Дискретное распределение Вейбулла

Дискретный Вейбулл

Параметры	$\alpha >0$ шкала $\beta >0$ форма
Поддерживать	$x\in \{0,1,2,\ldots \}$
ПМФ	$\exp \left[-\left({\frac {x}{\alpha }}\right)^{\beta }\right]-\exp \left[-\left({\frac {x+1}{\alpha }}\right)^{\beta }\right]$
CDF	$1-\exp \left[-\left({\frac {x+1}{\alpha }}\right)^{\beta }\right]$

В теории вероятностей и статистике дискретное распределение Вейбулла является дискретным вариантом распределения Вейбулла . Дискретное распределение Вейбулла, впервые представленное Тосио Накагавой и Сюндзи Осаки, представляет собой дискретный аналог непрерывного распределения Вейбулла, преимущественно используемого в технике надежности. Это особенно применимо для моделирования данных об отказах, измеряемых в дискретных единицах, таких как циклы или удары. Это распределение представляет собой универсальный инструмент для анализа сценариев, в которых время событий рассчитывается через определенные интервалы, что делает его особенно полезным в областях, связанных с дискретными шаблонами данных и анализом надежности.

Альтернативные параметризации

В оригинальной статье Накагавы и Осаки они использовали параметризацию $p=q^{k^{-\beta }}$ составление кумулятивной функции распределения $1-q^{(x+1)^{\beta }}$

CDF дискретного распределения Вейбулла со значением aq 0,5 и значениями k от 1 до 5. Значения B следующие: красный = 0,5, зеленый = 1,0, синий = 1,5, фиолетовый = 2,0, оранжевый = 2,5.

с $q\in (0,1)$ и функция массы вероятности $q^{k^{-\beta }}-q^{(k+1)^{\beta }}$

PMF дискретного распределения Вейбулла со значением aq 0,5 и значениями k от 1 до 5. Значения B следующие: красный = 0,5, зеленый = 1,0, синий = 1,5, фиолетовый = 2,0, оранжевый = 2,5.

. Параметр $\beta =1$ делает связь с геометрическим распределением очевидной.

Альтернативная параметризация, связанная с распределением Парето , использовалась для оценки параметров при моделировании инфекционных заболеваний . Эта параметризация вводит параметр $\kappa ={\frac {\beta }{\alpha ^{\beta }}}$, что означает, что термин $\left({\frac {1}{\alpha }}\right)^{\beta }$ можно заменить на ${\frac {\kappa }{\beta }}$. Следовательно, функцию массы вероятности можно выразить как

$\exp \left[-{\frac {\kappa x^{\beta }}{\beta }}\right]-\exp \left[-{\frac {\kappa \left(x+1\right)^{\beta }}{\beta }}\right]$,

а кумулятивную функцию масс можно выразить как

$1-\exp \left[-{\frac {\kappa \left(x+1\right)^{\beta }}{\beta }}\right]$.

Преобразование в масштабе местоположения

Непрерывное распределение Вейбулла тесно связано с распределением Гамбеля , что легко увидеть при логарифмическом преобразовании переменной. Аналогичное преобразование можно сделать и на дискретном Вейбулле.

Определять $e^{Y}-1=X$ где (нетрадиционно) $Y=\log(X+1)\in \{\log(1),\log(2),\ldots \}$ и определить параметры $\mu =\log(\alpha )$ и $\sigma ={\frac {1}{\beta }}$. Заменив $x$ в кумулятивной функции масс:

$\Pr(X\leq x)=\Pr(X\leq e^{y}-1).$

Мы видим, что получаем параметризацию в масштабе местоположения:

$=1-\exp \left[-\left({\frac {x+1}{\alpha }}\right)^{\beta }\right]=1-\exp \left[-\left({\frac {e^{y}}{e^{\mu }}}\right)^{\frac {1}{\sigma }}\right]=1-\exp \left[-\exp \left[{\frac {y-\mu }{\sigma }}\right]\right]$

что в настройках оценки имеет большой смысл. Это открывает возможность регрессии с помощью структур, разработанных для регрессии Вейбулла и теории экстремальных значений.

Сравнение с другими дискретными распределениями

Дискретное распределение Вейбулла можно сравнить с другими распространенными дискретными распределениями, такими как распределения Пуассона, геометрические и отрицательные биномиальные распределения, каждое из которых имеет уникальные характеристики и приложения.

Дискретное распределение Вейбулла и распределение Пуассона: Распределение Пуассона часто используется для моделирования количества редких событий в течение фиксированного периода времени. Он характеризуется единственным параметром λ, который является одновременно средним значением и дисперсией распределения. С другой стороны, дискретное распределение Вейбулла более гибко и может обрабатывать как избыточную, так и недостаточную дисперсию данных подсчета. Он имеет два параметра q и β, которые влияют на форму и масштаб распределения. В отличие от распределения Пуассона, которое предполагает, что события происходят независимо, дискретное распределение Вейбулла может адаптироваться к различным закономерностям возникновения событий.

Дискретное распределение Вейбулла против геометрического распределения: Геометрическое распределение моделирует вероятность первого успеха в последовательности испытаний Бернулли и характеризуется одним параметром p, который представляет собой вероятность успеха в отдельном испытании. Напротив, дискретное распределение Вейбулла может моделировать более широкий диапазон шаблонов данных благодаря двум своим параметрам. Хотя геометрическое распределение предназначено специально для моделирования количества попыток до первого успеха, дискретное распределение Вейбулла можно использовать в более широком спектре сценариев, включая те, где вероятность успеха меняется в зависимости от испытания.

Дискретное распределение Вейбулла против отрицательного биномиального распределения: Отрицательное биномиальное распределение используется для моделирования количества испытаний Бернулли, необходимых для достижения определенного количества успехов. Он характеризуется вероятностью успеха и количеством успехов. Дискретное распределение Вейбулла, обладающее гибкостью в моделировании различных шаблонов данных, может лучше подходить для данных, которые не соответствуют конкретному сценарию, смоделированному отрицательным биномиальным распределением.

В целом дискретное распределение Вейбулла предпочтительнее этих альтернатив при работе с данными, которые демонстрируют изменчивость дисперсии (чрезмерная или недостаточная дисперсия) или когда структуры данных не соответствуют конкретным сценариям, для которых лучше всего подходят пуассоновское, геометрическое или отрицательное биномиальное распределения. для. Его адаптивность с точки зрения формы и масштаба делает его универсальным инструментом статистического моделирования дискретных данных.

Приложения

Дискретное распределение Вейбулла находит разнообразные применения в статистическом анализе, о чем свидетельствуют различные научные статьи. Одна из таких статей иллюстрирует полезность распределения при моделировании данных подсчета, особенно в контексте планов рождаемости. В этом исследовании показано, как дискретное распределение Вейбулла эффективно отражает сложные отношения, на которые влияют такие факторы, как образование и семейное происхождение. В отличие от распределения Пуассона, оно умело управляет как сверхдисперсными, так и недостаточнодисперсными данными, демонстрируя свою гибкость и эффективность в исследованиях в области социальных наук. Это приложение знаменует собой значительное расширение использования дистрибутива за пределы его традиционной роли в обеспечении надежности.

В дальнейшем расширяя сферу применения, книга «О двумерном дискретном распределении Вейбулла» исследует применение дискретного распределения Вейбулла для двумерных данных. В статье рассматриваются сложные статистические методы, включая оценку максимального правдоподобия и байесовский вывод, для анализа двумерных дискретных данных. Это исследование подчеркивает совместимость распределения со сложными статистическими методами. Кроме того, в документе представлены сценарии практического анализа, такие как изучение результатов футбольных матчей и степени тяжести выделений из носа, что подчеркивает широкую применимость распределения в различных областях. Эти примеры подчеркивают практичность дистрибутива в реальных ситуациях, выходя за рамки простых теоретических конструкций.

Еще одно значительное достижение представлено в «Показательном дискретном распределении Вейбулла», которое представляет расширенную версию распределения, называемую возведенным в степень дискретным распределением Вейбулла (EDW). Такое обобщение увеличивает гибкость модели, позволяя ей представлять более широкий спектр шаблонов данных, включая различные функции уровня опасности, такие как возрастание, уменьшение, функция в форме ванны и перевернутая ванна. Способность распределения EDW моделировать как сверхдисперсные, так и недостаточнодисперсные данные по сравнению с распределением Пуассона расширяет его применимость. Он оказался универсальным инструментом для различных областей, включая проектирование надежности и исследование времени отказов, что еще больше расширяет практическую полезность распределения.

См. также

• Распределение Вейбулла
• Геометрическое распределение
• q-распределение Вейбулла