ≈ 1,16 это как раз и отражает. Эмпирические наблюдения показали, что это распределение 80-20 подходит для широкого круга случаев, включая природные явления. и деятельность человека.

Определения

Если X — случайная величина с распределением Парето (тип I), тогда вероятность того, что X больше некоторого числа x , т. е. функция выживания (также называемая хвостовой функцией), определяется выражением

${\overline {F}}(x)=\Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&x<x_{\mathrm {m} },\end{cases}}$

где x _m — (обязательно положительное) минимально возможное значение X , а α — положительный параметр. Распределение Парето типа I характеризуется параметром масштаба x _m и параметром формы α , который известен как индекс хвоста . Если это распределение используется для моделирования распределения богатства, то параметр α называется индексом Парето .

распределения

Из определения кумулятивная функция распределения случайной величины Парето с параметрами α и x _m равна

$F_{X}(x)={\begin{cases}1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$

плотности

Отсюда следует (путем дифференцирования ), что функция плотности вероятности равна

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$

При построении графика по линейным осям распределение принимает знакомую J-образную кривую, которая асимптотически приближается к каждой из ортогональных осей . Все сегменты кривой самоподобны (с учетом соответствующих масштабных коэффициентов). При построении логарифмического графика распределение представляется прямой линией.

Свойства

Моменты и характеристическая функция

• Ожидаемое значение следующей случайной величины, за распределением Парето, равно

$\operatorname {E} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \leq 1,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&\alpha >1.\end{cases}}$

• Дисперсия следующей случайной величины, за распределением Парето, равна

$\operatorname {Var} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \in (1,2],\\\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}&\alpha >2.\end{cases}}$

(Если α ≤ 1, дисперсия не существует.)

• Сырые моменты ​

$\mu _{n}'={\begin{cases}\infty &\alpha \leq n,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}}&\alpha >n.\end{cases}}$

• определяется Производящая функция момента только для неположительных значений t ≤ 0 как

$M\left(t;\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t)$

$M\left(0,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=1.$

Таким образом, поскольку математическое ожидание не сходится на открытом интервале, содержащем $t=0$ мы говорим, что производящая функция момента не существует.

• Характеристическая функция определяется выражением

$\varphi (t;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t),$

где Γ( a , x ) — неполная гамма-функция .

Параметры можно решить методом моментов .

Условные распределения

Условное распределение вероятностей случайной величины, распределенной по Парето, с учетом того, что она больше или равна определенному числу. $x_{1}$ превышающий $x_{\text{m}}$, представляет собой распределение Парето с тем же индексом Парето $\alpha$ но с минимумом $x_{1}$ вместо $x_{\text{m}}$. Это означает, что условное ожидаемое значение (если оно конечно, т.е. $\alpha >1$) пропорциональна $x_{1}$. В случае случайных величин, описывающих время жизни объекта, это означает, что ожидаемая продолжительность жизни пропорциональна возрасту и называется эффектом Линди или законом Линди.

Теорема

Предполагать $X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc$ являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами , распределение вероятностей которых поддерживается на интервале $[x_{\text{m}},\infty )$ для некоторых $x_{\text{m}}>0$. Предположим, что для всех $n$, две случайные величины $\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}$ и $(X_{1}+\dotsb +X_{n})/\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}$ независимы. Тогда общее распределение является распределением Парето.

Среднее геометрическое

Среднее геометрическое ( G ) равно

$G=x_{\text{m}}\exp \left({\frac {1}{\alpha }}\right).$

Гармоническое среднее

Гармоническое среднее ( H ) равно

$H=x_{\text{m}}\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right).$

Графическое представление

Характерное изогнутое распределение « длинный хвост » при построении в линейном масштабе маскирует основную простоту функции при построении на логарифмическом графике , который затем принимает форму прямой линии с отрицательным градиентом: Это следует из формулы для функции плотности вероятности, что для x ≥ x _m ,

$\log f_{X}(x)=\log \left(\alpha {\frac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}\right)=\log(\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha })-(\alpha +1)\log x.$

Поскольку α положительное значение, градиент −( α + 1) отрицательен.

Связанные дистрибутивы

Парето

См. Также: Обобщенное распределение Парето.

Существует иерархия распределений Парето, известных как распределения Парето типа I, II, III, IV и Феллера – Парето. Тип Парето IV включает типы Парето I–III как особые случаи. Феллер-Парето Распределение обобщает Парето-тип IV.

I–

Иерархия распределения Парето обобщена в следующей таблице, в которой сравниваются функции выживания (дополнительный CDF).

Когда μ = 0, распределение Парето типа II также известно как распределение Ломакса .

В этом разделе символ x _m , использовавшийся ранее для обозначения минимального значения x , заменяется на σ .

Распределения Парето

	${\overline {F}}(x)=1-F(x)$	Поддерживать	Параметры
Тип I	$\left[{\frac {x}{\sigma }}\right]^{-\alpha }$	$x\geq \sigma$	$\sigma >0,\alpha$
Тип II	$\left[1+{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right]^{-\alpha }$	$x\geq \mu$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0,\alpha$
Ломакс	$\left[1+{\frac {x}{\sigma }}\right]^{-\alpha }$	$x\geq 0$	$\sigma >0,\alpha$
Тип III	$\left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{1/\gamma }\right]^{-1}$	$x\geq \mu$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma ,\gamma >0$
Тип IV	$\left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{1/\gamma }\right]^{-\alpha }$	$x\geq \mu$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma ,\gamma >0,\alpha$

Параметр формы α — индекс хвоста , µ — местоположение, σ — масштаб, γ — параметр неравенства. Некоторые особые случаи типа Парето (IV):

$P(IV)(\sigma ,\sigma ,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha ),$

$P(IV)(\mu ,\sigma ,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha ),$

$P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma ).$

Конечность среднего, а также существование и конечность дисперсии зависят от индекса хвоста α (индекса неравенства γ ). В частности, дробные δ -моменты конечны для некоторого δ > 0, как показано в таблице ниже, где δ не обязательно является целым числом.

Моменты распределений Парето I–IV (случай μ = 0)

	$\operatorname {E} [X]$	Состояние	$\operatorname {E} [X^{\delta }]$	Состояние
Тип I	${\frac {\sigma \alpha }{\alpha -1}}$	$\alpha >1$	${\frac {\sigma ^{\delta }\alpha }{\alpha -\delta }}$	$\delta <\alpha$
Тип II	${\frac {\sigma }{\alpha -1}}+\mu$	$\alpha >1$	${\frac {\sigma ^{\delta }\Gamma (\alpha -\delta )\Gamma (1+\delta )}{\Gamma (\alpha )}}$	$0<\delta <\alpha$
Тип III	$\sigma \Gamma (1-\gamma )\Gamma (1+\gamma )$	$-1<\gamma <1$	$\sigma ^{\delta }\Gamma (1-\gamma \delta )\Gamma (1+\gamma \delta )$	$-\gamma ^{-1}<\delta <\gamma ^{-1}$
Тип IV	${\frac {\sigma \Gamma (\alpha -\gamma )\Gamma (1+\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}$	$-1<\gamma <\alpha$	${\frac {\sigma ^{\delta }\Gamma (\alpha -\gamma \delta )\Gamma (1+\gamma \delta )}{\Gamma (\alpha )}}$	$-\gamma ^{-1}<\delta <\alpha /\gamma$

–

Феллер определяет переменную Парето путем преобразования U = Y ⁻¹ − 1 бета-случайной величины Y , функция плотности вероятности которой равна

$f(y)={\frac {y^{\gamma _{1}-1}(1-y)^{\gamma _{2}-1}}{B(\gamma _{1},\gamma _{2})}},\qquad 0<y<1;\gamma _{1},\gamma _{2}>0,$

где B ( ) – бета-функция . Если

$W=\mu +\sigma (Y^{-1}-1)^{\gamma },\qquad \sigma >0,\gamma >0,$

тогда W имеет распределение Феллера–Парето FP( µ , σ , γ , γ ₁ , γ ₂ ).

Если $U_{1}\sim \Gamma (\delta _{1},1)$ и $U_{2}\sim \Gamma (\delta _{2},1)$ являются независимыми гамма-переменными , другая конструкция переменной Феллера – Парето (FP) – это

$W=\mu +\sigma \left({\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right)^{\gamma }$

и пишем W ~ FP μ , σ , γ , δ1 _δ2 , ( ₎ . Особыми случаями распределения Феллера – Парето являются

$FP(\sigma ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha )$

$FP(\mu ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha )$

$FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma )$

$FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,\alpha )=P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,\alpha ).$

Обратное распределение Парето

Когда случайная величина $Y$ следует распределению Парето, то его обратному $X=1/Y$ следует обратному распределению Парето . Обратное распределение Парето эквивалентно распределению Степени.

$Y\sim \mathrm {Pa} (\alpha ,x_{m})={\frac {\alpha x_{m}^{\alpha }}{y^{\alpha +1}}}\quad (y\geq x_{m})\quad \Leftrightarrow \quad X\sim \mathrm {iPa} (\alpha ,x_{m})=\mathrm {Power} (x_{m}^{-1},\alpha )={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{(x_{m}^{-1})^{\alpha }}}\quad (0<x\leq x_{m}^{-1})$

с

Распределение Парето связано с экспоненциальным распределением следующим образом. Если X распределен по Парето с минимумом x _m и индексом α , то

$Y=\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)$

с экспоненциально распределяется параметром скорости α . Эквивалентно, если Y экспоненциально распределяется со скоростью α , тогда

$x_{\mathrm {m} }e^{Y}$

распределено по Парето с минимумом x _m и индексом α .

Это можно показать, используя стандартные методы замены переменных:

${\begin{aligned}\Pr(Y<y)&=\Pr \left(\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)<y\right)\\&=\Pr(X<x_{\mathrm {m} }e^{y})=1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x_{\mathrm {m} }e^{y}}}\right)^{\alpha }=1-e^{-\alpha y}.\end{aligned}}$

Последнее выражение представляет собой кумулятивную функцию распределения экспоненциального распределения со скоростью α .

Распределение Парето может быть построено с помощью иерархических показательных распределений. Позволять $\phi |a\sim {\text{Exp}}(a)$ и $\eta |\phi \sim {\text{Exp}}(\phi )$. Тогда у нас есть $p(\eta |a)={\frac {a}{(a+\eta )^{2}}}$ и, как следствие, $a+\eta \sim {\text{Pareto}}(a,1)$.

В общем, если $\lambda \sim {\text{Gamma}}(\alpha ,\beta )$ (параметризация скорости формы) и $\eta |\lambda \sim {\text{Exp}}(\lambda )$, затем $\beta +\eta \sim {\text{Pareto}}(\beta ,\alpha )$.

Эквивалентно, если $Y\sim {\text{Gamma}}(\alpha ,1)$ и $X\sim {\text{Exp}}(1)$, затем $x_{\text{m}}\!\left(1+{\frac {X}{Y}}\right)\sim {\text{Pareto}}(x_{\text{m}},\alpha )$.

логнормальным

Распределение Парето и логарифмически нормальное распределение являются альтернативными распределениями для описания одних и тех же типов величин. Одна из связей между ними заключается в том, что они оба являются распределениями экспоненциального распределения случайных величин, распределенных в соответствии с другими общими распределениями, соответственно экспоненциальным распределением и нормальным распределением . (См. предыдущий раздел .)

распределением

Распределение Парето — это частный случай обобщенного распределения Парето , которое представляет собой семейство распределений аналогичного вида, но содержащее дополнительный параметр таким образом, что носитель распределения либо ограничен снизу (в переменной точке), либо ограничено как сверху, так и снизу (где оба являются переменными), причем распределение Ломакса является особым случаем. Это семейство также содержит как несмещенные, так и смещенные экспоненциальные распределения .

Распределение Парето с масштабом $x_{m}$ и форма $\alpha$ эквивалентно обобщенному распределению Парето с местоположением $\mu =x_{m}$, шкала $\sigma =x_{m}/\alpha$ и форма $\xi =1/\alpha$ и, наоборот, можно получить распределение Парето из GPD, взяв $x_{m}=\sigma /\xi$ и $\alpha =1/\xi$ если $\xi >0$.

Парето

См. также: Усеченное распространение.

Ограниченный по Парето

Параметры	$L>0$ местоположение ( реальное ) $H>L$ местоположение ( реальное ) $\alpha >0$ форма (настоящая)
Поддерживать	$L\leqslant x\leqslant H$
PDF	${\frac {\alpha L^{\alpha }x^{-\alpha -1}}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}$
CDF	${\frac {1-L^{\alpha }x^{-\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}$
Иметь в виду	${\frac {L^{\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}\cdot \left({\frac {\alpha }{\alpha -1}}\right)\cdot \left({\frac {1}{L^{\alpha -1}}}-{\frac {1}{H^{\alpha -1}}}\right),\alpha \neq 1$ ${\frac {{H}{L}}{{H}-{L}}}\ln {\frac {H}{L}},\alpha =1$
медиана	$L\left(1-{\frac {1}{2}}\left(1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }\right)\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}$
Дисперсия	${\frac {L^{\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}\cdot \left({\frac {\alpha }{\alpha -2}}\right)\cdot \left({\frac {1}{L^{\alpha -2}}}-{\frac {1}{H^{\alpha -2}}}\right),\alpha \neq 2$${\frac {2{H}^{2}{L}^{2}}{{H}^{2}-{L}^{2}}}\ln {\frac {H}{L}},\alpha =2$ (это второй сырой момент, а не дисперсия)
асимметрия	${\frac {L^{\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}\cdot {\frac {\alpha (L^{k-\alpha }-H^{k-\alpha })}{(\alpha -k)}},\alpha \neq j$ (это k-й сырой момент, а не асимметрия)

Ограниченное (или усеченное) распределение Парето имеет три параметра α , L и H. : Как и в стандартном распределении Парето, α определяет форму. L обозначает минимальное значение, а H обозначает максимальное значение.

Функция плотности вероятности

${\frac {\alpha L^{\alpha }x^{-\alpha -1}}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}$,

где L ≤ x ≤ H и α > 0.

Генерация ограниченных

Если U на равномерно распределено (0, 1), то применяя метод обратного преобразования

$U={\frac {1-L^{\alpha }x^{-\alpha }}{1-({\frac {L}{H}})^{\alpha }}}$

$x=\left(-{\frac {UH^{\alpha }-UL^{\alpha }-H^{\alpha }}{H^{\alpha }L^{\alpha }}}\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}$

является ограниченной по Парето.

Парето

Целью симметричного и нуль-симметричного распределений Парето является получение некоторого специального статистического распределения с острым пиком вероятности и симметричными длинными хвостами вероятности. Эти два распределения получены из распределения Парето. Длинные хвосты вероятности обычно означают, что вероятность медленно убывает, и их можно использовать для подбора различных наборов данных. Но если распределение имеет симметричную структуру с двумя медленно затухающими хвостами, Парето не смог бы этого сделать. Тогда вместо этого применяется симметричное распределение Парето или нулевое симметричное распределение Парето.

Кумулятивная функция распределения (CDF) симметричного распределения Парето определяется следующим образом:

$F(X)=P(x<X)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}({b \over 2b-X})^{a}&X<b\\1-{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {b}{X}})^{a}&X\geq b\end{cases}}$

Соответствующая функция плотности вероятности (PDF):

$p(x)={ab^{a} \over 2(b+\left\vert x-b\right\vert )^{a+1}},X\in R$

Это распределение имеет два параметра: a и b. Оно симметрично по b. Тогда математическое ожидание равно b. Когда он имеет следующую дисперсию:

$E((x-b)^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-b)^{2}p(x)dx={2b^{2} \over (a-2)(a-1)}$

CDF нулевого симметричного распределения Парето (ZSP) определяется следующим образом:

$F(X)=P(x<X)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}({b \over b-X})^{a}&X<0\\1-{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {b}{b+X}})^{a}&X\geq 0\end{cases}}$

Соответствующий PDF-файл:

$p(x)={ab^{a} \over 2(b+\left\vert x\right\vert )^{a+1}},X\in R$

Это распределение симметрично нулю. Параметр a связан со скоростью затухания вероятности, а (a/2b) представляет собой пиковую величину вероятности.

Парето

Одномерное распределение Парето было расширено до многомерного распределения Парето .

Статистический

Оценка параметров

Функция правдоподобия для параметров распределения Парето α и x _m с учетом независимой выборки x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) равна

$L(\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\prod _{i=1}^{n}\alpha {\frac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x_{i}^{\alpha +1}}}=\alpha ^{n}x_{\mathrm {m} }^{n\alpha }\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}^{\alpha +1}}}.$

Следовательно, логарифмическая функция правдоподобия равна

$\ell (\alpha ,x_{\mathrm {m} })=n\ln \alpha +n\alpha \ln x_{\mathrm {m} }-(\alpha +1)\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}.$

Видно, что $\ell (\alpha ,x_{\mathrm {m} })$ монотонно возрастает с ростом x _m , то есть чем больше значение x _m , тем больше значение функции правдоподобия. Следовательно, поскольку x ≥ x _m , заключаем, что

${\widehat {x}}_{\mathrm {m} }=\min _{i}{x_{i}}.$

Чтобы найти оценку α : , мы вычисляем соответствующую частную производную и определяем, где она равна нулю

${\frac {\partial \ell }{\partial \alpha }}={\frac {n}{\alpha }}+n\ln x_{\mathrm {m} }-\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}=0.$

Таким образом, оценка максимального правдоподобия для α равна:

${\widehat {\alpha }}={\frac {n}{\sum _{i}\ln(x_{i}/{\widehat {x}}_{\mathrm {m} })}}.$

Ожидаемая статистическая ошибка составляет:

$\sigma ={\frac {\widehat {\alpha }}{\sqrt {n}}}.$

Малик (1970) дает точное совместное распределение $({\hat {x}}_{\mathrm {m} },{\hat {\alpha }})$. В частности, ${\hat {x}}_{\mathrm {m} }$ и ${\hat {\alpha }}$ независимы ​ и ${\hat {x}}_{\mathrm {m} }$ является Парето с параметром масштаба x _m и параметром формы nα , тогда как ${\hat {\alpha }}$ имеет обратное гамма-распределение с параметрами формы и масштаба n - 1 и nα соответственно.

Возникновение и применение

Общие

Вильфредо Парето первоначально использовал это распределение для описания распределения богатства между людьми, поскольку оно, казалось, довольно хорошо показывает, что большая часть богатства любого общества принадлежит меньшему проценту людей в этом обществе. Он также использовал его для описания распределения доходов. Эту идею иногда выражают проще, как принцип Парето или «правило 80-20», которое гласит, что 20% населения контролируют 80% богатства. Как указывает Майкл Хадсон ( The Collapse of Antiquity [2023], стр. 85 и № 7), «математическое следствие [таково], что 10% будут владеть 65% богатства, а 5% будут владеть половиной национального богатства». Однако правило 80-20 соответствует определенному значению α , и фактически данные Парето о британских подоходных налогах в его Cours d'économie politique показывают, что около 30% населения имели около 70% доходов. График функции плотности вероятности (PDF) в начале этой статьи показывает, что «вероятность» или доля населения, владеющего небольшим количеством богатства на человека, довольно высока, а затем неуклонно снижается по мере увеличения богатства. (Однако распределение Парето нереалистично для богатства нижнего уровня. Фактически, чистая стоимость активов может быть даже отрицательной.) Это распределение не ограничивается описанием богатства или дохода, но и во многих ситуациях, в которых равновесие находится в распределение «маленького» на «большое». Следующие примеры иногда рассматриваются как примерно распределенные по Парето:

• Все четыре переменные бюджетного ограничения домохозяйства: потребление, трудовой доход, доход от капитала и богатство.
• Размеры населенных пунктов (немногие города, много деревень/сел)
• Распределение размера файлов интернет-трафика, использующего протокол TCP (много файлов меньшего размера, несколько файлов большего размера)
• жесткого диска Частота ошибок
• Кластеры бозе-эйнштейновского конденсата вблизи абсолютного нуля

Подобрано кумулятивное распределение Парето (Lomax) для максимального количества осадков за один день с использованием CumFreq , см. также подбор распределения.

• Величины запасов нефти на нефтяных месторождениях (несколько крупных месторождений , множество мелких месторождений )
• Распределение длин работ, назначенных суперкомпьютерам (несколько больших, много маленьких)
• Стандартизированная доходность цен на отдельные акции
• Размеры частиц песка
• Размер метеоритов
• Серьезность крупных потерь от несчастных случаев для определенных направлений бизнеса, таких как общая ответственность, коммерческий автомобиль и компенсация работникам.
• Количество времени, которое пользователь Steam проведет за игрой в разные игры. (В некоторые игры играют часто, но в большинство — почти никогда.) [2]
• В гидрологии распределение Парето применяется к экстремальным явлениям, таким как годовое максимальное количество осадков за один день и речной сток. Синее изображение иллюстрирует пример подбора распределения Парето к ранжированному максимальному годовому количеству осадков за один день, демонстрируя также 90% доверительный интервал, основанный на биномиальном распределении . Данные об осадках представлены в виде координат на графике в рамках кумулятивного частотного анализа .
• В области надежности распределения электроэнергии (80% минут прерывания работы потребителей происходят примерно в 20% дней в данном году).

Ципфа

Распределение Парето представляет собой непрерывное распределение вероятностей. Закон Ципфа , также иногда называемый дзета-распределением , представляет собой дискретное распределение, разделяющее значения на простой ранжирование. Оба представляют собой простой степенной закон с отрицательным показателем степени, масштабированный так, что их совокупные распределения равны 1. Законы Ципфа можно вывести из распределения Парето, если $x$ ценности (доходы) группируются в $N$ ранжируются так, чтобы количество людей в каждой ячейке соответствовало схеме 1/ранг. Распределение нормализуется путем определения $x_{m}$ так что $\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }={\frac {1}{H(N,\alpha -1)}}$ где $H(N,\alpha -1)$ — обобщенный номер гармоники . Это делает функцию плотности вероятности Ципфа выводимой из функции Парето.

$f(x)={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}={\frac {1}{x^{s}H(N,s)}}$

где $s=\alpha -1$ и $x$ — целое число, обозначающее ранг от 1 до N, где N — группа с самым высоким доходом. Таким образом, случайно выбранный человек (или слово, ссылка на веб-сайт или город) из совокупности (или языка, Интернета или страны) имеет $f(x)$ вероятность ранжирования $x$.

с «принципом

« Закон 80–20 », согласно которому 20% всех людей получают 80% всех доходов, а 20% наиболее богатых 20% получают 80% из этих 80% и так далее, справедлив именно тогда, когда индекс Парето является $\alpha =\log _{4}5={\cfrac {\log _{10}5}{\log _{10}4}}\approx 1.161$. Этот результат можно получить из формулы кривой Лоренца , приведенной ниже. Кроме того, было показано следующее быть математически эквивалентным:

• Доходы распределяются по распределению Парето с индексом α > 1.
• Существует некоторое число 0 ≤ p ≤ 1/2 такое, что 100 p % всех людей получают 100(1 − p )% всех доходов, и аналогично для каждого действительного (не обязательно целого) n > 0, 100 p ^н % всех людей получают 100(1 - p ) ^н процент от всех доходов. α и p связаны соотношением

$1-{\frac {1}{\alpha }}={\frac {\ln(1-p)}{\ln(p)}}={\frac {\ln((1-p)^{n})}{\ln(p^{n})}}$

Это относится не только к доходу, но и к богатству или ко всему остальному, что можно смоделировать с помощью этого распределения.

Это исключает распределения Парето, в которых 0 < α ≤ 1, которые, как отмечалось выше, имеют бесконечное математическое ожидание и поэтому не могут разумно моделировать распределение дохода.

Прайса

Закон квадратного корня Прайса иногда предлагается как свойство распределения Парето или как его аналог. Однако закон действует только в том случае, если $\alpha =1$. Обратите внимание, что в этом случае общая и ожидаемая сумма богатства не определены, и правило асимптотически применяется только к случайным выборкам. Расширенный принцип Парето, упомянутый выше, является гораздо более общим правилом.

Кривая Лоренца

Кривые Лоренца для ряда распределений Парето. Случай α = ∞ соответствует совершенно равному распределению ( G = 0), а линия α = 1 соответствует полному неравенству ( G = 1).

Кривая Лоренца часто используется для характеристики распределения доходов и богатства. Для любого распределения кривая Лоренца L ( F ) записывается в терминах PDF f или CDF F как

$L(F)={\frac {\int _{x_{\mathrm {m} }}^{x(F)}xf(x)\,dx}{\int _{x_{\mathrm {m} }}^{\infty }xf(x)\,dx}}={\frac {\int _{0}^{F}x(F')\,dF'}{\int _{0}^{1}x(F')\,dF'}}$

где x ( F ) является обратным CDF. Для распределения Парето

$x(F)={\frac {x_{\mathrm {m} }}{(1-F)^{\frac {1}{\alpha }}}}$

и кривая Лоренца рассчитывается как

$L(F)=1-(1-F)^{1-{\frac {1}{\alpha }}},$

Для $0<\alpha \leq 1$ знаменатель бесконечен, что дает L = 0. Примеры кривой Лоренца для ряда распределений Парето показаны на графике справа.

По данным Oxfam (2016), 62 самых богатых человека обладают таким же богатством, как и беднейшая половина населения мира. Мы можем оценить индекс Парето, применимый к этой ситуации. Полагая ε равным $62/(7\times 10^{9})$ у нас есть:

$L(1/2)=1-L(1-\varepsilon )$

или

$1-(1/2)^{1-{\frac {1}{\alpha }}}=\varepsilon ^{1-{\frac {1}{\alpha }}}$

Решение состоит в том, что α равно примерно 1,15, и около 9% богатства принадлежит каждой из двух групп. Но на самом деле беднейшие 69% взрослого населения мира владеют лишь около 3% богатства.

Коэффициент Джини является мерой отклонения кривой Лоренца от линии равнораспределения, которая представляет собой линию, соединяющую [0, 0] и [1, 1], которая показана черным цветом ( α = ∞) на графике Лоренца на графике. верно. В частности, коэффициент Джини в два раза превышает площадь между кривой Лоренца и линией равнораспределения. Затем рассчитывается коэффициент Джини для распределения Парето (для $\alpha \geq 1$) быть

$G=1-2\left(\int _{0}^{1}L(F)\,dF\right)={\frac {1}{2\alpha -1}}$

(см. Оберге, 2005).

Генерация случайной переменной

Дополнительная информация: Генерация неоднородных случайных величин.

Случайные выборки могут быть сгенерированы с помощью выборки с обратным преобразованием . Учитывая случайную величину U, полученную из равномерного распределения на единичном интервале (0, 1), переменная T, определяемая выражением

$T={\frac {x_{\mathrm {m} }}{U^{1/\alpha }}}$

является распределенной по Парето. Если U равномерно распределено на [0, 1), его можно заменить на (1 − U ).

См. также

• Закон Брэдфорда - Характер ссылок в научных журналах
• Закон Гутенберга-Рихтера - Закон сейсмологии, описывающий частоту и силу землетрясений.
• Эффект Мэтью : богатые становятся богаче, а бедные беднеют.
• Анализ Парето – статистический принцип соотношения последствий и причин. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Эффективность по Парето - слабо оптимальное распределение ресурсов.
• Интерполяция Парето - метод оценки медианы популяции.
• Распределения вероятностей по степенному закону - Функциональная связь между двумя величинами
• Закон Стерджена : «Девяносто процентов всего — дерьмо».
• Модель генерации трафика – моделируемый поток данных в сети связи. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Закон Ципфа – Распределение вероятностей
• Распределение с тяжёлым хвостом – Распределение вероятностей

Примечания

• М.О. Лоренц (1905). «Методы измерения концентрации богатства». Публикации Американской статистической ассоциации . 9 (70): 209–19. Бибкод : 1905PAmSA...9..209L . дои : 10.2307/2276207 . JSTOR   2276207 . S2CID   154048722 .
• Парето, Вильфредо (1965). Библиотека Дроз (ред.). Труды о кривой распределения богатства . Полное собрание сочинений: Том III. п. 48. ИСБН  9782600040211 .

• Парето, Вильфредо (1895). «Закон спроса». Журнал экономистов . 10 :59–68.
• Парето, Вильфредо (1896). «Курс политической экономии». дои : 10.1177/000271629700900314 . S2CID   143528002 . {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )

Внешние ссылки

• «Распределение Парето» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Распределение Парето» . Математический мир .
• Оберге, Рольф (май 2005 г.). «Нуклеарная семья Джини». Международная конференция в честь двух выдающихся ученых-социологов (PDF) .

• Кровелла, Марк Э .; Беставрос, Азер (декабрь 1997 г.). Самоподобие в трафике Всемирной паутины: доказательства и возможные причины (PDF) . Транзакции IEEE/ACM в сети. Том. 5. С. 835–846. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 25 февраля 2019 г.

• Syntraf1.c — это программа на языке C, генерирующая синтетический пакетный трафик с ограниченным размером пакета Парето и экспоненциальным временем между пакетами.