Интерполяция Парето

Интерполяция Парето — это метод оценки медианы и других свойств совокупности, который следует распределению Парето . Он используется в экономике при анализе распределения доходов среди населения, когда необходимо основывать оценки на относительно небольшой случайной выборке населения.

Семейство распределений Парето параметризуется

• положительное число κ, которое является наименьшим значением, которое может принимать случайная величина с распределением Парето. Применительно к распределению доходов κ — это самый низкий доход любого человека в составе населения; и
• положительное число θ — «индекс Парето»; по мере увеличения этого значения хвост распределения становится тоньше. Применительно к распределению доходов это означает, что чем больше значение индекса Парето θ, тем меньше доля доходов, во много раз превышающих наименьшие доходы.

Интерполяцию Парето можно использовать, когда доступная информация включает в себя долю выборки, которая находится ниже каждого из двух заданных чисел a < b . Например, можно заметить, что 45% людей в выборке имеют доходы ниже a = 35 000 долларов США в год, а 55% имеют доходы ниже b = 40 000 долларов США в год.

Позволять

P _a = доля выборки, которая находится ниже a ;

P _b = доля выборки, которая находится ниже b .

Тогда оценки κ и θ равны

${\widehat {\kappa }}=\left({\frac {P_{b}-P_{a}}{\left(1/a^{\widehat {\theta }}\right)-\left(1/b^{\widehat {\theta }}\right)}}\right)^{1/{\widehat {\theta }}}$

и

${\widehat {\theta }}\;=\;{\frac {\log(1-P_{a})-\log(1-P_{b})}{\log(b)-\log(a)}}.$

Тогда оценка медианы будет равна

${\mbox{estimated median}}={\widehat {\kappa }}\cdot 2^{1/{\widehat {\theta }}},\,$

поскольку фактическая медиана численности населения

${\mbox{median}}=\kappa \,2^{1/\theta }.\,$

Ссылки

• Бюро переписи населения США, Меморандум о статистических методах, использованных в обследовании доходов 2001 года (PDF) . См. уравнение 10 на стр. 24.
• Стултс, Брайан Дж. Вычисление среднего дохода домохозяйства . Дает вывод уравнений для интерполяции Парето.