Уравнение в частных производных первого порядка

В математике уравнение в частных производных первого порядка — это уравнение в частных производных , которое включает только первые производные неизвестной функции от n переменных. Уравнение принимает вид

$F(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})=0.\,$

Такие уравнения возникают при построении характеристических поверхностей для гиперболических уравнений в частных производных , в вариационном исчислении , в некоторых геометрических задачах и в простых моделях газовой динамики, для решения которых используется метод характеристик . Если семейство решенийодного уравнения в частных производных первого порядка, то дополнительные решения могут быть получены путем формирования оболочек решений в этом семействе. В аналогичной процедуре общие решения могут быть получены путем интегрирования семейств обыкновенных дифференциальных уравнений.

Общее решение и полный интеграл

Общим решением уравнения в частных производных первого порядка является решение, содержащее произвольную функцию. Но решение уравнений в частных производных первого порядка с таким количеством произвольных констант, сколько независимых переменных, называется полным интегралом . Следующее n-параметрическое семейство решений

$\phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},u,a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$

является полным интегралом, если ${\text{det}}|\phi _{x_{i}a_{j}}|\neq 0$. Приведенные ниже обсуждения типов интегралов основаны на учебнике «Трактат о дифференциальных уравнениях» (глава IX, 6-е издание, 1928 г.) Эндрю Форсайта .

Полный интеграл

Решения описываются относительно простым способом в двух или трех измерениях, с помощью которых ключевые концепции тривиально расширяются на более высокие измерения. Общее уравнение в частных производных первого порядка в трех измерениях имеет вид

$F(x,y,z,u,p,q,r)=0,\,$

где $p=u_{x},\,q=u_{y},\,r=u_{z}.$ Предполагать $\phi (x,y,z,u,a,b,c)=0$ — полный интеграл, содержащий три произвольные константы $(a,b,c)$. Отсюда можно получить три соотношения путем дифференцирования

$\phi _{x}+p\phi _{u}=0$

$\phi _{y}+q\phi _{u}=0$

$\phi _{z}+r\phi _{u}=0$

Наряду с полным интегралом $\phi =0$, приведенные выше три соотношения можно использовать для исключения трех констант и получения уравнения (исходного уравнения в частных производных), связывающего $(x,y,z,u,p,q,r)$. Обратите внимание, что исключение констант, приводящее к уравнению в частных производных, не обязательно должно быть уникальным, т. е. два разных уравнения могут привести к одному и тому же полному интегралу, например, исключение констант из соотношения $u={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}+z-c$ приводит к $p^{2}+q^{2}=1$ и $r=1$.

Общий интеграл

Как только полный интеграл найден, на его основе можно построить общее решение. Общий интеграл получается путем превращения констант в функции координат, т. е. $a=a(x,y,z),\,b=b(x,y,z),\,c=c(x,y,z)$. Эти функции выбраны так, чтобы формы $(p,q,r)$ не изменяются, так что можно использовать процесс исключения из полного интеграла. Дифференцирование полного интеграла теперь дает

$\phi _{x}+p\phi _{u}=-(a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})$

$\phi _{y}+q\phi _{u}=-(a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})$

$\phi _{z}+r\phi _{u}=-(a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})$

в котором мы требуем, чтобы правые части всех трех уравнений обратились в нуль одинаково, так что исключение $(a,b,c)$ от $\phi$ приводит к уравнению в частных производных. Это требование можно записать более компактно, записав его в виде

$J\phi _{a}=0,\quad J\phi _{b}=0,\quad J\phi _{c}=0$

где

$J={\frac {\partial (a,b,c)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{aligned}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}$

– определитель Якобиана . Состояние $J=0$ приводит к общему решению. В любое время $J=0$, то существует функциональная связь между $(a,b,c)$ потому что всякий раз, когда определитель равен нулю, столбцы (или строки) не являются линейно независимыми. Возьмем это функциональное отношение как

$c=\psi (a,b).$

Один раз $(a,b)$ найден, проблема решена. Из приведенного выше соотношения мы имеем $dc=\psi _{a}da+\psi _{b}db$. Суммируя исходные уравнения $(a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})=0$, $(a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})=0$ и $(a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})=0$ мы находим $\phi _{a}da+\phi _{b}db+\phi _{c}dc=0$. Теперь устраняем $dc$ из двух полученных уравнений получаем

$(\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})da+(\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})db=0$

С $a$ и $b$ независимы, мы требуем

$(\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})=0$

$(\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})=0.$

Два приведенных выше уравнения можно использовать для решения $a$ и $b$. Замена $(a,b,c)$ в $\phi =0$, получаем общий интеграл . Таким образом, общий интеграл описывает связь между $(x,y,z,u)$, две известные независимые функции $(a,b)$ и произвольная функция $\psi (a,b)$. Обратите внимание, что мы предположили $c=\psi (a,b)$ сделать определитель $J$ ноль, но это не всегда нужно. Отношения $c=\psi (a)$ или, $c=\psi (b)$ достаточно, чтобы обнулить определитель.

Сингулярный интеграл

Сингулярный интеграл получается, когда $J\neq 0$. В этом случае устранение $(a,b,c)$ от $\phi =0$ работает, если

$\phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0,\quad \phi _{c}=0.$

Три уравнения можно использовать для решения трех неизвестных. $(a,b,c)$. Решение, полученное путем исключения $(a,b,c)$ этот путь приводит к так называемым сингулярным интегралам .

Специальный интеграл

Обычно большинство интегралов делятся на три категории, определенные выше, но может случиться так, что решение не подходит ни к одному из трех типов интегралов, упомянутых выше. Эти решения называются специальными интегралами . Отношение $\chi (x,y,z,u)=0$ который удовлетворяет уравнению в частных производных, называется специальным интегралом, если мы не можем определить $(a,b,c)$ из следующих уравнений

$\phi _{x}\chi _{u}-\chi _{x}\phi _{u}=0$

$\phi _{y}\chi _{u}-\chi _{y}\phi _{u}=0$

$\phi _{z}\chi _{u}-\chi _{z}\phi _{u}=0.$

Если мы сможем определить $(a,b,c)$ из приведенной выше системы уравнений, то $\chi =0$ окажется одним из трех описанных ранее интегралов.

Двумерный случай

Полный интеграл в двумерном пространстве можно записать как $\phi (x,y,u,a,b)=0$. Общий интеграл получается исключением $a$ из следующих уравнений

$\phi (x,y,z,a,\psi (a))=0,\quad \phi _{a}+\psi _{a}\phi _{b}=0.$

Сингулярный интеграл, если он существует, можно получить, исключив $(a,b)$ из следующих уравнений

$\phi (x,y,z,a,b)=0,\quad \phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0.$

Если полный интеграл недоступен, решения все равно можно получить, решив систему обыкновенных уравнений. Чтобы получить эту систему, сначала заметим, что УЧП определяет конус (аналог светового конуса) в каждой точке: если УЧП линейно по производным от u (оно квазилинейно), то конус вырождается в линию. В общем случае пары ( p , q ), удовлетворяющие уравнению, определяют семейство плоскостей в данной точке:

$u-u_{0}=p(x-x_{0})+q(y-y_{0}),\,$

где

$F(x_{0},y_{0},u_{0},p,q)=0.\,$

Огибающая этих плоскостей представляет собой конус или линию, если УЧП квазилинейно. Условие конверта:

$F_{p}\,dp+F_{q}\,dq=0,\,$

где F оценивается как $(x_{0},y_{0},u_{0},p,q)$, а dp и dq — приращения p и q, удовлетворяющие F =0. Следовательно, образующей конуса является прямая с направлением

$dx:dy:du=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}).\,$

Это направление соответствует лучам света для волнового уравнения.Для интегрирования дифференциальных уравнений по этим направлениям нам требуются приращения p и q вдоль луча. Это можно получить, дифференцируя УЧП:

$F_{x}+F_{u}p+F_{p}p_{x}+F_{q}p_{y}=0,\,$

$F_{y}+F_{u}q+F_{p}q_{x}+F_{q}q_{y}=0,\,$

Поэтому направление луча в $(x,y,u,p,q)$ космос это

$dx:dy:du:dp:dq=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}):(-F_{x}-F_{u}p):(-F_{y}-F_{u}q).\,$

Интегрирование этих уравнений приводит к лучевому коноиду в каждой точке. $(x_{0},y_{0},u_{0})$. Тогда общие решения УЧП можно получить из оболочек таких коноидов.

Определения линейной зависимости для дифференциальных систем

К этой части можно отнести $\S 1.2.3$ из книги Куранта.

Мы предполагаем, что эти $h$ уравнения независимы, т. е. ни одно из них не может быть выведеноот другого путем дифференциации и исключения.

- Курант Р. и Гильберт Д. (1962), Методы математической физики: уравнения в частных производных, II, стр. 15-18.

Приведено эквивалентное описание. Даны два определения линейной зависимости для линейных уравнений в частных производных первого порядка.

$(*)\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(1)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{1}}=0\\\vdots \\\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(n)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{n}}=0\end{array}}\right.$

Где $x_{i}$ являются независимыми переменными; $y_{j}$ являются зависимыми неизвестными; $a_{ij}^{(k)}$ – линейные коэффициенты; и $f_{k}$ являются неоднородными предметами. Позволять ${\textstyle {Z_{k}}\equiv \sum _{ij}^{}{a_{ij}^{(k)}{\frac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{k}}}$.

Определение I: Учитывая числовое поле $P$, когда есть коэффициенты ( $c_{k}\in P$), не все ноль, такой, что ${\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}=0}}$; уравнения (*) являются линейно зависимыми.

Определение II ( дифференциальная линейная зависимость ): Учитывая числовое поле $P$, когда имеются коэффициенты ( ${c_{k}},d_{kl}\in P$), не все нули, такие, что ${\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}}+\sum _{kl}{{d_{kl}}{\frac {\partial }{\partial {x_{l}}}}{Z_{k}}=0}}$,уравнения (*) считаются дифференциально- линейно зависимыми. Если ${d_{kl}}\equiv 0$, это определение вырождается в определение I.

Системы div-curl , уравнения Максвелла , уравнения Эйнштейна (с четырьмя гармоническими координатами) и Уравнения Янга-Миллса (с калибровочными условиями) хорошо определены в определении II, тогда как переопределены в определении I.

волнового

Характеристическими поверхностями волнового уравнения являются поверхности уровня решений уравнения

$u_{t}^{2}=c^{2}\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}\right).\,$

Потеря общности будет небольшой, если мы установим $u_{t}=1$: в таком случае ты удовлетворяешь

$u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}={\frac {1}{c^{2}}}.\,$

В векторной записи пусть

${\vec {x}}=(x,y,z)\quad {\hbox{and}}\quad {\vec {p}}=(u_{x},u_{y},u_{z}).\,$

Семейство решений с плоскостями в качестве поверхностей уровня имеет вид

$u({\vec {x}})={\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}),\,$

где

$|{\vec {p}}\,|={\frac {1}{c}},\quad {\text{and}}\quad {\vec {x_{0}}}\quad {\text{is arbitrary}}.\,$

Если x и x0 _, остаются фиксированными, огибающая этих решений получается путем нахождения точки на сфере радиуса 1/ c где значение u стационарно. Это верно, если ${\vec {p}}$ параллельно ${\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}$. Следовательно, оболочка имеет уравнение

$u({\vec {x}})=\pm {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|.$

Эти решения соответствуют сферам, радиус которых увеличивается или уменьшается со скоростью c . Это световые конусы в пространстве-времени.

Начальная задача для этого уравнения состоит в задании поверхности уровня S , где u =0 при t =0. Решение получается путем взятия огибающей всех сфер с центрами на S , радиусы которых растут со скоростью c . Этот конверт получается, если потребовать, чтобы

${\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|\quad {\hbox{is stationary for}}\quad {\vec {x_{0}}}\in S.\,$

Это условие будет выполнено, если $|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|$ нормально S. для огибающая соответствует движению со скоростью c вдоль каждой нормали к S. Таким образом , Это конструкция волновых фронтов Гюйгенса : каждая точка на S излучает сферическую волну в момент времени t = 0, а фронт волны в более поздний момент времени t является огибающей этих сферических волн. Нормали к S — это световые лучи.

Дальнейшее чтение

• Эванс, LC (1998). Уравнения в частных производных . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0772-2 .
• Полянин А.Д.; Зайцев В.Ф.; Муссио, А. (2002). Справочник уравнений в частных производных первого порядка . Лондон: Тейлор и Фрэнсис. ISBN  0-415-27267-Х .
• Полянин А.Д. (2002). Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых . Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN  1-58488-299-9 .
• Сарра, Скотт (2003). «Метод характеристик с приложениями к законам сохранения» . Журнал онлайн-математики и ее приложений .