Распределение (дифференциальная геометрия)

В дифференциальной геометрии , дисциплине в математике , распределении на многообразии. $M$ это задание $x\mapsto \Delta _{x}\subseteq T_{x}M$ векторных подпространств, удовлетворяющих определенным свойствам. В наиболее распространенных ситуациях распределение должно быть векторным подрасслоением касательного расслоения. $TM$ .

Распределения, удовлетворяющие дополнительному условию интегрируемости, приводят к слоениям , т.е. разбиениям многообразия на меньшие подмногообразия. Эти понятия имеют несколько приложений во многих областях математики, включая интегрируемые системы , геометрию Пуассона , некоммутативную геометрию , субриманову геометрию , дифференциальную топологию .

Несмотря на то, что у них одно и то же имя, дистрибутивы, представленные в этой статье, не имеют ничего общего с дистрибутивами в смысле анализа.

Определение [ править ]

Позволять $M$ быть гладким многообразием; распределение (гладкое) $\Delta$ назначается в любую точку $x\in M$ векторное подпространство $\Delta _{x}\subset T_{x}M$ плавным образом. Точнее, $\Delta$ состоит из коллекции $\{\Delta _{x}\subset T_{x}M\}_{x\in M}$ векторных подпространств со следующим свойством. Вокруг любого $x\in M$ существует район $N_{x}\subset M$ и коллекция векторных полей $X_{1},\ldots ,X_{k}$ такое, что для любой точки $y\in N_{x}$ , охватывать $\{X_{1}(y),\ldots ,X_{k}(y)\}=\Delta _{y}.$

Набор гладких векторных полей $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}$ также называется локальным базисом $\Delta$ . Они не обязательно должны быть линейно независимыми в каждой точке и поэтому формально не являются базисом векторного пространства в каждой точке; таким образом, термин «локальная генераторная установка» может быть более подходящим. Обозначения $\Delta$ используется для обозначения как присвоения $x\mapsto \Delta _{x}$ и подмножество $\Delta =\amalg _{x\in M}\Delta _{x}\subseteq TM$ .

Регулярные раздачи [ править ]

Учитывая целое число $n\leq m=\mathrm {dim} (M)$ , плавное распределение $\Delta$ на $M$ называется регулярным ранга $n$ если все подпространства $\Delta _{x}\subset T_{x}M$ иметь одинаковую размерность. На локальном уровне это означает, что каждый локальный базис задается выражением $n$ линейно независимые векторные поля.

Более компактно, регулярное распределение представляет собой векторное подрасслоение. $\Delta \subset TM$ ранга $n$ (на самом деле это наиболее часто используемое определение). Ранг $n$ распространение иногда называют $n$ -плоское распределение, и когда $n=m-1$ , говорят о гиперплоских распределениях.

дистрибутивов классы Специальные

Если не указано иное, под «распределением» мы подразумеваем гладкое регулярное распределение (в смысле, объясненном выше).

Инволютивные распределения

Учитывая распределение $\Delta$ , его сечения состоят из векторных полей на $M,$ образуя векторное подпространство $\Gamma (\Delta )\subseteq \Gamma (TM)={\mathfrak {X}}(M)$ пространства всех векторных полей на $M$ . (Обозначение: $\Gamma (TM)$ это пространство сечений – $TM.$ ) Распределение $\Delta$ называется инволютивным , если $\Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)$ также является подалгеброй Ли : другими словами, для любых двух векторных полей $X,Y\in \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)$ , скобка Лия $[X,Y]$ принадлежит $\Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)$ .

Локально это условие означает, что для каждой точки $x\in M$ существует локальная база $\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$ распределения в окрестностях г. $x$ такой, что для всех $1\leq i,j\leq n$ , скобка Лия $[X_{i},X_{j}]$ находится в промежутке $\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$ , то есть $[X_{i},X_{j}]$ представляет собой линейную комбинацию $\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}.$

Инволютивные распределения являются фундаментальным компонентом изучения интегрируемых систем . Близкая идея возникает в гамильтоновой механике : две функции $f$ и $g$ на симплектическом многообразии называются взаимно инволюционными, если их скобка Пуассона обращается в нуль.

Интегрируемые слоения распределения и

Целочисленное многообразие ранга $n$ распределение $\Delta$ является подмногообразием $N\subset M$ размера $n$ такой, что $T_{x}N=\Delta _{x}$ для каждого $x\in N$ . Распределение называется интегрируемым , если через любую точку $x\in M$ существует целое многообразие. Базовые пространства расслоения $\Delta \subset TM$ являются, таким образом, непересекающимися, максимальными , связными целочисленными многообразиями, также называемыми листьями ; то есть, $\Delta$ определяет n- слоение мерное $M$ .

Локально интегрируемость означает, что для каждой точки $x\in M$ существует локальная карта $(U,\{\chi _{1},\ldots ,\chi _{n}\})$ такой, что для каждого $y\in U$ , космос $\Delta _{y}$ натянут координатными векторами ${\frac {\partial }{\partial \chi _{1}}}(y),\ldots ,{\frac {\partial }{\partial \chi _{n}}}(y)$ . Другими словами, каждая точка допускает карту слоения, т. е. распределение $\Delta$ касается листьев слоения. Более того, эта локальная характеризация совпадает с определением интегрируемости для $G$ -структуры , когда $G$ – группа вещественных обратимых верхнетреугольных блочных матриц (с $(n\times n)$ и $(m-n,m-n)$ -блоки).

Легко видеть, что любое интегрируемое распределение автоматически инволютивно. Обратное утверждение менее тривиально, но выполняется по теореме Фробениуса .

Слабо регулярные распределения [ править ]

При любом распределении $\Delta \subseteq TM$ , соответствующий флаг Ли представляет собой оценку, определяемую как

\Delta ^{(0)}\subseteq \Delta ^{(1)}\subseteq \ldots \subseteq \Delta ^{(i)}\subseteq \Delta ^{(i+1)}\subseteq \ldots

где $\Delta ^{(0)}:=\Gamma (\Delta )$ , $\Delta ^{(1)}:=\langle [\Delta ^{(0)},\Delta ^{(0)}]\rangle _{{\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ и $\Delta ^{(i+1)}:=\langle [\Delta ^{(i)},\Delta ^{(0)}]\rangle _{{\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ . Другими словами, $\Delta ^{(i)}\subseteq {\mathfrak {X}}(M)$ обозначает набор векторных полей, охватываемых $i$ -итерированные скобки Ли элементов в $\Gamma (\Delta )$ . Некоторые авторы используют для определения отрицательную понижающую градацию.

Затем $\Delta$ называется слабо регулярной (или просто регулярной некоторыми авторами), если существует последовательность $\{T^{i}M\subseteq TM\}_{i}$ вложенных векторных подрасслоений таких, что $\Gamma (T^{i}M)=\Delta ^{(i)}$ (следовательно $T^{0}M=\Delta$ ). ^[1] Обратите внимание, что в таком случае соответствующий флаг Ли стабилизируется в определенной точке. $m\in \mathbb {N}$ , поскольку в ряды $T^{i}M$ ограничены сверху $\mathrm {rank} (TM)=\mathrm {dim} (M)$ . Строка целых чисел $(\mathrm {rank} (\Delta ^{(0)}),\mathrm {rank} (\Delta ^{(1)}),\ldots ,\mathrm {rank} (\Delta ^{(m)}))$ тогда называется роста вектором $\Delta$ .

Любому слабо регулярному распределению соответствует градуированное векторное расслоение.

\mathrm {gr} (TM):=T^{0}M\oplus {\Big (}\bigoplus _{i=0}^{m-1}T^{i+1}M/T^{i}M{\Big )}\oplus TM/T^{m}M.

Более того, скобка Ли векторных полей опускается при любом

i,j=0,\ldots ,m

, к

{\mathcal {C}}^{\infty }(M)

-линейный морфизм расслоений

\mathrm {gr} _{i}(TM)\times \mathrm {gr} _{j}(TM)\to \mathrm {gr} _{i+j+1}(TM)

, называется $(i,j)$ - кривизна . В частности, $(0,0)$ -кривизна тождественно равна нулю тогда и только тогда, когда распределение инволютивно.

Соединяя кривизны, получаем морфизм ${\mathcal {L}}:\mathrm {gr} (TM)\times \mathrm {gr} (TM)\to \mathrm {gr} (TM)$ , также называемая скобкой Леви , которая делает $\mathrm {gr} (TM)$ в расслоение нильпотентных алгебр Ли; по этой причине, $(\mathrm {gr} (TM),{\mathcal {L}})$ называется нильпотентизацией также $\Delta$ . ^[1]

Пакет $\mathrm {gr} (TM)\to M$ , однако, вообще говоря, не является локально тривиальным, поскольку алгебры Ли $\mathrm {gr} _{i}(T_{x}M):=T_{x}^{i}M/T_{x}^{i+1}M$ не изоморфны при изменении точки $x\in M$ . В этом случае слабо регулярное распределение $\Delta$ называется также регулярным (или некоторыми авторами сильно регулярным). ^{[ нужны разъяснения ]} Заметим, что используемые здесь названия (сильно или слабо) регулярные совершенно не связаны с обсуждавшимся выше понятием регулярности (которое всегда предполагается), т. е. с размерностью пространств $\Delta _{x}$ будучи постоянным.

Распределения, генерирующие скобки [ править ]

Распределение $\Delta \subseteq TM$ называется порождающим скобки (или неголономным , или говорят, что он удовлетворяет условию Хёрмандера ), если берется конечное число скобок Ли элементов из $\Gamma (\Delta )$ достаточно для генерации всего пространства векторных полей на $M$ . С учетом введенных выше обозначений такое условие можно записать в виде $\Delta ^{(m)}={\mathfrak {X}}(M)$ для некоторых $m\in \mathbb {N}$ ; тогда еще говорят, что $\Delta$ является порождающим скобки в $m+1$ шаги или имеет глубину $m+1$ .

Очевидно, что соответствующий флаг Ли распределения, порождающего скобки, стабилизируется в точке $m$ . Несмотря на то, что слабо регулярность и способность генерировать скобки — два независимых свойства (см. примеры ниже), когда распределение удовлетворяет обоим, целое число $m$ из двух определений одно и то же.

Благодаря теореме Чоу-Рашевского , при заданном распределении, порождающем скобки $\Delta \subseteq TM$ на связном многообразии любые две точки из $M$ могут быть соединены путем, касательным к распределению. ^[2]^[3]

Примеры регулярных раздач [ править ]

дистрибутивы Интегрируемые

Любое векторное поле $X$ на $M$ определяет распределение ранга 1, устанавливая $\Delta _{x}:=\langle X_{x}\rangle \subseteq T_{x}M$ , который автоматически интегрируется: образ любой интегральной кривой $\gamma :I\to M$ является целым многообразием.
Тривиальное распределение рангов $k$ на $M=\mathbb {R} ^{n}$ генерируется первым $k$ координатные векторные поля ${\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}$ . Оно автоматически интегрируемо, а интегральные многообразия определяются уравнениями $\{x_{i}=c_{i}\}_{i=k+1,\ldots ,n}$ , для любых констант $c_{i}\in \mathbb {R}$ .
В общем, любое инволютивное/интегрируемое распределение является слабо регулярным (с $\Delta ^{(i)}=\Gamma (\Delta )$ для каждого $i$ ), но он никогда не генерирует скобки.

Неинтегрируемые дистрибутивы [ править ]

Мартине Распределение на $M=\mathbb {R} ^{3}$ дан кем-то $\Delta =\ker(\omega )\subseteq TM$ , для $\omega =dy-z^{2}dx\in \Omega ^{1}(M)$ ; эквивалентно, он генерируется векторными полями ${\frac {\partial }{\partial x}}+z^{2}{\frac {\partial }{\partial y}}$ и ${\frac {\partial }{\partial z}}$ . Он порождает скобки, поскольку $\Delta ^{(2)}={\mathfrak {X}}(M)$ , но оно не является слабо регулярным: $\Delta ^{(1)}$ имеет ранг 3 везде, кроме поверхности $z=0$ .
Распределение контактов по $M=\mathbb {R} ^{2n+1}$ дан кем-то $\Delta =\ker(\omega )\subseteq TM$ , для $\omega =dz+\sum _{i=1}^{n}x_{i}dy_{i}\in \Omega ^{1}(M)$ ; эквивалентно, он генерируется векторными полями ${\frac {\partial }{\partial y_{i}}}$ и ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+y_{i}{\frac {\partial }{\partial z}}$ , для $i=1,\ldots ,n$ . Он слабо регулярный, с вектором роста. $(2n,2n+1)$ , и создание скобок, с $\Delta ^{(1)}={\mathfrak {X}}(M)$ . Можно также определить абстрактные контактные структуры на многообразии. $M^{2n+1}$ как гиперплоское распределение, которое максимально неинтегрируемо, т. е. насколько возможно далеко от инволютивности. Аналог теоремы Дарбу показывает, что такая структура имеет единственную локальную модель, описанную выше.
Энгеля Распределение на $M=\mathbb {R} ^{4}$ дан кем-то $\Delta =\ker(\omega _{1})\cap \ker(\omega _{2})\subseteq TM$ , для $\omega _{1}=dz-wdx\in \Omega ^{1}(M)$ и $\omega _{2}=dy-zdx\in \Omega ^{1}(M)$ ; эквивалентно, он генерируется векторными полями ${\frac {\partial }{\partial x}}+z{\frac {\partial }{\partial y}}+w{\frac {\partial }{\partial z}}$ и ${\frac {\partial }{\partial w}}$ . Он слабо регулярный, с вектором роста. $(2,3,4)$ и создание скобок. Можно также определить абстрактную структуру Энгеля на многообразии. $M^{4}$ как слабо регулярное распределение ранга 2 $\Delta \subseteq TM$ такой, что $\Delta ^{(1)}$ имеет ранг 3 и $\Delta ^{(2)}$ имеет ранг 4; Энгель доказал, что такая структура имеет описанную выше единственную локальную модель. ^[4]
В общем случае структура Гурса на многообразии $M^{k+2}$ представляет собой распределение ранга 2, которое является слабо регулярным и порождающим скобки, с вектором роста $(2,3,\ldots ,k+1,k+2)$ . Для $k=1$ и $k=2$ восстанавливаются соответственно контактные распределения на трехмерных многообразиях и распределения Энгеля. Структуры Гурса локально диффеоморфны распределению Картана струйных расслоений. $J^{k}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ .

Сингулярные распределения [ править ]

Сингулярное распределение , обобщенное распределение или распределение Стефана-Суссмана — это гладкое распределение, которое не является регулярным. Это означает, что подпространства $\Delta _{x}\subset T_{x}M$ могут иметь разные размерности, и, следовательно, подмножество $\Delta \subset TM$ больше не является гладким подрасслоением.

В частности, количество элементов в локальном базисе, охватывающем $\Delta _{x}$ изменится с $x$ , и эти векторные поля больше не будут повсюду линейно независимыми. Нетрудно видеть, что размерность $\Delta _{x}$ полунепрерывна снизу , так что в особых точках размерность меньше, чем в соседних точках.

сингулярные слоения Интегрируемость и

Приведенные выше определения интегральных многообразий и интегрируемости применимы и к особому случаю (снятие требования фиксированной размерности). Однако теорема Фробениуса в этом контексте не выполняется, и инволютивности, как правило, недостаточно для интегрируемости (существуют контрпримеры в малых размерностях).

После нескольких частичных результатов, ^[5] проблема интегрируемости сингулярных распределений была полностью решена с помощью теоремы, независимо доказанной Стефаном ^[6]^[7] и Суссманн. ^[8]^[9] Он утверждает, что сингулярное распределение $\Delta$ интегрируема тогда и только тогда, когда выполняются следующие два свойства:

$\Delta$ создается семьей $F\subseteq {\mathfrak {X}}(M)$ векторных полей;
$\Delta$ инвариантен относительно любого $X\in F$ , то есть $(\phi _{X}^{t})_{*}(\Delta _{y})\subseteq \Delta _{\phi _{X}^{t}(y)}$ , где $\phi _{X}^{t}$ это поток $X$ , $t\in \mathbb {R}$ и $y\in \mathrm {dom} (X)$ .

Как и в обычном случае, интегрируемое сингулярное распределение определяет сингулярное слоение , которое интуитивно состоит из разбиения $M$ на подмногообразия (максимальные целочисленные многообразия $\Delta$ ) разных размеров.

Определение особого слоения можно уточнить несколькими эквивалентными способами. На самом деле, в литературе существует множество вариаций, переформулировок и обобщений теоремы Стефана-Сассмана, использующих различное понятие сингулярных слоений, в зависимости от того, какие приложения имеются в виду, например, геометрия Пуассона. ^[10]^[11] или некоммутативная геометрия . ^[12]^[13]

Примеры [ править ]

Учитывая групповое действие группы Ли на многообразии $M$ , его бесконечно малые генераторы охватывают сингулярное распределение, которое всегда интегрируемо; листья ассоциированного особого слоения являются в точности орбитами действия группы. Распределение/слоение регулярно тогда и только тогда, когда действие свободно.
Учитывая многообразие Пуассона $(M,\pi )$ , образ $\pi ^{\sharp }=\iota _{\pi }:T^{*}M\to TM$ — сингулярное распределение, которое всегда интегрируемо; листья соответствующего особого слоения являются в точности симплектическими слоями $(M,\pi )$ . Распределение/слоение регулярно тогда и только тогда, когда многообразие Пуассона регулярно.
В более общем плане изображение якорной карты $\rho :A\to TM$ любого алгеброида Ли $A\to M$ определяет сингулярное распределение, которое автоматически интегрируется, а листья соответствующего сингулярного слоения являются в точности листьями алгеброида Ли. Распределение/слоение регулярно тогда и только тогда, когда $\rho$ имеет постоянный ранг, т. е. алгеброид Ли регулярен. Учитывая соответственно действие алгеброида Ли $M\times {\mathfrak {g}}$ и котангенс алгеброида Ли $T^{*}M$ , можно восстановить два приведенных выше примера.
В динамических системах сингулярное распределение возникает из набора векторных полей, коммутирующих с данным.
Есть также примеры и приложения в теории управления , где обобщенное распределение представляет бесконечно малые ограничения системы.

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Танака, Нобору (1 января 1970 г.). «О дифференциальных системах, градуированных алгебрах Ли и псевдогруппах» . Киотский математический журнал . 10 (1). дои : 10.1215/kjm/1250523814 . ISSN 2156-2261 .
^ Чоу, Вэй Лян (1 декабря 1940 г.). «О системах линейных уравнений в частных производных первого порядка» . Математические анналы (на немецком языке). 117 (1): 98–105. дои : 10.1007/BF01450011 . ISSN 1432-1807 . S2CID 121523670 .
^ Рашевский, П.К. (1938). «Любые две точки вполне неголономного пространства могут быть соединены допустимой линией». Уч. Зап. Пед. Инст. Я. Либкнехта, сер. Физ. Математика. (на русском). 2 : 83–94.
^ Энгель, Фридрих (1889). «К теории инвариантов систем уравнений Пфаффа». Лейпциг. Бер. (на немецком). 41 : 157-176.
^ Лавау, Сильвен (01 декабря 2018 г.). «Краткое руководство по теоремам интегрирования обобщенных распределений» . Дифференциальная геометрия и ее приложения . 61 : 42–58. arXiv : 1710.01627 . дои : 10.1016/j.difgeo.2018.07.005 . ISSN 0926-2245 . S2CID 119669163 .
^ Стефан, П. (1974). «Доступность и слоения с особенностями» . Бюллетень Американского математического общества . 80 (6): 1142–1145. дои : 10.1090/S0002-9904-1974-13648-7 . ISSN 0002-9904 .
^ Стефан, П. (1974). «Доступные множества, орбиты и слоения с особенностями» . Труды Лондонского математического общества . с3-29 (4): 699–713. дои : 10.1112/plms/s3-29.4.699 . ISSN 1460-244X .
^ Суссманн, Гектор Дж. (1973). «Орбиты семейств векторных полей и интегрируемость систем с особенностями» . Бюллетень Американского математического общества . 79 (1): 197–199. дои : 10.1090/S0002-9904-1973-13152-0 . ISSN 0002-9904 .
^ Суссманн, Гектор Дж. (1973). «Орбиты семейств векторных полей и интегрируемость распределений» . Труды Американского математического общества . 180 : 171–188. дои : 10.1090/S0002-9947-1973-0321133-2 . ISSN 0002-9947 .
^ Андрулидакис, Яковос; Замбон, Марко (28 апреля 2016 г.). «Особые слоения Стефана – Суссмана, особые субалгеброиды и связанные с ними пучки» . Международный журнал геометрических методов в современной физике . 13 (Приложение 1): 1641001–1641267. Бибкод : 2016IJGMM..1341001A . дои : 10.1142/S0219887816410012 . ISSN 0219-8878 .
^ Лоран-Жангу, Камилла; Лавау, Сильвен; Штробль, Томас (2020). «Универсальный ∞-алгеброид особого слоения» . ELibM – Док. Математика . 25 (2020): 1571–1652. дои : 10.25537/dm.2020v25.1571-1652 .
^ Дебор, Клэр (1 июля 2001 г.). «Группоиды голономии особых слоений» . Журнал дифференциальной геометрии . 58 (3). дои : 10.4310/jdg/1090348356 . ISSN 0022-040X . S2CID 54714044 .
^ Андрулидакис, Яковос; Скандалис, Жорж (1 января 2009 г.). «Группоид голономии особого слоения» . Журнал чистой и прикладной математики (Crelle's Journal) . 2009 (626): 1–37. arXiv : math/0612370 . дои : 10.1515/CRELLE.2009.001 . ISSN 1435-5345 . S2CID 14450917 .

Книги, конспекты лекций и внешние ссылки [ править ]

Уильям М. Бутби. Раздел IV. 8 в «Введении в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию» , Academic Press, Сан-Диего, Калифорния, 2003.
Джон М. Ли, глава 19 книги « Введение в гладкие многообразия» , тексты для аспирантов по математике, Springer-Verlag, 2003.
Ричард Монтгомери, главы 2, 4 и 6 книги « Экскурсия по субримановым геометриям, их геодезическим и приложениям» . Математические обзоры и монографии 91 . амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 2002.
Альваро дель Пино, Топологические аспекты изучения касательных распределений. Тексты по математике. Серия Б , 48 . Университет Коимбры, 2019.
«Инволютивное распределение» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

В эту статью включены материалы из источника Distribution на PlanetMath , который распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б Танака, Нобору (1 января 1970 г.). «О дифференциальных системах, градуированных алгебрах Ли и псевдогруппах» . Киотский математический журнал . 10 (1). дои : 10.1215/kjm/1250523814 . ISSN 2156-2261 .

[2] Чоу, Вэй Лян (1 декабря 1940 г.). «О системах линейных уравнений в частных производных первого порядка» . Математические анналы (на немецком языке). 117 (1): 98–105. дои : 10.1007/BF01450011 . ISSN 1432-1807 . S2CID 121523670 .

[3] Рашевский, П.К. (1938). «Любые две точки вполне неголономного пространства могут быть соединены допустимой линией». Уч. Зап. Пед. Инст. Я. Либкнехта, сер. Физ. Математика. (на русском). 2 : 83–94.

[4] Энгель, Фридрих (1889). «К теории инвариантов систем уравнений Пфаффа». Лейпциг. Бер. (на немецком). 41 : 157-176.

[5] Лавау, Сильвен (01 декабря 2018 г.). «Краткое руководство по теоремам интегрирования обобщенных распределений» . Дифференциальная геометрия и ее приложения . 61 : 42–58. arXiv : 1710.01627 . дои : 10.1016/j.difgeo.2018.07.005 . ISSN 0926-2245 . S2CID 119669163 .

[6] Стефан, П. (1974). «Доступность и слоения с особенностями» . Бюллетень Американского математического общества . 80 (6): 1142–1145. дои : 10.1090/S0002-9904-1974-13648-7 . ISSN 0002-9904 .

[7] Стефан, П. (1974). «Доступные множества, орбиты и слоения с особенностями» . Труды Лондонского математического общества . с3-29 (4): 699–713. дои : 10.1112/plms/s3-29.4.699 . ISSN 1460-244X .

[8] Суссманн, Гектор Дж. (1973). «Орбиты семейств векторных полей и интегрируемость систем с особенностями» . Бюллетень Американского математического общества . 79 (1): 197–199. дои : 10.1090/S0002-9904-1973-13152-0 . ISSN 0002-9904 .

[9] Суссманн, Гектор Дж. (1973). «Орбиты семейств векторных полей и интегрируемость распределений» . Труды Американского математического общества . 180 : 171–188. дои : 10.1090/S0002-9947-1973-0321133-2 . ISSN 0002-9947 .

[10] Андрулидакис, Яковос; Замбон, Марко (28 апреля 2016 г.). «Особые слоения Стефана – Суссмана, особые субалгеброиды и связанные с ними пучки» . Международный журнал геометрических методов в современной физике . 13 (Приложение 1): 1641001–1641267. Бибкод : 2016IJGMM..1341001A . дои : 10.1142/S0219887816410012 . ISSN 0219-8878 .

[11] Лоран-Жангу, Камилла; Лавау, Сильвен; Штробль, Томас (2020). «Универсальный ∞-алгеброид особого слоения» . ELibM – Док. Математика . 25 (2020): 1571–1652. дои : 10.25537/dm.2020v25.1571-1652 .

[12] Дебор, Клэр (1 июля 2001 г.). «Группоиды голономии особых слоений» . Журнал дифференциальной геометрии . 58 (3). дои : 10.4310/jdg/1090348356 . ISSN 0022-040X . S2CID 54714044 .

[13] Андрулидакис, Яковос; Скандалис, Жорж (1 января 2009 г.). «Группоид голономии особого слоения» . Журнал чистой и прикладной математики (Crelle's Journal) . 2009 (626): 1–37. arXiv : math/0612370 . дои : 10.1515/CRELLE.2009.001 . ISSN 1435-5345 . S2CID 14450917 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]