Теорема вложения Уитни

В математике , особенно в дифференциальной топологии , есть две теоремы вложения Уитни, названные в честь Хасслера Уитни :

Сильная теорема вложения Уитни утверждает, что любое гладкое вещественное $m$ - мерное многообразие (которое также должно быть хаусдорфовым и счетным по секундам ) может быть гладко вложено в вещественное $2 m$ -пространство . $\mathbb {R} ^{2m},$ если $м > 0$ . Это лучшая линейная оценка наименьшего размерного евклидова пространства, $все m$ в которое вложены -мерные многообразия, поскольку вещественные проективные пространства размерности $m$ не могут быть вложены в реальное $(2 m - 1)$ -пространство, если $m$ является степенью двойки. (как видно из характерного классового аргумента, также принадлежащего Уитни).
Слабая теорема вложения Уитни утверждает, что любая непрерывная функция из $n$ -мерного многообразия в $m$ -мерное многообразие может быть аппроксимирована гладким вложением при условии, что $m > 2 n$ . Уитни аналогичным образом доказала, что такое отображение можно аппроксимировать погружением при условии $m > 2 n - 1$ . Этот последний результат иногда называют теоремой погружения Уитни .

О доказательстве [ править ]

Слабая вложения теорема

Слабое вложение Уитни доказывается с помощью проекционного аргумента.

Когда многообразие компактно , можно сначала использовать покрытие конечным числом локальных карт, а затем уменьшить размерность с помощью подходящих проекций. ^[1]^{: Ч. 1 §3}^[2]^{: Ч. 6}^[3]^{: Ч. 5 §3}

Сильная вложения теорема

Общая схема доказательства состоит в том, чтобы начать с погружения $f:M\to \mathbb {R} ^{2m}$ с поперечными самопересечениями. Их существование известно из более ранних работ Уитни по теореме слабого погружения . Трансверсальность двойных точек следует из аргументов общего положения. Идея состоит в том, чтобы потом каким-то образом убрать все самопересечения. Если $M$ имеет границу, можно удалить самопересечения, просто изотопируя $M$ в себя (изотопия находится в области $f$ ) в подмногообразие $M$ , которое не содержит двойных точек. Таким образом, мы быстро приходим к случаю, когда $M$ не имеет границы. Иногда невозможно удалить двойные точки с помощью изотопии — рассмотрим, например, погружение круга в плоскость в форме восьмерки. В этом случае необходимо ввести локальную двойную точку.

Представляем двойную точку.

Если у человека есть две противоположные двойные точки, он создает замкнутый контур, соединяющий их, образуя замкнутый путь в $\mathbb {R} ^{2m}.$ С $\mathbb {R} ^{2m}$ односвязен , можно считать, что этот путь ограничивает диск, а при условии $2 m > 4$ можно далее предположить (по слабой теореме вложения Уитни ), что диск вложен в $\mathbb {R} ^{2m}$ такой, что он пересекает образ $M$ только на его границе. Затем Уитни использует диск для создания однопараметрического семейства погружений, фактически перемещая $M$ по диску, удаляя при этом две двойные точки. В случае погружения в форме восьмерки с введенной двойной точкой перемещение поперек довольно простое (на фото).

Отмена противоположных двойных точек.

Этот процесс устранения двойных точек противоположного знака путем перемещения многообразия по диску называется трюком Уитни .

Чтобы ввести локальную двойную точку, Уитни создала погружения. $\alpha _{m}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{2m}$ которые приблизительно линейны вне единичного шара, но содержат одну двойную точку. Для $m = 1$ такое погружение определяется выражением

{\begin{cases}\alpha :\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{2}\\\alpha (t)=\left({\frac {1}{1+t^{2}}},\ t-{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)\end{cases}}

Обратите внимание, что если $α$ рассматривать как отображение в $\mathbb {R} ^{3}$ вот так:

\alpha (t)=\left({\frac {1}{1+t^{2}}},\ t-{\frac {2t}{1+t^{2}}},0\right)

тогда двойную точку можно разрешить вложением:

\beta (t,a)=\left({\frac {1}{(1+t^{2})(1+a^{2})}},\ t-{\frac {2t}{(1+t^{2})(1+a^{2})}},\ {\frac {ta}{(1+t^{2})(1+a^{2})}}\right).

Обратите внимание: $(t, 0) = α(t)$ , а для $a \neq 0$ тогда как функция от $t$ β $β(t, a)$ является вложением.

Для более высоких размерностей $m$ существуют $α m$ , которые можно решить аналогичным образом в $\mathbb {R} ^{2m+1}.$ Для встраивания в $\mathbb {R} ^{5},$ например, определить

\alpha _{2}(t_{1},t_{2})=\left(\beta (t_{1},t_{2}),\ t_{2}\right)=\left({\frac {1}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ t_{1}-{\frac {2t_{1}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ {\frac {t_{1}t_{2}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}},\ t_{2}\right).

Этот процесс в конечном итоге приводит к определению:

\alpha _{m}(t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m})=\left({\frac {1}{u}},t_{1}-{\frac {2t_{1}}{u}},{\frac {t_{1}t_{2}}{u}},t_{2},{\frac {t_{1}t_{3}}{u}},t_{3},\cdots ,{\frac {t_{1}t_{m}}{u}},t_{m}\right),

где

u=(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})\cdots (1+t_{m}^{2}).

Ключевыми свойствами $α m$ является то, что это вложение, за исключением двойной точки $α m (1, 0, ..., 0) = α m (-1, 0, ..., 0)$ . Более того, для $|(т 1, ... , т м)|$ большой, это примерно линейное вложение $(0, t 1, 0, t 2, ... , 0, t m )$ .

трюка последствия Возможные Уитни

Уловка Уитни была использована Стивеном Смейлом для доказательства теоремы о h -кобордизме ; откуда следует гипотеза Пуанкаре в размерностях $m \geq 5$ и классификация гладких структур на дисках (также в размерностях 5 и выше). Это обеспечивает основу для теории хирургии , которая классифицирует многообразия в размерности 5 и выше.

Учитывая два ориентированных подмногообразия дополнительных размерностей в односвязном многообразии размерности ≥ 5, можно применить изотопию к одному из подмногообразий так, чтобы все точки пересечения имели одинаковый знак.

История [ править ]

Говорят (довольно неожиданно) , что доказательство Хасслером Уитни теоремы вложения для гладких многообразий стало первым полным изложением концепции многообразия именно потому, что оно объединило и объединило различные концепции многообразий того времени: уже не существовала ли какая-либо путаница относительно того, были ли абстрактные многообразия, внутренне определенные с помощью карт, более или менее общими, чем многообразия, внешне определяемые как подмногообразия евклидова пространства. См. также историю многообразий и разновидностей для контекста.

Более четкие результаты [ править ]

Хотя каждое $n$ -многообразие вкладывается в $\mathbb {R} ^{2n},$ часто можно добиться большего. Обозначим через $e (n)$ наименьшее целое число, при котором все компактные связные $n$ -многообразия вкладываются в $\mathbb {R} ^{e(n)}.$ Сильная теорема вложения Уитни утверждает, что $e (n) \leq 2 n$ . Для $n = 1, 2$ имеем $e (n) = 2n,$ как показывают окружность и бутылка Клейна . В более общем смысле, для $n = 2 к$ у нас есть $e (n) = 2 n$ , так как $2 к$ трехмерное настоящее проективное космическое шоу. Результат Уитни можно улучшить до $e (n) \leq 2 n - 1$ , если только $n$ не является степенью 2. Это результат Андре Хефлигера и Морриса Хирша (для $n > 4$ ) и CTC Wall (для $n = 3$ ); эти авторы использовали важные предварительные результаты и частные случаи, доказанные Хиршем, Уильямом С. Мэсси , Сергеем Новиковым и Владимиром Рохлиным . ^[4] В настоящее время функция $е$ не известна в замкнутой форме для всех целых чисел (ср. с теоремой погружения Уитни , где известно аналогичное число).

Ограничения на коллекторы [ править ]

Усилить результаты можно, наложив на многообразие дополнительные ограничения. Например, $n$ -сфера всегда вложена в $\mathbb {R} ^{n+1}$ – что является наилучшим из возможных (замкнутые $n$ -многообразия не могут вкладываться в $\mathbb {R} ^{n}$ ). Любая компактная ориентируемая поверхность и любая компактная поверхность с непустой границей вкладывается в $\mathbb {R} ^{3},$ хотя любая закрытая неориентируемая поверхность нуждается $\mathbb {R} ^{4}.$

Если $N$ — компактное ориентируемое $n$ -мерное многообразие, то $N$ вкладывается в $\mathbb {R} ^{2n-1}$ (для $n,$ не являющегося степенью 2, условие ориентируемости является излишним). Для $n$ степени 2 это результат Андре Хэфлигера и Морриса Хирша (для $n > 4$ ) и Фуцюань Фанга (для $n = 4$ ); эти авторы использовали важные предварительные результаты, доказанные Жаком Боэша и Хефлигером, Саймоном Дональдсоном , Хиршем и Уильямом С. Мэсси . ^[4] Хефлигер доказал, что если $N$ — компактное $n$ -мерное $k$ -связное многообразие, то $N$ вкладывается в $\mathbb {R} ^{2n-k}$ при условии $2 k + 3 \leq n$ . ^[4]

Изотопические версии [ править ]

Относительно «простой» результат — доказать, что любые два вложения 1-многообразия в $\mathbb {R} ^{4}$ изотопны (см. Теория узлов#Высшие измерения ). Это доказывается с помощью общего положения, которое также позволяет показать, что любые два вложения $n$ -многообразия в $\mathbb {R} ^{2n+2}$ являются изотопными. Этот результат представляет собой изотопическую версию слабой теоремы вложения Уитни.

Ву доказал, что при $n \geq 2$ любые два вложения $n$ -многообразия в $\mathbb {R} ^{2n+1}$ являются изотопными. Этот результат представляет собой изотопическую версию сильной теоремы вложения Уитни.

В качестве изотопической версии своего результата о вложении Хэфлигер доказал, что если $N$ — компактное $n$ -мерное $k$ -связное многообразие, то любые два вложения $N$ в $\mathbb {R} ^{2n-k+1}$ изотопны при условии, что $2 k + 2 \leq n$ . Ограничение размерности $2 k + 2 \leq n$ является точным: Хефлигер далее привел примеры нетривиально вложенных 3-сфер в $\mathbb {R} ^{6}$ (и, в более общем плане, $(2 d - 1)$ -сферы в $\mathbb {R} ^{3d}$ ). См. дальнейшие обобщения .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Хирш, Моррис В. (1976). Дифференциальная топология . Дипломные тексты по математике. Нью-Йорк Гейдельберг Берлин: Springer . ISBN 978-1-4684-9449-5 .
^ Ли, Джон М. (2013). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике (2-е изд.). Нью-Йорк ; Лондон: Спрингер. ISBN 978-1-4419-9981-8 . OCLC 800646950 .
^ Прасолов, Виктор Васильевич (2006). Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии . Провиденс: Американское математическое общество . ISBN 978-1-4704-1153-4 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с См. раздел 2 Скопенкова (2008).

Ссылки [ править ]

Уитни, Хасслер (1992), Иллс, Джеймс ; Толедо, Доминго (ред.), Сборник статей , Бостон: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3560-2
Милнор, Джон (1965), Лекции по теореме h -кобордизма , Princeton University Press
Адачи, Масахиса (1993), Вложения и погружения , перевод Хадсона, Кики, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-4612-4
Скопенков, Аркадий (2008), «Вложение и завязывание многообразий в евклидовых пространствах», Николас Янг; Йемон Чой (ред.), Обзоры по современной математике , London Math. Соц. Лект. Примечания., вып. 347, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , стр. 248–342, arXiv : math/0604045 , Bibcode : 2006math......4045S , MR 2388495

Внешние ссылки [ править ]

Классификация вложений

[Hirsch-1] Хирш, Моррис В. (1976). Дифференциальная топология . Дипломные тексты по математике. Нью-Йорк Гейдельберг Берлин: Springer . ISBN 978-1-4684-9449-5 .

[2] Ли, Джон М. (2013). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике (2-е изд.). Нью-Йорк ; Лондон: Спрингер. ISBN 978-1-4419-9981-8 . OCLC 800646950 .

[3] Прасолов, Виктор Васильевич (2006). Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии . Провиденс: Американское математическое общество . ISBN 978-1-4704-1153-4 .

[skopenkov2-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с См. раздел 2 Скопенкова (2008).

[1]

[2]

[3]

[4]