Метод характеристик

В математике метод характеристик — это метод решения уравнений в частных производных . Обычно он применяется к уравнениям первого порядка , хотя в более общем плане метод характеристик справедлив для любого гиперболического и параболического уравнения в частных производных . Метод заключается в сведении уравнения в частных производных к семейству обыкновенных дифференциальных уравнений , по которым можно проинтегрировать решение по некоторым исходным данным, заданным на подходящей гиперповерхности .

Характеристики уравнения в частных

Для УЧП первого порядка ( уравнения в частных производных ) метод характеристик обнаруживает кривые (называемые характеристическими кривыми или просто характеристиками), вдоль которых УЧП становится обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ). Как только ОДУ найдено, его можно решить вдоль характеристических кривых и преобразовать в решение исходного УЧП.

Для простоты ограничимся случаем функции двух независимых переменных x и y пока . Рассмотрим квазилинейное УЧП вида

$a(x,y,z){\frac {\partial z}{\partial x}}+b(x,y,z){\frac {\partial z}{\partial y}}=c(x,y,z).$ ( 1 )

Предположим, что решение z известно, и рассмотрим граф поверхности z = z ( x , y ) в R ³ . Вектор нормали к этой поверхности определяется выражением

$\left({\frac {\partial z}{\partial x}}(x,y),{\frac {\partial z}{\partial y}}(x,y),-1\right).\,$

Как результат, уравнение ( 1 ) эквивалентно геометрическому утверждению о том, что векторное поле

$(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))\,$

касается поверхности z = z ( x , y ) в каждой точке, поскольку скалярное произведение этого векторного поля с указанным выше вектором нормали равно нулю. Другими словами, график решения должен быть объединением целых кривых этого векторного поля. Эти интегральные кривые называются характеристическими кривыми исходного уравнения в частных производных и задаются Лагранжа – Шарпита . уравнениями

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=a(x,y,z),\\[8pt]{\frac {dy}{dt}}&=b(x,y,z),\\[8pt]{\frac {dz}{dt}}&=c(x,y,z).\end{aligned}}$

Параметризационная инвариантная форма уравнений Лагранжа – Шарпи. является:

${\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}}.$

Линейные и квазилинейные случаи

Рассмотрим теперь УЧП вида

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).$

Чтобы это УЧП было линейным , коэффициенты a _i могут быть функциями только пространственных переменных и не зависеть от u . Чтобы оно было квазилинейным, a _i может также зависеть от значения функции, но не от каких-либо производных. Различие между этими двумя случаями несущественно для обсуждения здесь.

Для линейного или квазилинейного УЧП характеристические кривые задаются параметрически следующим образом:

$(x_{1},\dots ,x_{n},u)=(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s),u(s))$

$u(\mathbf {X} (s))=U(s)$

такие, что удовлетворяется следующая система ОДУ

${\frac {dx_{i}}{ds}}=a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u)$ ( 2 )

${\frac {du}{ds}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).$ ( 3 )

Уравнения ( 2 ) и ( 3 ) дают характеристики УЧП.

Доказательство для квазилинейного случая

В квазилинейном случае использование метода характеристик обосновано неравенством Грёнвалля . Приведенное выше уравнение можно записать как

$$\mathbf {a} (\mathbf {x} ,u)\cdot \nabla u(\mathbf {x} )=c(\mathbf {x} ,u)$$

Мы должны различать решения ОДУ и решения УЧП, равенство которых априори не известно. Полагая, что заглавные буквы являются решениями ОДУ, мы находим

$$\mathbf {X} '(s)=\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))$$

$$U'(s)=c(\mathbf {X} (s),U(s))$$

изучение $\Delta (s)=|u(\mathbf {X} (s))-U(s)|^{2}$, мы находим, дифференцируя, что

$$\Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {X} '(s)\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-U'(s){\Big )}$$

что то же самое, что

$$\Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),U(s)){\Big )}$$

Мы не можем заключить, что приведенное выше значение равно 0, как нам хотелось бы, поскольку PDE гарантирует нам только то, что это соотношение удовлетворяется для $u(\mathbf {x} )$, $\mathbf {a} (\mathbf {x} ,u)\cdot \nabla u(\mathbf {x} )=c(\mathbf {x} ,u)$, и мы еще этого не знаем $U(s)=u(\mathbf {X} (s))$.

Однако мы можем видеть, что

$$\Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),U(s))-{\big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}{\Big )}$$

поскольку согласно PDE последний член равен 0. Это равно

$$\Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}{\big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))-\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-{\big (}c(\mathbf {X} (s),U(s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}{\Big )}$$

По неравенству треугольника имеем

$$|\Delta '(s)|\leq 2{\big |}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big |}{\Big (}{\big \|}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))-\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big \|}\ \|\nabla u(\mathbf {X} (s))\|+{\big |}c(\mathbf {X} (s),U(s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big |}{\Big )}$$

Предполагая $\mathbf {a} ,c$ по крайней мере $C^{1}$, мы можем ограничить это на небольшие времена. Выберите район $\Omega$ вокруг $\mathbf {X} (0),U(0)$ настолько мал, что $\mathbf {a} ,c$локально липшицевы . По непрерывности, $(\mathbf {X} (s),U(s))$ останется в $\Omega$ для достаточно маленького $s$. С $U(0)=u(\mathbf {X} (0))$, у нас тоже такое есть $(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))$ будет в $\Omega$ для достаточно маленького $s$по непрерывности. Так, $(\mathbf {X} (s),U(s))\in \Omega$ и $(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))\in \Omega$ для $s\in [0,s_{0}]$. Кроме того, $\|\nabla u(\mathbf {X} (s))\|\leq M$ для некоторых $M\in \mathbb {R}$ для $s\in [0,s_{0}]$по компактности. Отсюда мы находим, что приведенное выше ограничено как

$$|\Delta '(s)|\leq C|u(\mathbf {X} (s))-U(s)|^{2}=C|\Delta (s)|$$

для некоторых $C\in \mathbb {R}$. Это прямое применение неравенства Грёнвалля, показывающее, что, поскольку $\Delta (0)=0$ у нас есть $\Delta (s)=0$до тех пор, пока выполняется это неравенство. У нас есть некоторый интервал $[0,\varepsilon )$ такой, что $u(X(s))=U(s)$в этом интервале. Выбирайте самый большой $\varepsilon$так что это правда. Тогда, по непрерывности, $U(\varepsilon )=u(\mathbf {X} (\varepsilon ))$. При условии, что ОДУ все еще имеет решение через некоторый интервал после $\varepsilon$, мы можем повторить приведенный выше аргумент и обнаружить, что $u(X(s))=U(s)$в большем интервале. Таким образом, пока ОДУ имеет решение, мы имеем $u(X(s))=U(s)$.

Полностью нелинейный случай

Рассмотрим уравнение в частных производных

$F(x_{1},\dots ,x_{n},u,p_{1},\dots ,p_{n})=0$ ( 4 )

где переменные p _i являются сокращением частных производных

$p_{i}={\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}.$

Пусть ( x _i ( s ), u ( s ), p _i ( s )) — кривая в R ²ⁿ⁺¹ . Предположим, что u — любое решение и что

$u(s)=u(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s)).$

Вдоль решения дифференцирование ( 4 ) по s дает

$\sum _{i}(F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}){\dot {x}}_{i}+\sum _{i}F_{p_{i}}{\dot {p}}_{i}=0$

${\dot {u}}-\sum _{i}p_{i}{\dot {x}}_{i}=0$

$\sum _{i}({\dot {x}}_{i}dp_{i}-{\dot {p}}_{i}dx_{i})=0.$

Второе уравнение получается в результате применения цепного правила к решению u , а третье — в результате взятия внешней производной соотношения $du-\sum _{i}p_{i}\,dx_{i}=0$. Манипулирование этими уравнениями дает

${\dot {x}}_{i}=\lambda F_{p_{i}},\quad {\dot {p}}_{i}=-\lambda (F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}),\quad {\dot {u}}=\lambda \sum _{i}p_{i}F_{p_{i}}$

где λ — константа. Записав эти уравнения более симметрично, получим уравнения Лагранжа–Шарпита для характеристики

${\frac {{\dot {x}}_{i}}{F_{p_{i}}}}=-{\frac {{\dot {p}}_{i}}{F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}}}={\frac {\dot {u}}{\sum p_{i}F_{p_{i}}}}.$

Геометрически метод характеристик в полностью нелинейном случае можно интерпретировать как требование, чтобы конус Монжа дифференциального уравнения всюду касался графика решения. Уравнение в частных производных второго порядка решается методом Шарпита .

Пример

В качестве примера рассмотрим уравнение переноса (этот пример предполагает знакомство с обозначениями УЧП и решениями основных ОДУ).

$a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0$

где $a$ является постоянным и $u$ является функцией $x$ и $t$. Мы хотим преобразовать это линейное УЧП первого порядка в ОДУ вдоль соответствующей кривой; тоесть что-то типа

${\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s)),$

где $(x(s),t(s))$является характерной линией. Сначала мы находим

${\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}$

по цепному правилу. Теперь, если мы установим ${\frac {dx}{ds}}=a$ и ${\frac {dt}{ds}}=1$ мы получаем

$a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}$

это левая часть PDE, с которой мы начали. Таким образом

${\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.$

Итак, по характерной линии $(x(s),t(s))$, исходное УЧП становится ОДУ $u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0$. То есть по характеристикам решение постоянно. Таким образом, $u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)$ где $(x_{s},t_{s})\,$ и $(x_{0},0)$лежат на одной и той же характеристике. Поэтому для определения общего решения достаточно найти характеристики путем решения характеристической системы ОДУ:

• ${\frac {dt}{ds}}=1$, позволяя $t(0)=0$ мы знаем $t=s$,
• ${\frac {dx}{ds}}=a$, позволяя $x(0)=x_{0}$ мы знаем $x=as+x_{0}=at+x_{0}$,
• ${\frac {du}{ds}}=0$, позволяя $u(0)=f(x_{0})$ мы знаем $u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)$.

В этом случае характеристическими линиями являются прямые с наклоном $a$, и значение $u$ остается постоянной вдоль любой характеристической линии.

Характеристики линейных дифференциальных операторов

Пусть X — дифференцируемое многообразие , а P — линейный дифференциальный оператор.

$P:C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)$

порядка к . В местной системе координат x ^я ,

$P=\sum _{|\alpha |\leq k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}$

в котором α обозначает мультииндекс . Главный символ P , обозначаемый σ _P , является функцией на кокасательном расслоении T ^∗ X определяется в этих локальных координатах формулой

$\sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }$

где ξ _i — координаты слоев на кокасательном расслоении, индуцированные координатными дифференциалами dx ^я . Хотя это определяется с использованием конкретной системы координат, закон преобразования, связывающий ξ _i и x ^я гарантирует, что σ _P является корректно определенной функцией на кокасательном расслоении.

Функция σ _P однородна по степени k переменной ξ . Нули σ _P вдали от нулевой части T ^∗ X являются характеристиками P. , Гиперповерхность X , определяемая уравнением F ( x ) = c , называется характеристической гиперповерхностью в точке x , если

$\sigma _{P}(x,dF(x))=0.$

Инвариантно характеристическая гиперповерхность — это гиперповерхность, конормальное расслоение которой находится в характеристическом множестве P .

Качественный анализ характеристик

Характеристики также являются мощным инструментом для получения качественного понимания PDE.

По пересечениям характеристик можно найти ударные волны для потенциального течения в сжимаемой жидкости. Интуитивно мы можем представить себе каждую характеристическую линию, подразумевающую решение задачи. $u$вдоль себя. Таким образом, когда две характеристики пересекаются, функция становится многозначной, что приводит к нефизическому решению. Физически это противоречие снимается образованием ударной волны, тангенциального разрыва или слабого разрыва и может привести к непотенциальному течению, нарушающему исходные предположения.

Характеристики могут не охватывать часть области PDE. Это называется разрежением и указывает на то, что решение обычно существует только в слабом смысле, то есть в виде интегрального уравнения .

Направление характеристических линий указывает поток значений через решение, как показано в приведенном выше примере. Знания такого рода полезны при численном решении УЧП, поскольку они могут указать, какая схема конечных разностей лучше всего подходит для решения задачи.

См. также

• Метод квантовых характеристик

Ссылки

• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1962), Методы математической физики, Том II , Wiley-Interscience
• Эванс, Лоуренс К. (1998), Уравнения в частных производных , Провиденс: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0772-2
• Полянин А.Д.; Зайцев В.Ф.; Муссио, А. (2002), Справочник по уравнениям в частных производных первого порядка , Лондон: Тейлор и Фрэнсис, ISBN  0-415-27267-Х
• Полянин, А.Д. (2002), Справочник по линейным дифференциальным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых , Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN  1-58488-299-9
• Сарра, Скотт (2003), «Метод характеристик с применением к законам сохранения» , Журнал онлайн-математики и ее приложений .
• Стритер, В.Л.; Уайли, EB (1998), Механика жидкости (9-е международное исправленное издание), Высшее образование McGraw-Hill

Внешние ссылки

• Учебное пособие профессора Скотта Сарры по методу характеристик
• Учебное пособие профессора Алана Худа по методу характеристик