Распространение Кианадакиса Эрланга

κ - Распределение Эрланга

Функция плотности вероятности График распределения κ-Эрланга для типичных значений κ и n=1, 2,3. Случай κ=0 соответствует обычному распределению Эрланга.
Параметры	$0\leq \kappa <1$ $n={\textrm {positive}}\,\,{\textrm {integer}}$
Поддерживать	$x\in [0,+\infty )$
PDF	$\prod _{m=0}^{n}\left[1+(2m-n)\kappa \right]{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}\exp _{\kappa }(-x)$
CDF	${\frac {1}{(n-1)!}}\prod _{m=0}^{n}\left[1+(2m-n)\kappa \right]\int _{0}^{x}z^{n-1}\exp _{\kappa }(-z)dz$

Распределение Каниадакиса Эрланга (или κ-Гамма-распределение Эрланга ) — семейство непрерывных статистических распределений , которое является частным случаем κ-Гамма-распределения , когда $\alpha =1$ и $\nu =n=$ положительное целое число. Первым членом этого семейства является κ-экспоненциальное распределение типа I. κ-Эрланга представляет собой κ-деформированную версию распределения Эрланга . Это один из примеров распределения Каниадакиса .

Характеристика

Функция плотности вероятности

Распределение Каниадакиса κ -Эрланга имеет следующую функцию плотности вероятности :

$f_{_{\kappa }}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\prod _{m=0}^{n}\left[1+(2m-n)\kappa \right]x^{n-1}\exp _{\kappa }(-x)$

действителен для $x\geq 0$ и $n={\textrm {positive}}\,\,{\textrm {integer}}$, где $0\leq |\kappa |<1$ — индекс энтропии, связанный с энтропией Каниадакиса .

Обычное распределение Erlang восстанавливается как $\kappa \rightarrow 0$.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная распределения функция κ -распределения Эрланга принимает вид:

$F_{\kappa }(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\prod _{m=0}^{n}\left[1+(2m-n)\kappa \right]\int _{0}^{x}z^{n-1}\exp _{\kappa }(-z)dz$

действителен для $x\geq 0$, где $0\leq |\kappa |<1$. Кумулятивное распределение Эрланга восстанавливается в классическом пределе $\kappa \rightarrow 0$.

Распределение выживания и функции опасности

Функция выживания распределения κ -Эрланга определяется выражением:

$S_{\kappa }(x)=1-{\frac {1}{(n-1)!}}\prod _{m=0}^{n}\left[1+(2m-n)\kappa \right]\int _{0}^{x}z^{n-1}\exp _{\kappa }(-z)dz$

Функция выживания κ -распределения Эрланга позволяет определить функции риска в замкнутой форме посредством решения κ -скоростного уравнения:

${\frac {S_{\kappa }(x)}{dx}}=-h_{\kappa }S_{\kappa }(x)$

где $h_{\kappa }$ – функция опасности.

Семейное распределение

Семейство κ -распределений возникает из κ -распределения Эрланга, каждое из которых связано с определенным значением $n$, действителен для $x\geq 0$ и $0\leq |\kappa |<1$. Такие члены определяются из кумулятивного распределения κ -Эрланга, которое можно переписать как:

$F_{\kappa }(x)=1-\left[R_{\kappa }(x)+Q_{\kappa }(x){\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}\right]\exp _{\kappa }(-x)$

где

$Q_{\kappa }(x)=N_{\kappa }\sum _{m=0}^{n-3}\left(m+1\right)c_{m+1}x^{m}+{\frac {N_{\kappa }}{1-n^{2}\kappa ^{2}}}x^{n-1}$

$R_{\kappa }(x)=N_{\kappa }\sum _{m=0}^{n}c_{m}x^{m}$

с

$N_{\kappa }={\frac {1}{(n-1)!}}\prod _{m=0}^{n}\left[1+(2m-n)\kappa \right]$

$c_{n}={\frac {n\kappa ^{2}}{1-n^{2}\kappa ^{2}}}$

$c_{n-1}=0$

$c_{n-2}={\frac {n-1}{(1-n^{2}\kappa ^{2})[1-(n-2)^{2}\kappa ^{2}]}}$

$c_{m}={\frac {(m+1)(m+2)}{1-m^{2}\kappa ^{2}}}c_{m+2}\quad {\textrm {for}}\quad 0\leq m\leq n-3$

Первый участник

Первый участник ( $n=1$) семейства κ -Эрланга представляет собой κ -Экспоненциальное распределение типа I, в котором функция плотности вероятности и кумулятивная функция распределения определяются как:

$f_{_{\kappa }}(x)=(1-\kappa ^{2})\exp _{\kappa }(-x)$

$F_{\kappa }(x)=1-{\Big (}{\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}+\kappa ^{2}x{\Big )}\exp _{k}({-x)}$

Второй участник

Второй участник ( $n=2$) семейства κ -Эрланга имеет функцию плотности вероятности и кумулятивную функцию распределения, определяемую как:

$f_{_{\kappa }}(x)=(1-4\kappa ^{2})\,x\,\exp _{\kappa }(-x)$

$F_{\kappa }(x)=1-\left(2\kappa ^{2}x^{2}+1+x{\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}\right)\exp _{k}({-x)}$

Третий участник

Второй участник ( $n=3$) имеет функцию плотности вероятности и кумулятивную функцию распределения, определяемую как:

$f_{_{\kappa }}(x)={\frac {1}{2}}(1-\kappa ^{2})(1-9\kappa ^{2})\,x^{2}\,\exp _{\kappa }(-x)$

$F_{\kappa }(x)=1-\left\{{\frac {3}{2}}\kappa ^{2}(1-\kappa ^{2})x^{3}+x+\left[1+{\frac {1}{2}}(1-\kappa ^{2})x^{2}\right]{\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}\right\}\exp _{\kappa }(-x)$

Связанные дистрибутивы

• κ - Экспоненциальное распределение типа I является частным случаем κ -распределения Эрланга, когда $n=1$;
• Распределение κ -Эрланга соответствует обычному экспоненциальному распределению, когда $\kappa =0$ и $n=1$;

См. также

• Джорджио Каниадакис
• Текущая статистика
• Распространение Каниадакиса
• κ-Экспоненциальное распределение Каниадакиса
• κ-гауссово распределение Каниадакиса
• κ-гамма-распределение Каниадакиса
• Распределение Каниадакиса κ-Вейбулла
• Каниадакис κ-Логистическое распределение

Внешние ссылки

• Статистика Каниадакиса на arXiv.org