Сингулярное распределение

В теории вероятности сингулярное распределение — это распределение вероятностей, сосредоточенное на множестве нулевой меры Лебега , где вероятность каждой точки в этом наборе равна нулю.

Другие имена

иногда называют сингулярными непрерывными распределениями , поскольку их кумулятивные функции распределения сингулярны непрерывны и Эти распределения .

Характеристики

Такие распределения не являются абсолютно непрерывными относительно меры Лебега .

Сингулярное распределение не является дискретным распределением вероятностей , поскольку каждая дискретная точка имеет нулевую вероятность. С другой стороны, она также не имеет функции плотности вероятности , поскольку интеграл Лебега любой такой функции был бы равен нулю.

В общем, распределения могут быть описаны как дискретное распределение (с функцией массы вероятности), абсолютно непрерывное распределение (с плотностью вероятности), сингулярное распределение (без ни того, ни другого) или могут быть разложены на их смесь.

Пример

Примером является распределение Кантора ; его кумулятивная функция распределения — это чертова лестница . Менее любопытные примеры появляются в более высоких измерениях. Например, верхняя и нижняя границы Фреше – Хефдинга представляют собой сингулярные распределения в двух измерениях.