Расслоение алгебры Ли

В математике слабое расслоение алгебры Ли

$\xi =(\xi ,p,X,\theta )\,$

расслоение векторное $\xi \,$ над базовым пространством X вместе с морфизмом

$\theta :\xi \otimes \xi \rightarrow \xi$

что индуцирует структуру алгебры Ли на каждом слое $\xi _{x}\,$.

Расслоение алгебры Ли $\xi =(\xi ,p,X)\,$представляет собой векторное расслоение, в котором каждый слой является алгеброй Ли и для каждого x в X существует открытое множество $U$ содержащий x , алгебру Ли L и гомеоморфизм

$\phi :U\times L\to p^{-1}(U)\,$

такой, что

$\phi _{x}:x\times L\rightarrow p^{-1}(x)\,$

является изоморфизмом алгебры Ли.

Любое расслоение алгебры Ли является слабым расслоением алгебры Ли, но обратное, вообще говоря, не обязательно верно.

В качестве примера слабого расслоения алгебры Ли, которое не является сильным расслоением алгебры Ли, рассмотрим тотальное пространство ${\mathfrak {so}}(3)\times \mathbb {R}$ по реальной линии $\mathbb {R}$. Пусть [.,.] обозначает скобку Ли ${\mathfrak {so}}(3)$ и деформируем его по реальному параметру как:

$[X,Y]_{x}=x\cdot [X,Y]$

для $X,Y\in {\mathfrak {so}}(3)$ и $x\in \mathbb {R}$.

Третья теорема Ли утверждает, что любой пучок алгебр Ли можно локально интегрировать в пучок групп Ли. В целом в глобальном масштабе общее пространство может не соответствовать Хаусдорфу . Но если все слои реального расслоения алгебр Ли над топологическим пространством взаимно изоморфны как алгебры Ли, то это локально тривиальное расслоение алгебр Ли. Этот результат был доказан путем доказательства того, что действительная орбита вещественной точки под действием алгебраической группы открыта в вещественной части ее комплексной орбиты. Предположим, что базовое пространство является хаусдорфовым, а слои тотального пространства изоморфны алгебрам Ли, тогда существует расслоение хаусдорфовой группы Ли над тем же базовым пространством, расслоение алгебры Ли которого изоморфно данному расслоению алгебр Ли. Каждое полупростое расслоение алгебры Ли локально тривиально. Следовательно, над тем же базовым пространством существует расслоение хаусдорфовой группы Ли, расслоение алгебры Ли которого изоморфно данному расслоению алгебры Ли.

См. также

• Пакет алгебры
• Присоединенный пучок

Ссылки

• Дуади, Адриан; Лазар, Мишель (1966). «Расслоенные пространства в алгебрах и группах Ли». Математические изобретения . 1 (2): 133–151. дои : 10.1007/BF01389725 .
• Киранаги, бакалавр наук; Кумар, Ранджита; Према, Г. (2015). «О вполне полупростых расслоениях алгебр Ли». Журнал алгебры и ее приложений . 14 (2): 1550009. doi : 10.1142/S0219498815500097 .