Прошлое гауссово распределение

κ - Гауссово распределение

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$0<\kappa <1$ форма ( настоящая ) $\beta >0$ ставка ( реальная )
Поддерживать	$x\in \mathbb {R}$
PDF	$Z_{\kappa }\exp _{\kappa }(-\beta x^{2})\,\,\,;\,\,\,Z_{\kappa }={\sqrt {\frac {2\beta \kappa }{\pi }}}{\Bigg (}1+{\frac {1}{2}}\kappa {\Bigg )}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{4}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{4}}{\Big )}}}$
CDF	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\textrm {erf}}_{\kappa }{\big (}{\sqrt {\beta }}x{\big )}\$
Иметь в виду	$0$
медиана	$0$
Режим	$0$
Дисперсия	$\sigma _{\kappa }^{2}={\frac {1}{\beta }}{\frac {2+\kappa }{2-\kappa }}{\frac {4\kappa }{4-9\kappa ^{2}}}\left[{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{4}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{4}}{\Big )}}}\right]^{2}$
асимметрия	$0$
Избыточный эксцесс	$3\left[{\frac {{\sqrt {\pi }}Z_{\kappa }}{2\beta ^{2/3}\sigma _{\kappa }^{4}}}{\frac {(2\kappa )^{-5/2}}{1+{\frac {5}{2}}\kappa }}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {5}{4}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {5}{4}}\right)}}-1\right]$

( Распределение Гаусса Каниадакиса также известное как κ -распределение Гаусса) представляет собой распределение вероятностей , которое возникает как обобщение распределения Гаусса в результате максимизации энтропии Каниадакиса при соответствующих ограничениях. Это один из примеров κ -распределения Каниадакиса. Распределение κ-Гаусса успешно применялось для описания нескольких сложных систем в экономике. геофизика, астрофизика и многие другие.

κ-Гауссово распределение является частным случаем κ-обобщенного гамма-распределения .

Определения

Функция плотности вероятности

Общий вид центрированной κ -гауссовской функции плотности вероятности Каниадакиса:

$f_{_{\kappa }}(x)=Z_{\kappa }\exp _{\kappa }(-\beta x^{2})$

где $|\kappa |<1$ — индекс энтропии, связанный с энтропией Каниадакиса , $\beta >0$ - параметр масштаба, а

$Z_{\kappa }={\sqrt {\frac {2\beta \kappa }{\pi }}}{\Bigg (}1+{\frac {1}{2}}\kappa {\Bigg )}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{4}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{4}}{\Big )}}}$

– константа нормализации.

Стандартное нормальное распределение восстанавливается в пределе $\kappa \rightarrow 0.$

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения -гауссова распределения κ определяется выражением

$F_{\kappa }(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\textrm {erf}}_{\kappa }{\big (}{\sqrt {\beta }}x{\big )}$

где

${\textrm {erf}}_{\kappa }(x)={\Big (}2+\kappa {\Big )}{\sqrt {\frac {2\kappa }{\pi }}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{4}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{4}}{\Big )}}}\int _{0}^{x}\exp _{\kappa }(-t^{2})dt$

- функция Каниадакиса κ -Error, которая является обобщением обычной функции ошибки. ${\textrm {erf}}(x)$ как $\kappa \rightarrow 0$.

Характеристики

Моменты, среднее значение и дисперсия

Центрированное κ -гауссово распределение имеет момент нечетного порядка, равный нулю, включая среднее.

Дисперсия конечна для $\kappa <2/3$ и дается:

$\operatorname {Var} [X]=\sigma _{\kappa }^{2}={\frac {1}{\beta }}{\frac {2+\kappa }{2-\kappa }}{\frac {4\kappa }{4-9\kappa ^{2}}}\left[{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{4}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{4}}\right)}}\right]^{2}$

Куртозис

Эксцесс -гауссова распределения можно центрированного κ вычислить следующим образом:

$\operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[{\frac {X^{4}}{\sigma _{\kappa }^{4}}}\right]$

который можно записать как

$\operatorname {Kurt} [X]={\frac {2Z_{\kappa }}{\sigma _{\kappa }^{4}}}\int _{0}^{\infty }x^{4}\,\exp _{\kappa }\left(-\beta x^{2}\right)dx$

Таким образом, эксцесс центрированного κ -гауссова распределения определяется выражением:

$\operatorname {Kurt} [X]={\frac {3{\sqrt {\pi }}Z_{\kappa }}{2\beta ^{2/3}\sigma _{\kappa }^{4}}}{\frac {|2\kappa |^{-5/2}}{1+{\frac {5}{2}}|\kappa |}}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{|2\kappa |}}-{\frac {5}{4}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{|2\kappa |}}+{\frac {5}{4}}\right)}}$

или

$\operatorname {Kurt} [X]={\frac {3\beta ^{11/6}{\sqrt {2\kappa }}}{2}}{\frac {|2\kappa |^{-5/2}}{1+{\frac {5}{2}}|\kappa |}}{\Bigg (}1+{\frac {1}{2}}\kappa {\Bigg )}\left({\frac {2-\kappa }{2+\kappa }}\right)^{2}\left({\frac {4-9\kappa ^{2}}{4\kappa }}\right)^{2}\left[{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{4}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{4}}{\Big )}}}\right]^{3}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{|2\kappa |}}-{\frac {5}{4}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{|2\kappa |}}+{\frac {5}{4}}\right)}}$

κ-функция ошибки

κ-функция ошибки
График функции κ-ошибок для типичных значений κ. Случай κ=0 соответствует обычной функции ошибок.
Общая информация
Общее определение	$\operatorname {erf} _{\kappa }(x)={\Big (}2+\kappa {\Big )}{\sqrt {\frac {2\kappa }{\pi }}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{4}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{4}}{\Big )}}}\int _{0}^{x}\exp _{\kappa }(-t^{2})dt$
Области применения	Вероятность, термодинамика
Домен, кодомен и изображение
Домен	$\mathbb {C}$
Изображение	$\left(-1,1\right)$
Особенности
Корень	$0$
Производная	${\frac {d}{dx}}\operatorname {erf} _{\kappa }(x)=\left(2+\kappa \right){\sqrt {\frac {2\kappa }{\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{4}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{4}}\right)}}\exp _{\kappa }(-x^{2})$

Функция Каниадакиса κ -Error (или κ -Error function ) представляет собой однопараметрическое обобщение обычной функции ошибки, определяемой как:

$\operatorname {erf} _{\kappa }(x)={\Big (}2+\kappa {\Big )}{\sqrt {\frac {2\kappa }{\pi }}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{4}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{4}}{\Big )}}}\int _{0}^{x}\exp _{\kappa }(-t^{2})dt$

Хотя функцию ошибок нельзя выразить через элементарные функции, обычно используются численные приближения.

Для случайной величины X, распределенной согласно κ-распределению Гаусса со средним значением 0 и стандартным отклонением ${\sqrt {\beta }}$, κ-функция ошибки означает вероятность того, что X попадает в интервал $[-x,\,x]$.

Приложения

Распределение κ -Гаусса применялось в нескольких областях, таких как:

• В экономике κ-гауссово распределение применялось при анализе финансовых моделей , точно отражающих динамику процессов экстремального изменения цен на акции .
• В обратных задачах законы ошибок в экстремальной статистике надежно представлены κ-гауссовскими распределениями.
• В астрофизике данные об остаточных лучевых скоростях звезд имеют статистическое распределение гауссовского типа, в котором индекс K демонстрирует сильную связь с возрастом звездных скоплений.
• В ядерной физике исследование функции доплеровского уширения в ядерных реакторах хорошо описывается κ-гауссовым распределением для анализа взаимодействия нейтрон-ядро.
• В космологии — за интерпретацию динамической эволюции Вселенной Фридмана–Робертсона–Уокера .
• В физике плазмы для анализа распределения электронов в электронно-акустических двойных слоях. и дисперсия ленгмюровских волн .

См. также

• Джорджио Каниадакис
• Текущая статистика
• Распространение Каниадакиса
• κ-Экспоненциальное распределение Каниадакиса
• κ-гамма-распределение Каниадакиса
• Распределение Каниадакиса κ-Вейбулла
• Каниадакис κ-Логистическое распределение
• Распределение Кианадакиса κ-Эрланга

Внешние ссылки

• Статистика Каниадакиса на arXiv.org