Комплексное распределение Wishart

Комплекс Уишарт

Обозначения	A ~ CW p ( $\Gamma$, н )
Параметры	n > p − 1 степени свободы ( действительная ) $\Gamma$ > 0 ( p × p эрмитова позиция def )
Поддерживать	A ( p × p ) Эрмитова положительно определенная матрица
PDF	${\frac {\det \left(\mathbf {A} \right)^{(n-p)}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {\Gamma } ^{-1}\mathbf {A} )}}{\det \left(\mathbf {\Gamma } \right)^{n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}}$ ${\mathcal {C}}{\widetilde {\mathbf {\Gamma } }}_{p}$ это $p$-вариативная комплексная многомерная гамма-функция tr — трассировки функция
Иметь в виду	$\operatorname {E} [A]=n\Gamma$
Режим	$(n-p)\mathbf {\Gamma }$ для n ≥ p + 1
CF	$\det \left(I_{p}-i\mathbf {\Gamma } \mathbf {\Theta } \right)^{-n}$

В статистике комплексное распределение Уишарта является сложной версией распределения Уишарта . Это распределение $n$ раз выборочную эрмитову ковариационную матрицу $n$ с нулевым средним независимые гауссовские случайные величины . Он поддержку имеет $p\times p$ Эрмитовы положительно определенные матрицы .

Комплексное распределение Уишарта представляет собой плотность комплексной выборочной ковариационной матрицы. Позволять

$S_{p\times p}=\sum _{i=1}^{n}G_{i}G_{i}^{H}$

где каждый $G_{i}$ представляет собой независимый p -вектор-столбец случайных комплексных гауссовых выборок с нулевым средним и $(.)^{H}$ является эрмитовым (комплексно-сопряженным) транспонированием. Если ковариация G равна $\mathbb {E} [GG^{H}]=M$ затем

$S\sim n{\mathcal {CW}}(M,n,p)$

где ${\mathcal {CW}}(M,n,p)$ — комплексное центральное распределение Уишарта с n степенями свободы и средним значением или масштабной M. матрицей

$f_{S}(\mathbf {S} )={\frac {\left|\mathbf {S} \right|^{n-p}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {M} ^{-1}\mathbf {S} )}}{\left|\mathbf {M} \right|^{n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}},\;\;\;n\geq p,\;\;\;\left|\mathbf {M} \right|>0$

где

${\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}^{}(n)=\pi ^{p(p-1)/2}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (n-j+1)$

— комплексная многомерная гамма-функция.

Использование правила ротации трассировки $\operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (CAB)$ мы также получаем

$f_{S}(\mathbf {S} )={\frac {\left|\mathbf {S} \right|^{n-p}}{\left|\mathbf {M} \right|^{n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}}\exp \left(-\sum _{i=1}^{p}G_{i}^{H}\mathbf {M} ^{-1}G_{i}\right)$

что очень близко к сложному многомерному PDF-файлу G. самого Элементы G традиционно имеют круговую симметрию такую, что $\mathbb {E} [GG^{T}]=0$.

Обратный комплекс желаний Распределение обратного комплексного распределения Уишарта $\mathbf {Y} =\mathbf {S^{-1}}$ по словам Гудмана, Шаман является

$f_{Y}(\mathbf {Y} )={\frac {\left|\mathbf {Y} \right|^{-(n+p)}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {M} \mathbf {Y^{-1}} )}}{\left|\mathbf {M} \right|^{-n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}},\;\;\;n\geq p,\;\;\;\det \left(\mathbf {Y} \right)>0$

где $\mathbf {M} =\mathbf {\Gamma ^{-1}}$.

Если результат получен с помощью преобразования матрицы, результат зависит от комплексного определителя Якобиана.

${\mathcal {C}}J_{Y}(Y^{-1})=\left|Y\right|^{-2p-2}$

Гудман и другие обсудим такие сложные якобианы.

Собственные значения

Распределение вероятностей собственных значений комплексного эрмитова распределения Уишарта дано, например, Джеймсом. и Эдельман. Для $p\times p$ матрица с $\nu \geq p$ степени свободы, которые мы имеем

$f(\lambda _{1}\dots \lambda _{p})={\tilde {K}}_{\nu ,p}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}\right)\prod _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{\nu -p}\prod _{i<j}(\lambda _{i}-\lambda _{j})^{2}d\lambda _{1}\dots d\lambda _{p},\;\;\;\lambda _{i}\in \mathbb {R} \geq 0$

где

${\tilde {K}}_{\nu ,p}^{-1}=2^{p\nu }\prod _{i=1}^{p}\Gamma (\nu -i+1)\Gamma (p-i+1)$

Однако обратите внимание, что Эдельман использует «математическое» определение комплексной нормальной переменной. $Z=X+iY$ где iid X и Y имеют единичную дисперсию и дисперсию $Z=\mathbf {E} \left(X^{2}+Y^{2}\right)=2$. Для определения, более распространенного в инженерных кругах, где X и Y имеют дисперсию 0,5, собственные значения уменьшаются в 2 раза.

Хотя это выражение мало что дает, существуют приближения для маргинальных распределений собственных значений. От Эдельмана мы знаем, что если S является выборкой из комплексного распределения Уишарта с $p=\kappa \nu ,\;\;0\leq \kappa \leq 1$ такой, что $S_{p\times p}\sim {\mathcal {CW}}\left(2\mathbf {I} ,{\frac {p}{\kappa }}\right)$тогда в пределе $p\rightarrow \infty$ распределение собственных значений сходится по вероятности к распределения Марченко–Пастура функции

$p_{\lambda }(\lambda )={\frac {\sqrt {[\lambda /2-({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}][{\sqrt {\kappa }}+1)^{2}-\lambda /2]}}{4\pi \kappa (\lambda /2)}},\;\;\;2({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}\leq \lambda \leq 2({\sqrt {\kappa }}+1)^{2},\;\;\;0\leq \kappa \leq 1$

Это распределение становится идентичным реальному случаю Уишарта, если заменить $\lambda$ к $2\lambda$, из-за удвоенной выборочной дисперсии, поэтому в случае $S_{p\times p}\sim {\mathcal {CW}}\left(\mathbf {I} ,{\frac {p}{\kappa }}\right)$pdf превращается в настоящий Wishart:

$p_{\lambda }(\lambda )={\frac {\sqrt {[\lambda -({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}][{\sqrt {\kappa }}+1)^{2}-\lambda ]}}{2\pi \kappa \lambda }},\;\;\;({\sqrt {\kappa }}-1)^{2}\leq \lambda \leq ({\sqrt {\kappa }}+1)^{2},\;\;\;0\leq \kappa \leq 1$

Особым случаем является $\kappa =1$

$p_{\lambda }(\lambda )={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {8-\lambda }{\lambda }}\right)^{\frac {1}{2}},\;0\leq \lambda \leq 8$

Var( Z или, если используется соглашение ) = 1, тогда

$p_{\lambda }(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {4-\lambda }{\lambda }}\right)^{\frac {1}{2}},\;0\leq \lambda \leq 4$.

возникает Распределение полукруга Вигнера в результате замены переменной $y=\pm {\sqrt {\lambda }}$ в последнем и выбирая знак y случайным образом, получая pdf

$p_{y}(y)={\frac {1}{2\pi }}\left(4-y^{2}\right)^{\frac {1}{2}},\;-2\leq y\leq 2$

Вместо определения выборочной матрицы Wishart, приведенного выше, $S_{p\times p}=\sum _{j=1}^{\nu }G_{j}G_{j}^{H}$, мы можем определить гауссов ансамбль

$\mathbf {G} _{i,j}=[G_{1}\dots G_{\nu }]\in \mathbb {C} ^{\,p\times \nu }$

такой, что S является матричным произведением $S=\mathbf {G} \mathbf {G^{H}}$. действительные неотрицательные собственные значения S В этом случае представляют собой сингулярные значения , квадраты модуля ансамбля. $\mathbf {G}$ а модули последних имеют четвертькруговое распределение.

В случае $\kappa >1$ такой, что $\nu <p$ затем $S$ не имеет ранга, по крайней мере, $p-\nu$ нулевые собственные значения. Однако сингулярные значения $\mathbf {G}$ инвариантны относительно транспозиции, поэтому переопределение ${\tilde {S}}=\mathbf {G^{H}} \mathbf {G}$, затем ${\tilde {S}}_{\nu \times \nu }$ имеет сложное распределение Уишарта, почти наверняка имеет полный ранг, а распределения собственных значений можно получить из ${\tilde {S}}$ вместо этого, используя все предыдущие уравнения.

В тех случаях, когда столбцы $\mathbf {G}$ не являются линейно независимыми и ${\tilde {S}}_{\nu \times \nu }$ остается сингулярным, QR-разложение можно использовать , чтобы свести G к такому продукту, как

$\mathbf {G} =Q{\begin{bmatrix}\mathbf {R} \\0\end{bmatrix}}$

такой, что $\mathbf {R} _{q\times q},\;\;q\leq \nu$ является верхнетреугольным с полным рангом и ${\tilde {\tilde {S}}}_{q\times q}=\mathbf {R^{H}} \mathbf {R}$ еще больше уменьшила размерность.

Собственные значения имеют практическое значение в теории радиосвязи, поскольку они определяют пропускную способность канала Шеннона радиосвязи. $\nu \times p$ Беспроводной канал MIMO , который в первом приближении моделируется как комплексный гауссов ансамбль с нулевым средним.