Зета-распределение

дзета
	Функция массы вероятности ; График Зетовского ВМП в логарифмическом масштабе. (Функция определена только при целочисленных значениях k. Соединительные линии не указывают на непрерывность.)
	Кумулятивная функция распределения
Параметры
Поддерживать
ПМФ
CDF
Иметь в виду
Режим
Дисперсия
Энтропия
МГФ	не существует
CF

В теории вероятностей и статистике дзета -распределение представляет собой дискретное распределение вероятностей . Если X — случайная величина с дзета-распределением и параметром s , то вероятность того, что X примет целое значение k, определяется функцией массы вероятности.

f_{s}(k)=k^{-s}/\zeta (s)\,

где ζ( s ) — дзета-функция Римана (которая не определена при s = 1).

Кратности различных простых множителей являются X независимыми случайными величинами .

Дзета- функция Римана представляет собой сумму всех членов $k^{-s}$ для положительного целого числа k это выглядит как нормализация распределения Ципфа . Термины «распределение Ципфа» и «дзета-распределение» часто используются как синонимы. Но хотя дзета-распределение само по себе является распределением вероятностей , оно не связано с законом Ципфа с тем же показателем степени.

Определение

Дзета-распределение определено для натуральных чисел. $k\geq 1$ , а его функция массы вероятности определяется выражением

P(x=k)={\frac {1}{\zeta (s)}}k^{-s}

,

где $s>1$ является параметром, а $\zeta (s)$ — дзета-функция Римана .

Кумулятивная функция распределения определяется выражением

P(x\leq k)={\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}},

где $H_{k,s}$ - обобщенный номер гармоники

H_{k,s}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{i^{s}}}.

Моменты

й n- исходный момент определяется как ожидаемое значение X ^н:

m_{n}=E(X^{n})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s-n}}}

Ряд справа — это просто последовательное представление дзета-функции Римана, но он сходится только для значений $s-n$ которые больше единицы. Таким образом:

m_{n}=\left\{{\begin{matrix}\zeta (s-n)/\zeta (s)&{\textrm {for}}~n<s-1\\\infty &{\textrm {for}}~n\geq s-1\end{matrix}}\right.

Отношение дзета-функций четко определено даже для n > s − 1, поскольку представление дзета-функции в виде ряда можно аналитически продолжить . Это не меняет того факта, что моменты задаются самим рядом и поэтому не определены для больших n .

Функция генерации момента

определяется Производящая функция момента как

M(t;s)=E(e^{tX})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{tk}}{k^{s}}}.

Ряд — это просто определение полилогарифма , действительное для $e^{t}<1$ так что

M(t;s)={\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}{\text{ for }}t<0.

Поскольку это не сходится на открытом интервале, содержащем $t=0$ , производящей функции момента не существует.

Случай s = 1

ζ(1) бесконечна как гармонический ряд , поэтому случай, когда s = 1, не имеет смысла. Однако, если A — любой набор натуральных чисел, имеющий плотность, т. е. если

\lim _{n\to \infty }{\frac {N(A,n)}{n}}

существует, где N ( A , n ) — количество членов A, меньшее или равное n , тогда

\lim _{s\to 1^{+}}P(X\in A)\,

равна этой плотности.

Последний предел может существовать и в некоторых случаях, когда A не имеет плотности. Например, если A — это набор всех натуральных чисел, первая цифра которых равна d , то A не имеет плотности, но, тем не менее, второй предел, указанный выше, существует и пропорционален

\log(d+1)-\log(d)=\log \left(1+{\frac {1}{d}}\right),\,

что является законом Бенфорда .

Бесконечная делимость

Дзета-распределение может быть построено с помощью последовательности независимых случайных величин с геометрическим распределением . Позволять $p$ быть простым числом и $X(p^{-s})$ быть случайной величиной с геометрическим распределением параметра $p^{-s}$ , а именно

$\quad \quad \quad \mathbb {P} \left(X(p^{-s})=k\right)=p^{-ks}(1-p^{-s})$

Если случайные величины $(X(p^{-s}))_{p\in {\mathcal {P}}}$ независимы, то случайная величина $Z_{s}$ определяется

$\quad \quad \quad Z_{s}=\prod _{p\in {\mathcal {P}}}p^{X(p^{-s})}$

имеет дзета-распределение: $\mathbb {P} \left(Z_{s}=n\right)={\frac {1}{n^{s}\zeta (s)}}$ .

Другими словами, случайная величина $\log(Z_{s})=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}X(p^{-s})\,\log(p)$ с бесконечно делится мерой Леви, определяемой следующей суммой масс Дирака :

$\quad \quad \quad \Pi _{s}(dx)=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\sum _{k\geqslant 1}{\frac {p^{-ks}}{k}}\delta _{k\log(p)}(dx)$

См. также

Другие «степенные» распределения

Внешние ссылки

Гут, Аллан. «Некоторые замечания о дзета-распределении Римана». CiteSeerX 10.1.1.66.3284 . То, что Гут называет «дзета-распределением Римана», на самом деле является распределением вероятностей −log X , где X — случайная величина, имеющая то, что в этой статье называется дзета-распределением.
Вайсштейн, Эрик В. «Распределение Zipf» . Математический мир .