Логарифмическое распределение

логарифмический

Функция массы вероятности Plot of the logarithmic PMF Функция определяется только для целочисленных значений. Соединяющие линии — это всего лишь ориентиры для глаз.
Кумулятивная функция распределения Plot of the logarithmic CDF
Параметры	$0<p<1$
Поддерживать	$k\in \{1,2,3,\ldots \}$
ПМФ	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}{k}}$
CDF	$1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}$
Иметь в виду	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}}$
Режим	$1$
Дисперсия	$-{\frac {p^{2}+p\ln(1-p)}{(1-p)^{2}(\ln(1-p))^{2}}}$
МГФ	${\frac {\ln(1-pe^{t})}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}t<-\ln p$
CF	${\frac {\ln(1-pe^{it})}{\ln(1-p)}}$
ПГФ	${\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}|z|<{\frac {1}{p}}$

В теории вероятностей и статистике логарифмическое распределение (также известное как распределение логарифмического ряда или распределение логарифмического ряда ) представляет собой дискретное распределение вероятностей, полученное из в ряд Маклорена. разложения

$-\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .$

Отсюда получаем тождество

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.$

Это приводит непосредственно к функции массы вероятности логарифмической ( p )-распределенной случайной величины :

$f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}$

для k ≥ 1 и где 0 < p <1. Ввиду приведенного выше тождества распределение правильно нормализовано.

Кумулятивная функция распределения равна

$F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}$

где B — неполная бета-функция .

Пуассон, составленный со Log( p случайными величинами, распределенными по ), имеет отрицательное биномиальное распределение . Другими словами, если N — случайная величина с распределением Пуассона , а X _i , i = 1, 2, 3, ... — бесконечная последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, каждая из которых имеет распределение Log( p ), то

$\sum _{i=1}^{N}X_{i}$

имеет отрицательное биномиальное распределение. Таким образом, отрицательное биномиальное распределение рассматривается как составное распределение Пуассона .

Р. А. Фишер описал логарифмическое распределение в статье, которая использовала его для моделирования относительной численности видов .

См. также

• Распределение Пуассона (также полученное из ряда Маклорена)

Дальнейшее чтение

• Джонсон, Норман Ллойд; Кемп, Эдриенн В.; Коц, Сэмюэл (2005). «Глава 7: Логарифмические и лагранжевы распределения». Одномерные дискретные распределения (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-27246-5 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Распределение журнальных рядов» . Математический мир .