Полунормальное распределение

Полунормальное распределение

Функция плотности вероятности $\sigma =1$
Кумулятивная функция распределения $\sigma =1$
Параметры	$\sigma >0$ - ( шкала )
Поддерживать	$x\in [0,\infty )$
PDF	$f(x;\sigma )={\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\quad x>0$
CDF	$F(x;\sigma )=\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)$
Квантиль	$Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(F)$
Иметь в виду	${\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.797885\sigma$
медиана	$\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(1/2)\approx 0.674490\sigma$
Режим	$0$
Дисперсия	$\sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right)$
асимметрия	${\frac {{\sqrt {2}}(4-\pi )}{(\pi -2)^{3/2}}}\approx 0.9952717$
Избыточный эксцесс	${\frac {8(\pi -3)}{(\pi -2)^{2}}}\approx 0.869177$
Энтропия	${\frac {1}{2}}\log _{2}\left(2\pi e\sigma ^{2}\right)-1$

В теории вероятностей и статистике полунормальное распределение является частным случаем свернутого нормального распределения .

Позволять $X$ следовать обычному нормальному распределению , $N(0,\sigma ^{2})$. Затем, $Y=|X|$ следует полунормальному распределению. Таким образом, полунормальное распределение представляет собой складку в среднем от обычного нормального распределения со средним нулевым значением.

Характеристики

Используя $\sigma$ параметризации нормального распределения, функция плотности вероятности (PDF) полунормального распределения определяется выражением

$f_{Y}(y;\sigma )={\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\quad y\geq 0,$

где $E[Y]=\mu ={\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}$.

В качестве альтернативы можно использовать параметризацию с масштабированной точностью (обратной дисперсии) (чтобы избежать проблем, если $\sigma$ близко к нулю), полученный заданием $\theta ={\frac {\sqrt {\pi }}{\sigma {\sqrt {2}}}}$, функция плотности вероятности определяется выражением

$f_{Y}(y;\theta )={\frac {2\theta }{\pi }}\exp \left(-{\frac {y^{2}\theta ^{2}}{\pi }}\right)\quad y\geq 0,$

где $E[Y]=\mu ={\frac {1}{\theta }}$.

Кумулятивная функция распределения (CDF) определяется выражением

$F_{Y}(y;\sigma )=\int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,dx$

Использование замены переменных $z=x/({\sqrt {2}}\sigma )$, CDF можно записать как

$F_{Y}(y;\sigma )={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,\int _{0}^{y/({\sqrt {2}}\sigma )}\exp \left(-z^{2}\right)dz=\operatorname {erf} \left({\frac {y}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),$

где erf — функция ошибок , стандартная функция во многих пакетах математических программ.

Функция квантиля (или обратная CDF) записывается:

$Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(F)$

где $0\leq F\leq 1$ и $\operatorname {erf} ^{-1}$ это обратная функция ошибки

Тогда ожидание определяется выражением

$E[Y]=\sigma {\sqrt {2/\pi }},$

Дисперсия определяется выражением

$\operatorname {var} (Y)=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right).$

Поскольку это пропорционально дисперсии σ ² X σ , нового можно рассматривать как масштабный параметр распределения.

Дифференциальная энтропия полунормального распределения ровно на один бит меньше дифференциальной энтропии нормального распределения с нулевым средним с тем же вторым моментом около 0. Это можно понять интуитивно, поскольку оператор величины уменьшает информацию на один бит (если вероятность распределение на его входе равномерное). В качестве альтернативы, поскольку полунормальное распределение всегда положительно, один бит, который потребовался бы для записи того, была ли стандартная нормальная случайная величина положительной (скажем, 1) или отрицательной (скажем, 0), больше не нужен. Таким образом,

$h(Y)={\frac {1}{2}}\log _{2}\left({\frac {\pi e\sigma ^{2}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\log _{2}\left(2\pi e\sigma ^{2}\right)-1.$

Приложения

Полунормальное распределение обычно используется в качестве априорного распределения вероятностей для дисперсии параметров в приложениях байесовского вывода .

Оценка параметров

Данные числа $\{x_{i}\}_{i=1}^{n}$ полученный из полунормального распределения, неизвестный параметр $\sigma$ этого распределения можно оценить методом максимального правдоподобия , что дает

${\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}$

Смещение равно

$b\equiv \operatorname {E} {\bigg [}\;({\hat {\sigma }}_{\mathrm {mle} }-\sigma )\;{\bigg ]}=-{\frac {\sigma }{4n}}$

что дает оценку максимального правдоподобия с поправкой на смещение

${\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}^{*}={\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}-{\hat {b\,}}.$

Связанные дистрибутивы

• Распределение является частным случаем свернутого нормального распределения с µ = 0.
• Оно также совпадает с нормальным распределением с нулевым средним, усеченным снизу до нуля (см. усеченное нормальное распределение )
• Если Y имеет полунормальное распределение, то ( Y / σ ) ² имеет распределение хи-квадрат с 1 степенью свободы, т.е. Y / σ имеет распределение хи с 1 степенью свободы.
• Полунормальное распределение является частным случаем обобщенного гамма-распределения с d = 1, p = 2, a = ${\sqrt {2}}\sigma$.
• Если Y имеет полунормальное распределение, Y ^-2 имеет распределение Леви
• Распределение Рэлея представляет собой масштабированное обобщение полунормального распределения с наклоном по моменту.
• Модифицированное полунормальное распределение с PDF-файлом на $(0,\infty )$ дается как $f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}$, где $\Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)$ обозначает Пси-функцию Фокса–Райта .

См. также

• половинного t Распределение
• Усеченное нормальное распределение
• Свернутое нормальное распределение
• Выпрямленное распределение Гаусса

Дальнейшее чтение

• Леоне, ФК; Нельсон, Л.С.; Ноттингем, РБ (1961), «Свернутое нормальное распределение», Technometrics , 3 (4): 543–550, doi : 10.2307/1266560 , hdl : 2027/mdp.39015095248541 , JSTOR   1266560

Внешние ссылки

• Полунормальное распределение в MathWorld

(обратите внимание, что MathWorld использует параметр $\theta ={\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\pi /2}}$