Лог-логистическая дистрибуция

Лог-логистика

Функция плотности вероятности $\alpha =1,$ значения $\beta$ как показано в легенде
Кумулятивная функция распределения $\alpha =1,$ значения $\beta$ как показано в легенде
Параметры	$\alpha >0$ шкала $\beta >0$ форма
Поддерживать	$x\in [0,\infty )$
PDF	${\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left(1+(x/\alpha )^{\beta }\right)^{2}}}$
CDF	${1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}$
Иметь в виду	${\alpha \,\pi /\beta \over \sin(\pi /\beta )}$ если $\beta >1$, иначе неопределенное
медиана	$\alpha \,$
Режим	$\alpha \left({\frac {\beta -1}{\beta +1}}\right)^{1/\beta }$ если $\beta >1$, 0 иначе
Дисперсия	См. основной текст
Энтропия	$\ln \alpha \ -\ln \beta \ +2$
МГФ	$\beta \alpha ^{-\beta }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{tx}x^{\beta -1}}{(1+(x/\alpha )^{\beta })^{2}}}dx$$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha t)^{n}}{n!}}\mathrm {B} (1+{\frac {n}{\beta }},1-{\frac {n}{\beta }})$ где $\mathrm {B}$ это бета-функция .
CF	$\beta \alpha ^{-\beta }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{itx}x^{\beta -1}}{(1+(x/\alpha )^{\beta })^{2}}}dx$$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(i\alpha t)^{n}}{n!}}\mathrm {B} (1+{\frac {n}{\beta }},1-{\frac {n}{\beta }})$ где $\mathrm {B}$ это бета-функция .
Ожидаемый дефицит	${\frac {\alpha }{1-p}}\left({\frac {\pi }{\beta }}csc\left({\frac {\pi }{\beta }}\right)-B_{p}\left({\frac {1}{\beta }}+1,1-{\frac {1}{\beta }}\right)\right)$ где $B_{y}(A_{1},A_{2})=\int _{0}^{y}p^{A_{1}-1}(1-p)^{A_{2}-1}dp$ – неполная бета-функция.

В теории вероятности и статистике лог -логистическое распределение (известное как распределение Фиска в экономике ) представляет собой непрерывное распределение вероятностей для неотрицательной случайной величины . Он используется в анализе выживаемости в качестве параметрической модели для событий, частота которых первоначально увеличивается, а позже снижается, как, например, уровень смертности от рака после диагностики или лечения. Он также использовался в гидрологии для моделирования речного стока и осадков , в экономике как простая модель распределения богатства или дохода , а также в сетевых технологиях для моделирования времени передачи данных с учетом как сети, так и программного обеспечения.

Лог-логистическое распределение — это распределение вероятностей случайной величины которой , логарифм имеет логистическое распределение . По форме оно похоже на логнормальное распределение , но имеет более тяжелые хвосты . В отличие от логнормального, ее кумулятивную функцию распределения можно записать в замкнутом виде .

Характеристика

Существует несколько различных параметризаций используемого распределения. Показанное здесь дает достаточно интерпретируемые параметры и простую форму кумулятивной функции распределения . Параметр $\alpha >0$ является параметром масштаба , а также медианой распределения. Параметр $\beta >0$ является параметром формы . Распределение является унимодальным, если $\beta >1$ и его дисперсия уменьшается по мере $\beta$ увеличивается.

Кумулятивная функция распределения равна

${\begin{aligned}F(x;\alpha ,\beta )&={1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}\\[5pt]&={(x/\alpha )^{\beta } \over 1+(x/\alpha )^{\beta }}\\[5pt]&={x^{\beta } \over \alpha ^{\beta }+x^{\beta }}\end{aligned}}$

где $x>0$, $\alpha >0$, $\beta >0.$

Функция плотности вероятности

$f(x;\alpha ,\beta )={\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left(1+(x/\alpha )^{\beta }\right)^{2}}}$

Альтернативная параметризация

Альтернативная параметризация дается парой $\mu ,s$ по аналогии с логистическим распределением:

$\mu =\ln(\alpha )$

$s=1/\beta$

Характеристики

Моменты

The $k$этот сырой момент существует только тогда, когда $k<\beta ,$ когда это дается

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{k})&=\alpha ^{k}\operatorname {B} (1-k/\beta ,1+k/\beta )\\[5pt]&=\alpha ^{k}\,{k\pi /\beta \over \sin(k\pi /\beta )}\end{aligned}}$

где B — бета-функция . выражения для среднего значения , дисперсии , асимметрии и эксцесса Отсюда можно вывести . Письмо $b=\pi /\beta$ для удобства среднее значение

$\operatorname {E} (X)=\alpha b/\sin b,\quad \beta >1,$

и дисперсия

$\operatorname {Var} (X)=\alpha ^{2}\left(2b/\sin 2b-b^{2}/\sin ^{2}b\right),\quad \beta >2.$

Явные выражения для асимметрии и эксцесса очень длинные. Как $\beta$ стремится к бесконечности, среднее стремится к $\alpha$, дисперсия и асимметрия стремятся к нулю, а избыточный эксцесс стремится к 6/5 (см. также соответствующие распределения ниже).

Квантили

Функция квантиля (обратная кумулятивная функция распределения):

$F^{-1}(p;\alpha ,\beta )=\alpha \left({\frac {p}{1-p}}\right)^{1/\beta }.$

Отсюда следует, медиана что $\alpha$, нижний квартиль ​ $3^{-1/\beta }\alpha$ и верхний квартиль $3^{1/\beta }\alpha$.

Приложения

Функция опасности . $\alpha =1,$ значения $\beta$ как показано в легенде

Анализ выживания

Логарифмически-логистическое распределение обеспечивает одну параметрическую модель для анализа выживания . В отличие от более часто используемого распределения Вейбулла , оно может иметь немонотонную функцию риска : когда $\beta >1,$ функция опасности унимодальна (когда $\beta$ ≤ 1, опасность монотонно убывает). Тот факт, что кумулятивную функцию распределения можно записать в замкнутой форме, особенно полезен для анализа данных о выживании с цензурированием . Логарифмическое распределение можно использовать в качестве основы модели ускоренного времени отказа, позволяя $\alpha$ различаться между группами или, в более общем смысле, путем введения ковариат, влияющих на $\alpha$ но не $\beta$ путем моделирования $\log(\alpha )$ как линейная функция ковариат.

Функция выживания – это

$S(t)=1-F(t)=[1+(t/\alpha )^{\beta }]^{-1},\,$

и поэтому функция риска равна

$h(t)={\frac {f(t)}{S(t)}}={\frac {(\beta /\alpha )(t/\alpha )^{\beta -1}}{1+(t/\alpha )^{\beta }}}.$

Логарифмическое распределение с параметром формы $\beta =1$ — предельное распределение промежутков времени в геометрически распределенном процессе подсчета .

Гидрология

Подобрано кумулятивно-логарифмическое распределение максимального количества осадков в октябре за один день с использованием CumFreq , см. также Подбор распределения.

Логарифмическое распределение использовалось в гидрологии для моделирования скорости стока рек и осадков.

Экстремальные значения, такие как максимальное количество осадков за один день и речной сток за месяц или год, часто имеют логарифмически нормальное распределение . Однако логарифмически нормальное распределение нуждается в числовом приближении. Поскольку логарифмическое логистическое распределение, которое можно решить аналитически, аналогично логнормальному распределению, его можно использовать вместо него.

Синее изображение иллюстрирует пример подгонки логарифмически-логистического распределения к ранжированному максимальному количеству осадков в октябре за один день и показывает 90% доверительный интервал, основанный на биномиальном распределении . Данные об осадках представлены позицией графика r /( n +1) как часть кумулятивного частотного анализа .

Экономика

Лог-логистика использовалась как простая модель распределения богатства или доходов в экономике , где она известна как распределение Фиска. Его коэффициент Джини равен $1/\beta$.

показывать Вывод коэффициента Джини

The Gini coefficient for a continuous probability distribution takes the form: $G={1 \over {\mu }}\int _{0}^{\infty }F(1-F)dx$ where $F$ is the CDF of the distribution and $\mu$ is the expected value. For the log-logistic distribution, the formula for the Gini coefficient becomes: $G={\sin(\pi /\beta ) \over {\alpha \pi /\beta }}\int _{0}^{\infty }{dx \over {[1+(x/\alpha )^{-\beta }][1+(x/\alpha )^{\beta }]}}$ Defining the substitution $z=x/\alpha$ leads to the simpler equation: $G={\sin(\pi /\beta ) \over {\pi /\beta }}\int _{0}^{\infty }{dz \over {(1+z^{-\beta })(1+z^{\beta })}}$ And making the substitution $u=1/(1+z^{\beta })$ further simplifies the Gini coefficient formula to: $G={\sin(\pi /\beta ) \over {\pi }}\int _{0}^{1}u^{-1/\beta }(1-u)^{1/\beta }du$ The integral component is equivalent to the standard beta function ${\text{B}}(1-1/\beta ,1+1/\beta )$. The beta function may also be written as: ${\text{B}}(x,y)={\Gamma (x)\Gamma (y) \over {\Gamma (x+y)}}$ where $\Gamma (\cdot )$ is the gamma function. Using the properties of the gamma function, it can be shown that: ${\text{B}}(1-1/\beta ,1+1/\beta )={1 \over {\beta }}\Gamma (1-1/\beta )\Gamma (1/\beta )$ From Euler's reflection formula, the expression can be simplified further: ${\text{B}}(1-1/\beta ,1+1/\beta )={1 \over {\beta }}{\pi \over {\sin(\pi /\beta )}}$ Finally, we may conclude that the Gini coefficient for the log-logistic distribution $G=1/\beta$.

сеть

Логистика использовалась в качестве модели для периода времени, начинающегося с того момента, когда некоторые данные покидают пользовательское приложение программного обеспечения на компьютере, а ответ принимается тем же приложением после прохождения и обработки другими компьютерами, приложениями и сетью. сегменты, большинство или все из которых не имеют жестких гарантий реального времени (например, когда приложение отображает данные, поступающие от удаленного датчика, подключенного к Интернету). Было показано, что это более точная вероятностная модель для этого, чем логарифмически нормальное распределение или другие, при условии, что резкие изменения режима в последовательностях тех времен должным образом обнаруживаются.

Связанные дистрибутивы

• Если $X\sim \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )$ затем $kX\sim \operatorname {LL} (k\alpha ,\beta ).$
• Если $X\sim \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )$ затем $X^{k}\sim \operatorname {LL} (\alpha ^{k},\beta /|k|).$
• $\operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\sim {\textrm {Dagum}}(1,\alpha ,\beta )$ ( Раздача игл ).
• $\operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\sim {\textrm {SinghMaddala}}(1,\alpha ,\beta )$ ( Распределение Сингха – Маддалы ).
• ${\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )\sim \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )$ ( Бета-простое распределение ).
• Если X имеет логарифмическое распределение с параметром масштаба $\alpha$ и параметр формы $\beta$ тогда Y = log( X ) имеет логистическое распределение с параметром местоположения $\log(\alpha )$ и параметр масштабирования $1/\beta .$
• В качестве параметра формы $\beta$ Логарифмически-логистическое распределение увеличивается, его форма все больше напоминает форму (очень узкого) логистического распределения . Неофициально:

$\operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\to L(\alpha ,\alpha /\beta )\quad {\text{as}}\quad \beta \to \infty .$

• Логарифмическое распределение с параметром формы $\beta =1$ и параметр масштабирования $\alpha$ аналогично обобщенному распределению Парето с параметром местоположения $\mu =0$, параметр формы $\xi =1$ и параметр масштабирования $\alpha :$

$\operatorname {LL} (\alpha ,1)=\operatorname {GPD} (1,\alpha ,1).$

• Добавление другого параметра (параметра сдвига) формально приводит к смещению лог-логистического распределения , но обычно это рассматривается в другой параметризации, так что распределение может быть ограничено сверху или ограничено снизу.

Обобщения

Несколько различных распределений иногда называют обобщенным лог-логистическим распределением , поскольку они содержат лог-логистику как особый случай. К ним относятся распределение Берра типа XII (также известное как распределение Сингха-Маддалы ) и распределение Дагума , оба из которых включают второй параметр формы. Оба, в свою очередь, являются частными случаями еще более общего обобщенного бета-распределения второго рода . Еще одним более простым обобщением лог-логистики является смещенное лог-логистическое распределение .

Еще одним обобщенным лог-логистическим распределением является лог-преобразование металогического распределения , в котором разложение степенного ряда с точки зрения $p$ заменяются логистического распределения параметрами $\mu$ и $\sigma$. Полученное логарифмически-металогическое распределение обладает высокой гибкостью формы, имеет простую замкнутую форму PDF и функцию квантиля , может быть адаптировано к данным с помощью линейного метода наименьших квадратов и включает логарифмическое логистическое распределение как особый случай.

См. также

• Распределения вероятностей: список важных распределений, поддерживаемых на полубесконечных интервалах.