Теорема Такенса

При изучении динамических систем теорема вложения задержки дает условия, при которых хаотическая динамическая система может быть восстановлена из последовательности наблюдений состояния этой системы. Реконструкция сохраняет свойства динамической системы, не изменяющиеся при плавных изменениях координат (т. е. диффеоморфизмы ), но не сохраняет геометрическую форму структур в фазовом пространстве .

Теорема Такенса задержки 1981 года о вложении — это теорема Флориса Такенса . Он обеспечивает условия, при которых гладкий аттрактор может быть восстановлен на основе наблюдений, сделанных с помощью общей функции. Более поздние результаты заменили гладкий аттрактор набором произвольной размерности счета ящиков , а класс общих функций - другими классами функций.

Это наиболее часто используемый метод реконструкции аттрактора . ^{[ 1 ]}

Теоремы вложения задержки проще сформулировать для дискретные динамические системы . Пространством состояний динамической системы является $ν$ мерное многообразие $M.$ - Динамика задается плавной картой

f:M\to M.

Предположим, что динамика $f$ имеет странный аттрактор $A\subset M$ с счетным размером коробки $d A$ . Используя идеи теоремы вложения Уитни , $A$ можно вложить в $k$ -мерное евклидово пространство с помощью

k>2d_{A}.

То есть существует диффеоморфизм $φ$ , который отображает $A$ в $\mathbb {R} ^{k}$ такой, что φ имеет $производная$ полный ранг .

Теорема о вложении задержки использует функцию наблюдения для построения функции вложения. Функция наблюдения $\alpha :M\to \mathbb {R}$ должно быть дважды дифференцируемым и любой точке аттрактора $A$ сопоставлять действительное число . Он также должен быть типичным , чтобы его производная имела полный ранг и не имела особых симметрий в своих компонентах. Теорема о вложении задержки утверждает, что функция

\varphi _{T}(x)={\bigl (}\alpha (x),\,\alpha (f(x)),\,\dots ,\,\alpha (f^{k-1}(x))\,{\bigr )}

является вложением странного аттрактора $A$ в $\mathbb {R} ^{k}.$

Упрощенная версия

Предположим, $d$ -мерный вектор состояния $x_{t}$ развивается согласно неизвестному, но непрерывному и (что особенно важно) детерминистская динамика. Предположим также, что одномерная наблюдаемая $y$ является гладкой функцией $x$ и «связанный» ко всем компонентам $x$ . Теперь в любой момент мы можем посмотреть не просто настоящее измерение $y(t)$ , но и при наблюдениях, сделанных время от времени удалено от нас кратно некоторому лагу $\tau :y_{t+\tau },y_{t+2\tau }$ и т. д. Если мы используем $k$ отстает, у нас есть $k$ -мерный вектор. Можно было бы ожидать, что, поскольку количество лагов увеличивается, движение в лагированном пространстве станет все более предсказуемо и возможно в пределе $k\to \infty$ стал бы детерминированный. Фактически, динамика запаздывающих векторов становится детерминированный в конечном измерении; не только это, но и детерминистический динамика полностью эквивалентна динамике исходного пространства состояний (а именно, они связаны плавным обратимым изменением координат, или диффеоморфизм). Фактически, теорема утверждает, что детерминизм появляется, когда вы достигаете размерности. $2d+1$ , а минимальная размерность вложения часто меньше. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Выбор задержки

Теорема Такенса обычно используется для восстановления странных аттракторов на основе экспериментальных данных, в которых присутствует загрязнение шумом. Таким образом, выбор времени задержки становится важным. В то время как для данных без шума допустим любой выбор задержки, для зашумленных данных аттрактор будет разрушен шумом при неудачно выбранных задержках.

Оптимальная задержка обычно составляет от одной десятой до половины среднего периода обращения вокруг аттрактора. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

См. также

Ссылки

^ Зауэр, Тимоти Д. (24 октября 2006 г.). «Реконструкция аттрактора» . Схоларпедия . 1 (10): 1727. Бибкод : 2006SchpJ...1.1727S . doi : 10.4249/scholarpedia.1727 . ISSN 1941-6016 .
^ Шализи, Косма Р. (2006). «Методы и техники науки о сложных системах: обзор». В Дейсбоке, Томасе С.; Креш, Я.Яша (ред.). Наука о сложных системах в биомедицине . Темы международной серии книг по биомедицинской инженерии. Спрингер США. стр. 33 –114. arXiv : nlin/0307015 . дои : 10.1007/978-0-387-33532-2_2 . ISBN 978-0-387-30241-6 . S2CID 11972113 .
^ Бараньский, Кшиштоф; Гутман, Йонатан; Шпивак, Адам (01 сентября 2020 г.). «Вероятностная теорема Такенса» . Нелинейность . 33 (9): 4940–4966. arXiv : 1811.05959 . Бибкод : 2020Nonli..33.4940B . дои : 10.1088/1361-6544/ab8fb8 . ISSN 0951-7715 . S2CID 119137065 .
^ Строгац, Стивен (2015). «12.4 Химический хаос и реконструкция аттрактора». Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике (Второе изд.). Боулдер, Колорадо, ISBN 978-0-8133-4910-7 . OCLC 842877119 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Фрейзер, Эндрю М.; Суинни, Гарри Л. (1 февраля 1986 г.). «Независимые координаты странных аттракторов от взаимной информации» . Физический обзор А. 33 (2): 1134–1140. Бибкод : 1986PhRvA..33.1134F . дои : 10.1103/PhysRevA.33.1134 . ПМИД 9896728 .

Дальнейшее чтение

Н. Паккард , Дж. Кратчфилд , Д. Фармер и Р. Шоу (1980). «Геометрия из временного ряда». Письма о физических отзывах . 45 (9): 712–716. Бибкод : 1980PhRvL..45..712P . дои : 10.1103/PhysRevLett.45.712 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Ф. Такенс (1981). «Обнаружение странных аттракторов в турбулентности». У Д.А. Рэнда и Л.-С. Янг (ред.). Динамические системы и турбулентность, Конспект лекций по математике, вып. 898 . Спрингер-Верлаг. стр. 366–381.
Р. Манье (1981). «О размерности компактных инвариантных множеств некоторых нелинейных отображений». У Д.А. Рэнда и Л.-С. Янг (ред.). Динамические системы и турбулентность, Конспект лекций по математике, вып. 898 . Спрингер-Верлаг. стр. 230–242.
Г. Сугихара и Р. М. Мэй (1990). «Нелинейное прогнозирование как способ отличить хаос от ошибки измерения во временных рядах». Природа . 344 (6268): 734–741. Бибкод : 1990Natur.344..734S . дои : 10.1038/344734a0 . ПМИД 2330029 . S2CID 4370167 .
Тим Зауэр , Джеймс А. Йорк и Мартин Касдагли (1991). «Эмбедология». Журнал статистической физики . 65 (3–4): 579–616. Бибкод : 1991JSP....65..579S . дои : 10.1007/BF01053745 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Г. Сугихара (1994). «Нелинейное прогнозирование для классификации естественных временных рядов». Фил. Пер. Р. Сок. Лонд. А. 348 (1688): 477–495. Бибкод : 1994RSPTA.348..477S . дои : 10.1098/rsta.1994.0106 . S2CID 121604829 .
П.А. Диксон, М.Дж. Миличич и Г. Сугихара (1999). «Эпизодические колебания количества личинок». Наука . 283 (5407): 1528–1530. Бибкод : 1999Sci...283.1528D . дои : 10.1126/science.283.5407.1528 . ПМИД 10066174 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Г. Сугихара , М. Касдагли, Э. Хабьян, Д. Хесс, П. Диксон и Г. Холланд (1999). «Карты остаточной задержки раскрывают глобальные закономерности атмосферной нелинейности и позволяют улучшить локальные прогнозы» . ПНАС . 96 (25): 210–215. Бибкод : 1999PNAS...9614210S . дои : 10.1073/pnas.96.25.14210 . ПМК 24416 . ПМИД 10588685 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
К. Се; Глейзер, С.М.; Лукас, Эй Джей; Сугихара, Дж. (2005). «Отличие случайных колебаний окружающей среды от экологических катастроф для северной части Тихого океана». Природа . 435 (7040): 336–340. Бибкод : 2005Natur.435..336H . дои : 10.1038/nature03553 . ПМИД 15902256 . S2CID 2446456 .
Р.А. Риос, Л. Пэрротт, Х. Ланге и РФ де Мелло (2015). «Оценка степени детерминизма для обнаружения закономерностей в наборах геопространственных данных». Дистанционное зондирование окружающей среды . 156 : 11–20. Бибкод : 2015RSEnv.156...11R . дои : 10.1016/j.rse.2014.09.019 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

Внешние ссылки

[1] Продукт ChaosKit от Scientio использует встраивание для создания анализа и прогнозов. Доступ осуществляется онлайн через веб-сервис и графический интерфейс.
[2] Инструменты эмпирического динамического моделирования pyEDM и rEDM используют встраивание для анализа, прогнозирования и причинно-следственных связей.

[1] Зауэр, Тимоти Д. (24 октября 2006 г.). «Реконструкция аттрактора» . Схоларпедия . 1 (10): 1727. Бибкод : 2006SchpJ...1.1727S . doi : 10.4249/scholarpedia.1727 . ISSN 1941-6016 .

[2] Шализи, Косма Р. (2006). «Методы и техники науки о сложных системах: обзор». В Дейсбоке, Томасе С.; Креш, Я.Яша (ред.). Наука о сложных системах в биомедицине . Темы международной серии книг по биомедицинской инженерии. Спрингер США. стр. 33 –114. arXiv : nlin/0307015 . дои : 10.1007/978-0-387-33532-2_2 . ISBN 978-0-387-30241-6 . S2CID 11972113 .

[3] Бараньский, Кшиштоф; Гутман, Йонатан; Шпивак, Адам (01 сентября 2020 г.). «Вероятностная теорема Такенса» . Нелинейность . 33 (9): 4940–4966. arXiv : 1811.05959 . Бибкод : 2020Nonli..33.4940B . дои : 10.1088/1361-6544/ab8fb8 . ISSN 0951-7715 . S2CID 119137065 .

[4] Строгац, Стивен (2015). «12.4 Химический хаос и реконструкция аттрактора». Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике (Второе изд.). Боулдер, Колорадо, ISBN 978-0-8133-4910-7 . OCLC 842877119 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[5] Фрейзер, Эндрю М.; Суинни, Гарри Л. (1 февраля 1986 г.). «Независимые координаты странных аттракторов от взаимной информации» . Физический обзор А. 33 (2): 1134–1140. Бибкод : 1986PhRvA..33.1134F . дои : 10.1103/PhysRevA.33.1134 . ПМИД 9896728 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]