Обычный комплект

Чтобы узнать о нормальных расслоениях в алгебраической геометрии, см. нормальный конус .

В дифференциальной геометрии , области математики , нормальное расслоение — это особый вид векторного расслоения , дополнительный к касательному расслоению и возникающий в результате вложения (или погружения ).

Определение

Риманово многообразие

Позволять $(M,g)$ — риманово многообразие и $S\subset M$ подмногообразие риманово . Определить для данного $p\in S$, вектор $n\in \mathrm {T} _{p}M$ быть нормальным, чтобы $S$ в любое время $g(n,v)=0$ для всех $v\in \mathrm {T} _{p}S$ (так что $n$ ортогонален ​ ​ $\mathrm {T} _{p}S$). Набор $\mathrm {N} _{p}S$ из всех подобных $n$ тогда называется нормальным пространством для $S$ в $p$.

Точно так же, как общее пространство касательного расслоения к многообразию состоит из всех касательных пространств к многообразию, общее пространство нормального расслоения $\mathrm {N} S$ к $S$ определяется как

$\mathrm {N} S:=\coprod _{p\in S}\mathrm {N} _{p}S$.

Конормальное расслоение определяется как расслоение, двойственное к нормальному расслоению. Его естественным образом можно реализовать как подрасслоение кокасательного расслоения .

Общее определение

Более абстрактно, учитывая погружение $i:N\to M$ (например, вложение), можно определить нормальное расслоение N в M в каждой точке N , взяв факторпространство касательного пространства к M по касательному пространству N. к Для риманова многообразия этот фактор можно отождествить с ортогональным дополнением, но, вообще говоря, нельзя (такой выбор эквивалентен сечению проекции $V\to V/W$).

Таким образом, нормальное расслоение, вообще говоря, является фактором касательного расслоения объемлющего пространства, ограниченного подпространством.

Формально нормальный пучок к N в M является факторрасслоением касательного расслоения на M : имеется короткая точная последовательность векторных расслоений на N :

$0\to TN\to TM\vert _{i(N)}\to T_{M/N}:=TM\vert _{i(N)}/TN\to 0$

где $TM\vert _{i(N)}$ есть ограничение касательного расслоения на M на N (собственно обратный образ $i^{*}TM$ касательного расслоения на M в векторное расслоение на N через отображение $i$). Волокно нормального пучка $T_{M/N}{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}N$ в $p\in N$ называется нормальным пространством в $p$ (из $N$ в $M$).

Конормальное расслоение

Если $Y\subseteq X$ является гладким подмногообразием многообразия $X$, мы можем выбрать локальные координаты $(x_{1},\dots ,x_{n})$ вокруг $p\in Y$ такой, что $Y$ локально определяется $x_{k+1}=\dots =x_{n}=0$; то при таком выборе координат

${\begin{aligned}T_{p}X&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\T_{p}Y&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\{T_{X/Y}}_{p}&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{k+1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\\end{aligned}}$

а идеальный пучок локально порождается $x_{k+1},\dots ,x_{n}$. Поэтому мы можем определить невырожденное спаривание

$(I_{Y}/I_{Y}^{2})_{p}\times {T_{X/Y}}_{p}\longrightarrow \mathbb {R}$

что индуцирует изоморфизм пучков $T_{X/Y}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{2})^{\vee }$. Мы можем перефразировать этот факт, введя конормальное расслоение $T_{X/Y}^{*}$ определяется через конормальную точную последовательность

$0\to T_{X/Y}^{*}\rightarrowtail \Omega _{X}^{1}|_{Y}\twoheadrightarrow \Omega _{Y}^{1}\to 0$,

затем $T_{X/Y}^{*}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{2})$, а именно. сечения конормального расслоения являются кокасательными векторами к $X$ исчезает на $TY$.

Когда $Y=\lbrace p\rbrace$ — точка, то идеальный пучок — это пучок гладких зародышей, исчезающих в точке $p$ и изоморфизм сводится к определению касательного пространства через ростки гладких функций на $X$

$T_{X/\lbrace p\rbrace }^{*}\simeq (T_{p}X)^{\vee }\simeq {\frac {{\mathfrak {m}}_{p}}{{\mathfrak {m}}_{p}^{2}}}$.

Стабильный нормальный комплект

Абстрактные многообразия имеют каноническое касательное расслоение, но не имеют нормального расслоения: только вложение (или погружение) одного многообразия в другое дает нормальное расслоение.Однако, поскольку любое многообразие можно вложить в $\mathbf {R} ^{N}$, по теореме вложения Уитни , каждое многообразие допускает нормальное расслоение при таком вложении.

В общем случае естественного выбора вложения не существует, но для данного M любые два вложения в $\mathbf {R} ^{N}$ для достаточно больших N являются регулярными гомотопными и, следовательно, индуцируют одно и то же нормальное расслоение. Полученный класс нормальных расслоений (это класс расслоений, а не конкретный расслоение, поскольку N может меняться) называется стабильным нормальным расслоением .

Двойной касательный пучок

Нормальное расслоение двойственно касательному в смысле К-теории : по приведенной выше короткой точной последовательности,

$[TN]+[T_{M/N}]=[TM]$

в группе Гротендика .В случае погружения в $\mathbf {R} ^{N}$касательное расслоение объемлющего пространства тривиально (поскольку $\mathbf {R} ^{N}$ стягиваемо, следовательно, распараллеливаемо ), поэтому $[TN]+[T_{M/N}]=0$, и таким образом $[T_{M/N}]=-[TN]$.

Это полезно при вычислении характеристических классов и позволяет доказать нижние оценки погружаемости и вложимости многообразий в евклидово пространство .

Для симплектических многообразий

Предположим, что многообразие $X$ вложено в симплектическое многообразие $(M,\omega )$, такой, что образ симплектической формы имеет постоянный ранг на $X$. Тогда можно определить симплектическое нормальное расслоение к X как векторное расслоение над X со слоями

$(T_{i(x)}X)^{\omega }/(T_{i(x)}X\cap (T_{i(x)}X)^{\omega }),\quad x\in X,$

где $i:X\rightarrow M$ обозначает вложение. Обратите внимание, что условие постоянного ранга гарантирует, что эти нормальные пространства соединятся вместе, образуя пучок. Более того, любой слой наследует структуру симплектического векторного пространства.

По теореме Дарбу вложение постоянного ранга локально определяется формулой $i^{*}(TM)$. Изоморфизм

$i^{*}(TM)\cong TX/\nu \oplus (TX)^{\omega }/\nu \oplus (\nu \oplus \nu ^{*}),\quad \nu =TX\cap (TX)^{\omega },$

симплектических векторных расслоений над $X$ следует, что симплектическое нормальное расслоение уже локально определяет вложение постоянного ранга. Эта особенность аналогична римановому случаю.