Бета-функция

Эта статья о бета-функции Эйлера. Чтобы узнать о других значениях, см. Бета-функция (значения) .

Контурный график бета-функции

В математике бета -функция , также называемая интегралом Эйлера первого рода, представляет собой специальную функцию , тесно связанную с гамма-функцией и биномиальными коэффициентами . Он определяется интегралом

$\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt$

для комплексных чисел ввода $z_{1},z_{2}$ такой, что $\Re (z_{1}),\Re (z_{2})>0$.

Бета-функция изучалась Леонардом Эйлером и Адриеном-Мари Лежандром, а свое имя ей дал Жак Бине ; его символ В — греческая заглавная бета .

Характеристики

Бета-функция симметрична , это означает, что $\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{2},z_{1})$ для всех входов $z_{1}$ и $z_{2}$.

Ключевым свойством бета-функции является ее тесная связь с гамма-функцией :

$\mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}$

Доказательство приведено ниже в § Связь с гамма-функцией .

Бета-функция также тесно связана с биномиальными коэффициентами . Когда m (или n по симметрии) является положительным целым числом, из определения гамма-функции Γ следует , что

$\mathrm {B} (m,n)={\frac {(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!}}={\frac {m+n}{mn}}{\Bigg /}{\binom {m+n}{m}}$

Связь с гамма-функцией

Простой вывод соотношения $\mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}$ можно найти в Эмиля Артина книге «Гамма-функция» , стр. 18–19. Чтобы получить это соотношение, запишите произведение двух факториалов в виде

${\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{z_{1}-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{z_{2}-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{z_{1}-1}v^{z_{2}-1}\,du\,dv.\end{aligned}}$

Заменяя переменные на u = st и v = s (1 − t ) , поскольку u + v = s и u / (u+v) = t , мы получаем, что пределы интегрирования для s равны от 0 до ∞, а пределы интегрирование для t от 0 до 1. Таким образом, получается

${\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{s=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-s}(st)^{z_{1}-1}(s(1-t))^{z_{2}-1}s\,dt\,ds\\[6pt]&=\int _{s=0}^{\infty }e^{-s}s^{z_{1}+z_{2}-1}\,ds\cdot \int _{t=0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt\\&=\Gamma (z_{1}+z_{2})\cdot \mathrm {B} (z_{1},z_{2}).\end{aligned}}$

Разделив обе части на $\Gamma (z_{1}+z_{2})$ дает желаемый результат.

Указанное тождество можно рассматривать как частный случай тождества интеграла свертки . принимая

${\begin{aligned}f(u)&:=e^{-u}u^{z_{1}-1}1_{\mathbb {R} _{+}}\\g(u)&:=e^{-u}u^{z_{2}-1}1_{\mathbb {R} _{+}},\end{aligned}}$

у одного есть:

$\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})=\int _{\mathbb {R} }f(u)\,du\cdot \int _{\mathbb {R} }g(u)\,du=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)\,du=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\,\Gamma (z_{1}+z_{2}).$

Дифференцирование бета-функции

У нас есть

${\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\left({\frac {\Gamma '(z_{1})}{\Gamma (z_{1})}}-{\frac {\Gamma '(z_{1}+z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}\right)=\mathrm {B} (z_{1},z_{2}){\big (}\psi (z_{1})-\psi (z_{1}+z_{2}){\big )},$

${\frac {\partial }{\partial z_{m}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\left(\psi (z_{m})-\psi \left(\sum _{k=1}^{n}z_{k}\right)\right),\quad 1\leq m\leq n,$

где $\psi (z)$ обозначает дигамма-функцию .

Приближение

Приближение Стирлинга дает асимптотическую формулу

$\mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}$

для больших x и больших y .

С другой стороны, если x велико, а y фиксировано, то

$\mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.$

Другие тождества и формулы

Интеграл, определяющий бета-функцию, можно переписать разными способами, включая следующие:

${\begin{aligned}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2z_{1}-1}(\cos \theta )^{2z_{2}-1}\,d\theta ,\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z_{1}-1}}{(1+t)^{z_{1}+z_{2}}}}\,dt,\\[6pt]&=n\int _{0}^{1}t^{nz_{1}-1}(1-t^{n})^{z_{2}-1}\,dt,\\&=(1-a)^{z_{2}}\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{z_{1}-1}t^{z_{2}-1}}{(1-at)^{z_{1}+z_{2}}}}dt\qquad {\text{for any }}a\in \mathbb {R} _{\leq 1},\end{aligned}}$

где в предпоследнем тождестве n — любое положительное действительное число. От первого интеграла ко второму можно перейти, подставив $t=\tan ^{2}(\theta )$.

Бета-функция может быть записана в виде бесконечной суммы

$\mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-x)_{n}}{(y+n)\,n!}}$

(где $(x)_{n}$ это возрастающий факториал )

и как бесконечный продукт

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}.$

Бета-функция удовлетворяет нескольким тождествам, аналогичным соответствующим тождествам для биномиальных коэффициентов, включая версию тождества Паскаля

$\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)$

и простая рекурсия по одной координате:

$\mathrm {B} (x+1,y)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}},\quad \mathrm {B} (x,y+1)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}}.$

Положительные целые значения бета-функции также являются частными производными двумерной функции: для всех неотрицательных целых чисел $m$ и $n$,

$\mathrm {B} (m+1,n+1)={\frac {\partial ^{m+n}h}{\partial a^{m}\,\partial b^{n}}}(0,0),$

где

$h(a,b)={\frac {e^{a}-e^{b}}{a-b}}.$

Из приведенного выше тождества Паскаля следует, что эта функция является решением уравнения в частных производных первого порядка

$h=h_{a}+h_{b}.$

Для $x,y\geq 1$, бета-функция может быть записана в виде свертки, включающей усеченную степенную функцию $t\mapsto t_{+}^{x}$:

$\mathrm {B} (x,y)\cdot \left(t\mapsto t_{+}^{x+y-1}\right)={\Big (}t\mapsto t_{+}^{x-1}{\Big )}*{\Big (}t\mapsto t_{+}^{y-1}{\Big )}$

Оценки в определенных точках могут значительно упроститься; например,

$\mathrm {B} (1,x)={\dfrac {1}{x}}$

и

$\mathrm {B} (x,1-x)={\dfrac {\pi }{\sin(\pi x)}},\qquad x\not \in \mathbb {Z}$

Взяв $x={\frac {1}{2}}$ из этой последней формулы следует, что $\Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}$.Обобщение этого до двумерного тождества для произведения бета-функций приводит к:

$\mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}.$

Интеграл Эйлера для бета-функции можно преобразовать в интеграл по контуру Похгаммера C как

$\left(1-e^{2\pi i\alpha }\right)\left(1-e^{2\pi i\beta }\right)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.$

Этот контурный интеграл Похгаммера сходится для всех значений α и β и, таким образом, дает аналитическое продолжение бета-функции.

Точно так же, как гамма-функция для целых чисел описывает факториалы , бета-функция может определять биномиальный коэффициент после корректировки индексов:

${\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\,\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.$

Более того, для целого числа n В значений можно факторизовать, чтобы получить интерполяционную функцию замкнутой формы для непрерывных k :

${\binom {n}{k}}=(-1)^{n}\,n!\cdot {\frac {\sin(\pi k)}{\pi \displaystyle \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.$

Обратная бета-функция

Обратная бета-функция — это функция вида

$f(x,y)={\frac {1}{\mathrm {B} (x,y)}}$

Интересно, что их интегральные представления тесно связаны как определенный интеграл тригонометрических функций с произведением ее степени и кратного угла :

$\int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \sin {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}$

$\int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}$

$\int _{0}^{\pi }\cos ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}$

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi }{2^{x}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}$

Неполная бета-функция

Неполная бета-функция , обобщение бета-функции, определяется как

$\mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.$

При x = 1 неполная бета-функция совпадает с полной бета-функцией. Отношения между двумя функциями аналогичны отношениям между гамма-функцией и ее обобщением — неполной гамма-функцией . Для натуральных чисел a и b неполная бета-функция будет многочленом степени a + b - 1 с рациональными коэффициентами.

Путем замены $t=\sin ^{2}\theta$ и $t={\frac {1}{1+s}}$, мы показываем это

$\mathrm {B} (x;\,a,b)=2\int _{0}^{\arcsin {\sqrt {x}}}\sin ^{2a-1\!}\theta \cos ^{2b-1\!}\theta \,\mathrm {d} \theta =\int _{\frac {1-x}{x}}^{\infty }{\frac {s^{a-1}}{(1+s)^{a+b}}}\,\mathrm {d} s$

Регуляризованная неполная бета-функция (или для краткости регуляризованная бета-функция ) определяется в терминах неполной бета-функции и полной бета-функции:

$I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.$

Регуляризованная неполная бета-функция является кумулятивной функцией распределения бета -распределения и связана с кумулятивной функцией распределения. $F(k;\,n,p)$ X случайной величины , следующей биномиальному распределению с вероятностью единичного успеха p и количеством испытаний Бернулли n :

$F(k;\,n,p)=\Pr \left(X\leq k\right)=I_{1-p}(n-k,k+1)=1-I_{p}(k+1,n-k).$

Характеристики

${\begin{aligned}I_{0}(a,b)&=0\\I_{1}(a,b)&=1\\I_{x}(a,1)&=x^{a}\\I_{x}(1,b)&=1-(1-x)^{b}\\I_{x}(a,b)&=1-I_{1-x}(b,a)\\I_{x}(a+1,b)&=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\mathrm {B} (a,b)}}\\I_{x}(a,b+1)&=I_{x}(a,b)+{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{b\mathrm {B} (a,b)}}\\\int \mathrm {B} (x;a,b)\mathrm {d} x&=x\mathrm {B} (x;a,b)-\mathrm {B} (x;a+1,b)\\\mathrm {B} (x;a,b)&=(-1)^{a}\mathrm {B} \left({\frac {x}{x-1}};a,1-a-b\right)\end{aligned}}$

Продолжение расширения фракции

расширение фракции Продолжающееся

$\mathrm {B} (x;\,a,b)={\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\left(1+{\frac {{d}_{1}}{1+}}{\frac {{d}_{2}}{1+}}{\frac {{d}_{3}}{1+}}{\frac {{d}_{4}}{1+}}\cdots \right)}}$

с нечетными и четными коэффициентами соответственно

${d}_{2m+1}=-{\frac {(a+m)(a+b+m)x}{(a+2m)(a+2m+1)}}$

${d}_{2m}={\frac {m(b-m)x}{(a+2m-1)(a+2m)}}$

быстро сходится, когда $x$ не близко к 1. $4m$ и $4m+1$ конвергенты меньше, чем $\mathrm {B} (x;\,a,b)$, в то время как $4m+2$ и $4m+3$ конвергенты больше, чем $\mathrm {B} (x;\,a,b)$.

Для $x>{\frac {a+1}{a+b+2}}$, функция может быть оценена более эффективно, используя $\mathrm {B} (x;\,a,b)=\mathrm {B} (a,b)-\mathrm {B} (1-x;\,b,a)$.

Многомерная бета-функция

Бета-функция может быть расширена до функции с более чем двумя аргументами:

$\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\,\Gamma (\alpha _{2})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n})}}.$

Эта многомерная бета-функция используется при определении распределения Дирихле . Его связь с бета-функцией аналогична взаимосвязи между полиномиальными коэффициентами и биномиальными коэффициентами. Например, он удовлетворяет аналогичной версии тождества Паскаля:

$\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})=\mathrm {B} (\alpha _{1}+1,\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})+\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2}+1,\ldots \alpha _{n})+\cdots +\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}+1).$

Приложения

Бета-функция полезна при вычислении и представлении амплитуды рассеяния для траекторий Редже . Более того, это была первая известная амплитуда рассеяния в теории струн , впервые предложенная Габриэле Венециано . Это также происходит в теории процесса преимущественной привязанности , разновидности стохастического процесса урны . Бета-функция также важна в статистике, например, для бета-распределения и бета-простого распределения . Как кратко упоминалось ранее, бета-функция тесно связана с гамма-функцией и играет важную роль в исчислении .

Программная реализация

Даже если они недоступны напрямую, полные и неполные значения бета-функции можно рассчитать с помощью функций, обычно включаемых в электронные таблицы или системы компьютерной алгебры .

в Microsoft Excel полную бета-функцию можно вычислить с помощью Например, GammaLn функция (или special.gammaln в пакете Python SciPy ):

Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))

свойств Этот результат следует из перечисленных выше .

Неполную бета-функцию нельзя вычислить напрямую с использованием таких соотношений, поэтому необходимо использовать другие методы. В GNU Octave оно вычисляется с использованием разложения цепной дроби .

Неполная бета-функция уже реализована на распространенных языках. Например, betainc (неполная бета-функция) в MATLAB и GNU Octave , pbeta (вероятность бета-распределения) в R или special.betainc в SciPy вычисляют регуляризованную неполную бета-функцию — которая, по сути, является кумулятивным бета-распределением — и поэтому, чтобы получить фактическую неполную бета-функцию, нужно умножить результат betainc по результату, возвращаемому соответствующим beta функция. В Математике ​ Beta[x, a, b] и BetaRegularized[x, a, b] давать $\mathrm {B} (x;\,a,b)$ и $I_{x}(a,b)$, соответственно.

См. также

• Бета-распределение и бета-простое распределение , два распределения вероятностей, связанные с бета-функцией.
• Сумма Якоби — аналог бета-функции над конечными полями .
• Интеграл Норлунда – Райса
• Распределение Юла – Саймона

Ссылки

• Аски, РА ; Рой, Р. (2010), «Бета-функция» , Олвер, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 6.1 Гамма-функция, бета-функция, факториалы» , Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8 , заархивировано из оригинала 27 октября 2021 г. , получено 9 августа 2011 г.

Внешние ссылки

• «Бета-функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Оценка бета-функции с использованием преобразования Лапласа в PlanetMath .
• Произвольно точные значения можно получить из:
  • Сайт функций Wolfram : Оценка бета-версии Регуляризованная неполная бета-версия
  • danielsoper.com: Калькулятор неполных бета-функций , Регуляризованный калькулятор неполных бета-функций