Обернутое асимметричное распределение Лапласа

Обернутое асимметричное распределение Лапласа

Функция плотности вероятности Обернутая асимметричная PDF Лапласа с m = 0. Обратите внимание, что кривые κ = 2 и 1/2 являются зеркальным отображением θ = π.
Параметры	$m$ расположение $(0\leq m<2\pi )$ $\lambda >0$ масштаб (реальный) $\kappa >0$ асимметрия (реальная)
Поддерживать	$0\leq \theta <2\pi$
PDF	(см. статью)
Иметь в виду	$m$ (круговой)
Дисперсия	$1-{\frac {\lambda ^{2}}{\sqrt {\left({\frac {1}{\kappa ^{2}}}+\lambda ^{2}\right)\left(\kappa ^{2}+\lambda ^{2}\right)}}}$ (круговой)
CF	${\frac {\lambda ^{2}e^{imn}}{\left(n-i\lambda /\kappa \right)\left(n+i\lambda \kappa \right)}}$

В теории вероятностей и направленной статистике — обернутое асимметричное распределение Лапласа это обернутое распределение вероятностей , возникающее в результате «обертывания» асимметричного распределения Лапласа вокруг единичного круга . Для симметричного случая (параметр асимметрии κ = 1) распределение становится обернутым распределением Лапласа. Распределение отношения двух круговых переменных ( Z ) из двух разных завернутых экспоненциальных распределений будет иметь завернутое асимметричное распределение Лапласа. Эти распределения находят применение в стохастическом моделировании финансовых данных.

Определение

Функция плотности вероятности завернутого асимметричного распределения Лапласа:

${\begin{aligned}f_{WAL}(\theta ;m,\lambda ,\kappa )&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f_{AL}(\theta +2\pi k,m,\lambda ,\kappa )\\[10pt]&={\dfrac {\kappa \lambda }{\kappa ^{2}+1}}{\begin{cases}{\dfrac {e^{-(\theta -m)\lambda \kappa }}{1-e^{-2\pi \lambda \kappa }}}-{\dfrac {e^{(\theta -m)\lambda /\kappa }}{1-e^{2\pi \lambda /\kappa }}}&{\text{if }}\theta \geq m\\[12pt]{\dfrac {e^{-(\theta -m)\lambda \kappa }}{e^{2\pi \lambda \kappa }-1}}-{\dfrac {e^{(\theta -m)\lambda /\kappa }}{e^{-2\pi \lambda /\kappa }-1}}&{\text{if }}\theta <m\end{cases}}\end{aligned}}$

где $f_{AL}$ – асимметричное распределение Лапласа . Угловой параметр ограничен $0\leq \theta <2\pi$. Параметр масштаба $\lambda >0$ который является параметром масштаба развернутого распределения и $\kappa >0$ — параметр асимметрии развернутого распределения.

Кумулятивная функция распределения $F_{WAL}$ поэтому:

$F_{WAL}(\theta ;m,\lambda ,\kappa )={\dfrac {\kappa \lambda }{\kappa ^{2}+1}}{\begin{cases}{\dfrac {e^{m\lambda \kappa }(1-e^{-\theta \lambda \kappa })}{\lambda \kappa (e^{2\pi \lambda \kappa }-1)}}+{\dfrac {\kappa e^{-m\lambda /\kappa }(1-e^{\theta \lambda /\kappa })}{\lambda (e^{-2\pi \lambda /\kappa }-1)}}&{\text{if }}\theta \leq m\\{\dfrac {1-e^{-(\theta -m)\lambda \kappa }}{\lambda \kappa (1-e^{-2\pi \lambda \kappa })}}+{\dfrac {\kappa (1-e^{(\theta -m)\lambda /\kappa })}{\lambda (1-e^{2\pi \lambda /\kappa })}}+{\dfrac {e^{m\lambda \kappa }-1}{\lambda \kappa (e^{2\pi \lambda \kappa }-1)}}+{\dfrac {\kappa (e^{-m\lambda /\kappa }-1)}{\lambda (e^{-2\pi \lambda /\kappa }-1)}}&{\text{if }}\theta >m\end{cases}}$

Характеристическая функция

Характеристическая функция завернутого асимметричного Лапласа — это просто характеристическая функция асимметричной функции Лапласа, вычисляемая с целочисленными аргументами:

$\varphi _{n}(m,\lambda ,\kappa )={\frac {\lambda ^{2}e^{imn}}{\left(n-i\lambda /\kappa \right)\left(n+i\lambda \kappa \right)}}$

что дает альтернативное выражение для обернутой асимметричной PDF-файла Лапласа в терминах круговой переменной z=e ^{я (θ-м)} справедливо для всех действительных θ и m :

${\begin{aligned}f_{WAL}(z;m,\lambda ,\kappa )&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\varphi _{n}(0,\lambda ,\kappa )z^{-n}\\[10pt]&={\frac {\lambda }{\pi (\kappa +1/\kappa )}}{\begin{cases}{\textrm {Im}}\left(\Phi (z,1,-i\lambda \kappa )-\Phi \left(z,1,i\lambda /\kappa \right)\right)-{\frac {1}{2\pi }}&{\text{if }}z\neq 1\\[12pt]\coth(\pi \lambda \kappa )+\coth(\pi \lambda /\kappa )&{\text{if }}z=1\end{cases}}\end{aligned}}$

где $\Phi ()$ — трансцендентная функция Лерха , а coth() — гиперболическая функция котангенса .

Круговые моменты

В терминах круговой переменной $z=e^{i\theta }$ круговые моменты завернутого асимметричного распределения Лапласа являются характеристической функцией асимметричного распределения Лапласа, оцениваемой с целочисленными аргументами:

$\langle z^{n}\rangle =\varphi _{n}(m,\lambda ,\kappa )$

Тогда первый момент представляет собой среднее значение z , также известное как средний результирующий или средний результирующий вектор:

$\langle z\rangle ={\frac {\lambda ^{2}e^{im}}{\left(1-i\lambda /\kappa \right)\left(1+i\lambda \kappa \right)}}$

Средний угол $(-\pi \leq \langle \theta \rangle \leq \pi )$

$\langle \theta \rangle =\arg(\,\langle z\rangle \,)=\arg(e^{im})$

а длина среднего результата равна

$R=|\langle z\rangle |={\frac {\lambda ^{2}}{\sqrt {\left({\frac {1}{\kappa ^{2}}}+\lambda ^{2}\right)\left(\kappa ^{2}+\lambda ^{2}\right)}}}.$

Тогда круговая дисперсия равна 1 − R

Генерация случайных величин

Если X — случайная величина, полученная из асимметричного распределения Лапласа (ALD), то $Z=e^{iX}$ будет круговым вариантом, полученным из обернутого ALD, и $\theta =\arg(Z)+\pi$ будет угловой вариацией, полученной из обернутого ALD с помощью $0<\theta \leq 2\pi$.

Поскольку ALD представляет собой распределение разности двух переменных, взятых из экспоненциального распределения , из этого следует, что если Z ₁ взято из завернутого экспоненциального распределения со средним значением m ₁ и скоростью λ/κ , а Z ₂ взято из завернутого экспоненциального распределения со средним значением m ₂ и скоростью λκ , то Z ₁ / Z ₂ будет круговой переменной, полученной из обернутого ALD с параметрами ( m ₁ - m ₂ , λ, κ) и $\theta =\arg(Z_{1}/Z_{2})+\pi$ будет угловой вариацией, взятой из обернутого ALD с помощью $-\pi <\theta \leq \pi$.

См. также

• Завернутое распространение
• Направленная статистика