Распределение Кумарасвами

Чтобы узнать о других значениях, см. Кумарасвами (значения) .

Кумарасвами

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$a>0\,$ (настоящий) $b>0\,$ (настоящий)
Поддерживать	$x\in (0,1)\,$
PDF	$abx^{a-1}(1-x^{a})^{b-1}\,$
CDF	$1-(1-x^{a})^{b}$
Иметь в виду	${\frac {b\Gamma (1+{\tfrac {1}{a}})\Gamma (b)}{\Gamma (1+{\tfrac {1}{a}}+b)}}\,$
медиана	$\left(1-2^{-1/b}\right)^{1/a}$
Режим	$\left({\frac {a-1}{ab-1}}\right)^{1/a}$ для $a\geq 1,b\geq 1,(a,b)\neq (1,1)$
Дисперсия	(сложное - см. текст)
асимметрия	(сложное - см. текст)
Избыточный эксцесс	(сложное - см. текст)
Энтропия	$\left(1\!-\!{\tfrac {1}{b}}\right)+\left(1\!-\!{\tfrac {1}{a}}\right)H_{b}-\ln(ab)$

В теории вероятности и статистике представляет двойное ограниченное распределение Кумарасвами собой семейство непрерывных распределений вероятностей, определенных на интервале (0,1). Оно похоже на бета-распределение , но его гораздо проще использовать, особенно в симуляционных исследованиях, поскольку его функция плотности вероятности , кумулятивная функция распределения и функции квантиля могут быть выражены в замкнутой форме . Первоначально это распределение было предложено Пунди Кумарасвами. для переменных, которые ограничены снизу и сверху с нулевой инфляцией. Это было распространено на инфляцию в обоих крайностях [0,1] в более поздней работе с С.Г. Флетчер.

Характеристика

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности распределения Кумарасвами без учета инфляции равна

$f(x;a,b)=abx^{a-1}{(1-x^{a})}^{b-1},\ \ {\mbox{where}}\ \ x\in (0,1),$

и где a и b — неотрицательные параметры формы .

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения равна

$F(x;a,b)=\int _{0}^{x}f(\xi ;a,b)d\xi =1-(1-x^{a})^{b}.\$

Квантильная функция

Обратная кумулятивная функция распределения (функция квантиля) равна

$F^{-1}(y;a,b)=(1-(1-y)^{\frac {1}{b}})^{\frac {1}{a}}.\$

Обобщение до поддержки произвольного интервала

В своей простейшей форме распределение имеет носитель (0,1). В более общей форме нормализованная переменная x заменяется несмещенной и немасштабированной переменной z , где:

$x={\frac {z-z_{\text{min}}}{z_{\text{max}}-z_{\text{min}}}},\qquad z_{\text{min}}\leq z\leq z_{\text{max}}.\,\!$

Характеристики

Основные моменты распространения Кумарасвами даны:

$m_{n}={\frac {b\Gamma (1+n/a)\Gamma (b)}{\Gamma (1+b+n/a)}}=bB(1+n/a,b)\,$

где B — бета-функция , а Γ(.) обозначает гамма-функция . дисперсию, асимметрию и избыточный эксцесс На основе этих необработанных моментов можно рассчитать . Например, дисперсия:

$\sigma ^{2}=m_{2}-m_{1}^{2}.$

Энтропия Шеннона (в натс) распределения равна:

$H=\left(1\!-\!{\tfrac {1}{a}}\right)+\left(1\!-\!{\tfrac {1}{b}}\right)H_{b}-\ln(ab)$

где $H_{i}$ – функция числа гармоник .

Отношение к бета-дистрибутиву

Распределение Кумарасвами тесно связано с бета-распределением. Предположим, что X _a,b распределенная Кумарасвами, — случайная величина, с параметрами a и b .Тогда X _a,b является корнем a -й степени из соответствующим образом определенной случайной величины с бета-распределением.Более формально, пусть Y _1,b обозначает бета-распределенную случайную величину с параметрами $\alpha =1$ и $\beta =b$. существует следующая связь Между X _a,b и Y _1,b .

$X_{a,b}=Y_{1,b}^{1/a},$

с равенством в распределении.

$\operatorname {P} \{X_{a,b}\leq x\}=\int _{0}^{x}abt^{a-1}(1-t^{a})^{b-1}dt=\int _{0}^{x^{a}}b(1-t)^{b-1}dt=\operatorname {P} \{Y_{1,b}\leq x^{a}\}=\operatorname {P} \{Y_{1,b}^{1/a}\leq x\}.$

Можно ввести обобщенные распределения Кумарасвами, рассматривая случайные величины вида $Y_{\alpha ,\beta }^{1/\gamma }$, с $\gamma >0$ и где $Y_{\alpha ,\beta }$обозначает бета-распределенную случайную величину с параметрами $\alpha$ и $\beta$.Основные моменты этого обобщенного распределения Кумарасвами представлены следующим образом:

$m_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +n/\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\alpha +\beta +n/\gamma )}}.$

Обратите внимание, что мы можем повторно получить исходную настройку моментов. $\alpha =1$, $\beta =b$ и $\gamma =a$.Однако в общем случае кумулятивная функция распределения не имеет решения в замкнутом виде.

Связанные дистрибутивы

• Если $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,1)\,$ затем $X\sim U(0,1)\,$ ( Равномерное распределение )
• Если $X\sim U(0,1)\,$ затем ${\left(1-X^{\tfrac {1}{b}}\right)}^{\tfrac {1}{a}}\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,$
• Если $X\sim {\textrm {Beta}}(1,b)\,$ ( Бета-распределение ) тогда $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,$
• Если $X\sim {\textrm {Beta}}(a,1)\,$ ( Бета-распределение ) тогда $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,$
• Если $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,$ затем $(1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,$
• Если $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,$ затем $(1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,$
• Если $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,$ затем $-\log(X)\sim {\textrm {Exponential}}(a)\,$
• Если $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,$ затем $-\log(1-X)\sim {\textrm {Exponential}}(b)\,$
• Если $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,$ затем $X\sim {\textrm {GB1}}(a,1,1,b)\,$, обобщенное бета-распределение первого рода .

Пример

Примером использования распределения Кумарасвами является объем резервуара емкостью z , верхняя граница которого равна z _max , а нижняя граница равна 0, что также является естественным примером наличия двух надуваний, поскольку многие резервуары имеют ненулевые вероятности для обоих пустых. и состояния полного резервуара.