Гиперболическое секансное распределение

гиперболический секанс
	Функция плотности вероятности
	Кумулятивная функция распределения
Параметры	никто
Поддерживать
PDF
CDF
Иметь в виду
медиана
Режим
Дисперсия
асимметрия
Избыточный эксцесс
Энтропия
МГФ	для
CF	для

В теории вероятностей и статистике гиперболическое секансное распределение представляет собой непрерывное распределение вероятностей, которого функция плотности вероятности и характеристическая функция пропорциональны гиперболической секущей функции . Функция гиперболического секанса эквивалентна обратному гиперболическому косинусу , поэтому это распределение также называется распределением обратного шишка .

Обобщение распределения приводит к распределению Мейкснера , также известному как естественное экспоненциальное семейство — обобщенное гиперболическое секанс или распределение NEF-GHS .

Определения

Функция плотности вероятности

подчиняется Случайная величина гиперболическому секущему распределению, если ее функция плотности вероятности может быть связана со следующей стандартной формой функции плотности посредством преобразования местоположения и сдвига:

f(x)={\frac {1}{2}}\operatorname {sech} {\frac {\pi x}{2}},

где «sech» обозначает гиперболическую секущую функцию.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) стандартного распределения представляет собой масштабированную и сдвинутую версию функции Гудермана ,

{\begin{aligned}F(x)&={\frac {1}{2}}+{{\frac {1}{\pi }}\arctan }{\Bigl (}{\operatorname {sinh} {\frac {\pi x}{2}}}{\Bigr )}\\[8mu]&={{\frac {2}{\pi }}\arctan }{\Bigl (}{\exp {\frac {\pi x}{2}}}{\Bigr )}.\end{aligned}}

где «арктан» — обратная (круговая) функция тангенса .

Джонсон и др. (1995) ^[1]^: 147 помещает это распределение в контекст класса обобщенных форм логистического распределения , но использует другую параметризацию стандартного распределения по сравнению с приведенной здесь. Дин (2014) ^[2] показывает три случая распределения гиперболического секущего при статистическом моделировании и выводе.

Характеристики

Гиперболическое секущее распределение разделяет многие свойства со стандартным нормальным распределением : оно симметрично с единичной дисперсией и нулевым средним , медианой и модой , а его функция плотности вероятности пропорциональна его характеристической функции. Однако гиперболическое секущее распределение является лептокуртическим ; то есть оно имеет более острый пик вблизи среднего значения и более тяжелые хвосты по сравнению со стандартным нормальным распределением. И гиперболическое секансное распределение, и логистическое распределение являются частными случаями распределения Чамперноуна , которое имеет экспоненциальные хвосты.

Обратный cdf (или функция квантиля) для равномерной переменной 0 ≤ p <1 равна

F^{-1}(p)=-{\frac {2}{\pi }}\,\operatorname {arsinh} \!\left[\cot(\pi \,p)\right]\!,

={\frac {2}{\pi }}\,\ln \!\left[\tan \left({\frac {\pi }{2}}\,p\right)\right]\!.

где «arsinh» — обратная функция гиперболического синуса , а «cot» — (круговая) функция котангенса .

Обобщения

Свертка

Учитывая (масштабированную) сумму $r$ независимые и одинаково распределенные гиперболические секущие случайные величины:

X={\frac {1}{\sqrt {r}}}\;(X_{1}+X_{2}+\;...\;+X_{r})

тогда в пределе $r\to \infty$ распространение $X$ будет стремиться к нормальному распределению $N(0,1)$ , в соответствии с центральной предельной теоремой .

Это позволяет определить удобное семейство распределений со свойствами, промежуточными между гиперболическим секущим и нормальным распределением, контролируемым параметром формы. $r$ , которое можно расширить до нецелых значений с помощью характеристической функции

\varphi (t)={\big (}\operatorname {sech} (t/{\sqrt {r}}){\big )}^{r}

Моменты легко вычисляются по характеристической функции. избыточный эксцесс Обнаружено, что $2/r$ .

Расположение и масштаб

Распределение (и его обобщения) также можно тривиально сместить и масштабировать обычным способом, чтобы получить соответствующее семейство в масштабе местоположения :

f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)

Перекос

Асимметричную форму распределения можно получить умножением на экспоненциальную $e^{\theta x},|{\theta }|<{\pi }/2$ и нормализуя, чтобы получить распределение

f(x)=\cos \theta \;{\frac {e^{\theta x}}{2\operatorname {cosh} ({\frac {\pi x}{2}})}}

где значение параметра $\theta =0$ соответствует исходному распределению.

Куртозис

Распределение Чамперноуна имеет дополнительный параметр для формирования ядра или крыльев.

Распределение Мейкснера

Разрешение всех четырех приведенных выше настроек дает распределение с четырьмя параметрами, управляющими формой, перекосом, местоположением и масштабом соответственно, называемое распределением Мейкснера. ^[3] в честь Йозефа Мейкснера , который первым исследовал это семейство, или распределение NEF-GHS ( Натуральное экспоненциальное семейство - обобщенное гиперболическое секансное распределение).

В финансовой математике распределение Мейкснера использовалось для моделирования негауссовского движения цен на акции, с приложениями, включая оценку опционов .

Связанное распространение

Лосев (1989) независимо исследовал асимметричную (перекошенную) кривую $h(x)={\frac {1}{\exp(-ax)+\exp(bx)}}$ , который использует всего два параметра $a,b$ . В нем $a$ является мерой левого перекоса и $b$ мера перекоса вправо, если оба параметра положительны. Они должны быть как положительными, так и отрицательными, причем $a=b$ будучи гиперболическим секансом - и, следовательно, симметричным - и $h(x)^{r}$ являясь его дальнейшей измененной формой. ^[4]

Нормализующая константа имеет следующий вид:

{\frac {a+b}{\pi }}\sin \left({\frac {b\pi }{a+b}}\right)

что сводится к ${\frac {2a}{\pi }}$ для симметричной версии.

Кроме того, для симметричного варианта $a$ можно оценить как $a={\frac {\pi }{2\sigma }}$ .

Ссылки

^ Джонсон, Норман Л.; Коц, Сэмюэл; Балакришнан, Н. (1995). Непрерывные одномерные распределения . Том. 2. ISBN 978-0-471-58494-0 .
^ Дин, П. (2014). «Три случая гиперболически-секущего распределения». Американский статистик . 68 : 32–35. CiteSeerX 10.1.1.755.3298 . дои : 10.1080/00031305.2013.867902 . S2CID 88513895 .
^ MeixnerDistribution , документация по языку Wolfram . По состоянию на 9 июня 2020 г.
^ Лосев, А. (1989). «Новая форма линии для соответствия пикам рентгеновских фотоэлектронов». Анализ поверхности и интерфейса . 14 (12): 845–849. дои : 10.1002/sia.740141207 .

Батен, WD (1934). «Закон вероятности для суммы n независимых переменных, каждая из которых подчиняется закону $(2h)^{-1}\operatorname {sech} (\pi x/2h)$ « . Бюллетень Американского математического общества . 40 (4): 284–290. doi : 10.1090/S0002-9904-1934-05852-X .
Талако, Дж. (1956). «Распределения Перкса и их роль в теории стохастических переменных Винера». Trabajos de Estadistica . 7 (2): 159–174. дои : 10.1007/BF03003994 . S2CID 120569210 .
Деврой, Люк (1986). Генерация неравномерных случайных величин . Нью-Йорк: Springer-Verlag. Раздел IX.7.2.
Смит, ГК (1994). «Заметка о моделировании взаимных корреляций: гиперболическая секущая регрессия» (PDF) . Биометрика . 81 (2): 396–402. дои : 10.1093/biomet/81.2.396 .
Матиас Дж. Фишер (2013), Обобщенные гиперболические секансные распределения: с приложениями к финансам , Springer. ISBN 3642451381 . Гугл Книги

[1] Джонсон, Норман Л.; Коц, Сэмюэл; Балакришнан, Н. (1995). Непрерывные одномерные распределения . Том. 2. ISBN 978-0-471-58494-0 .

[2] Дин, П. (2014). «Три случая гиперболически-секущего распределения». Американский статистик . 68 : 32–35. CiteSeerX 10.1.1.755.3298 . дои : 10.1080/00031305.2013.867902 . S2CID 88513895 .

[3] MeixnerDistribution , документация по языку Wolfram . По состоянию на 9 июня 2020 г.

[4] Лосев, А. (1989). «Новая форма линии для соответствия пикам рентгеновских фотоэлектронов». Анализ поверхности и интерфейса . 14 (12): 845–849. дои : 10.1002/sia.740141207 .

[1]

[2]

[3]

[4]