Распространение Чампернауна

В статистике представляет распределение Чамперноуна собой симметричное непрерывное распределение вероятностей , описывающее случайные величины , которые принимают как положительные, так и отрицательные значения. Это обобщение логистического распределения , которое было введено Д. Г. Чамперноуном . Чамперноун разработал распределение для описания логарифма дохода.

Определение

Распределение Чамперноуна имеет функцию плотности вероятности, определяемую выражением

$f(y;\alpha ,\lambda ,y_{0})={\frac {n}{\cosh[\alpha (y-y_{0})]+\lambda }},\qquad -\infty <y<\infty ,$

где $\alpha ,\lambda ,y_{0}$ – положительные параметры, а n – нормировочная константа, зависящая от параметров. Плотность можно переписать как

$f(y)={\frac {n}{{\tfrac {1}{2}}e^{\alpha (y-y_{0})}+\lambda +{\tfrac {1}{2}}e^{-\alpha (y-y_{0})}}},$

используя тот факт, что $\cosh x={\tfrac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x}).$

Характеристики

Плотность f ( y ) определяет симметричное распределение со медианой y ₀ , хвосты которого несколько тяжелее, чем у нормального распределения.

Особые случаи

В особом случае $\lambda =0$ ( $\alpha ={\tfrac {\pi }{2}},y_{0}=0$) это гиперболическое секущее распределение .

В особом случае $\lambda =1$ это плотность Берра типа XII .

Когда $y_{0}=0,\alpha =1,\lambda =1$,

$f(y)={\frac {1}{e^{y}+2+e^{-y}}}={\frac {e^{y}}{(1+e^{y})^{2}}},$

что является плотностью стандартного логистического распределения .

Распределение доходов

Если распределение Y , логарифма дохода, имеет распределение Чамперноуна, то функция плотности дохода X = exp( Y ) равна

$f(x)={\frac {n}{x[1/2(x/x_{0})^{-\alpha }+\lambda +a/2(x/x_{0})^{\alpha }]}},\qquad x>0,$

где x ₀ = exp( y ₀ ) — средний доход. Если λ = 1, это распределение часто называют распределением Фиска , который имеет плотность

$f(x)={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{x_{0}^{\alpha }[1+(x/x_{0})^{\alpha }]^{2}}},\qquad x>0.$

См. также

• Генерализованное логистическое распределение