Завернутое распределение Леви

В теории вероятностей и направленной статистике завернутое распределение Леви — это завернутое распределение вероятностей , возникающее в результате «обертывания» распределения Леви вокруг единичного круга .

Описание

PDF-файл завернутого дистрибутива Леви :

$f_{WL}(\theta ;\mu ,c)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-c/2(\theta +2\pi n-\mu )}}{(\theta +2\pi n-\mu )^{3/2}}}$

где значение слагаемого считается равным нулю, когда $\theta +2\pi n-\mu \leq 0$, $c$ масштабный коэффициент и $\mu$ это параметр местоположения. Выразив приведенный выше PDF-файл через характеристическую функцию распределения Леви, получим:

$f_{WL}(\theta ;\mu ,c)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-in(\theta -\mu )-{\sqrt {c|n|}}\,(1-i\operatorname {sgn} {n})}={\frac {1}{2\pi }}\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }e^{-{\sqrt {cn}}}\cos \left(n(\theta -\mu )-{\sqrt {cn}}\,\right)\right)$

В терминах круговой переменной $z=e^{i\theta }$ круговые моменты завернутого распределения Леви являются характеристической функцией распределения Леви, оцениваемой с целочисленными аргументами:

$\langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }e^{in\theta }\,f_{WL}(\theta ;\mu ,c)\,d\theta =e^{in\mu -{\sqrt {c|n|}}\,(1-i\operatorname {sgn}(n))}.$

где $\Gamma \,$ это некоторый интервал длины $2\pi$. Тогда первый момент — это математическое ожидание z , также известное как средний результирующий или средний результирующий вектор:

$\langle z\rangle =e^{i\mu -{\sqrt {c}}(1-i)}$

Средний угол

$\theta _{\mu }=\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\mu +{\sqrt {c}}$

а длина среднего результата равна

$R=|\langle z\rangle |=e^{-{\sqrt {c}}}$

См. также

• Завернутое распространение
• Направленная статистика

Ссылки

• Фишер, Нью-Йорк (1996). Статистический анализ круговых данных . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-56890-6 . Проверено 9 февраля 2010 г.