Форма

Форма — это графическое представление формы объекта или его внешней границы, контура или внешней поверхности . Он отличается от других свойств объекта, таких как цвет , текстура или тип материала . В геометрии форма исключает объекта информацию о местоположении , масштабе , ориентации и отражении . ^[1] Фигура фигура — это представление, включающее в себя как форму, так и размер (как, например, Земли ).

или Плоская фигура плоская фигура должны лежать на плоскости , в отличие от сплошных трехмерных фигур. или Двумерная форма двумерная фигура (также: 2D-форма или 2D-фигура ) может лежать на более общей изогнутой поверхности (неевклидово двумерное пространство).

Классификация простых форм [ править ]

Некоторые простые формы можно отнести к широким категориям. Например, многоугольники классифицируются в зависимости от количества ребер на треугольники , четырехугольники , пятиугольники и т. д. Каждый из них делится на более мелкие категории; треугольники могут быть равносторонними , равнобедренными , тупыми , острыми , разносторонними и т. д., а четырехугольники могут быть прямоугольниками , ромбами , трапециями , квадратами и т. д.

Другими распространенными формами являются точки , линии , плоскости и конические сечения , такие как эллипсы , круги и параболы .

Среди наиболее распространенных трехмерных фигур — многогранники , представляющие собой фигуры с плоскими гранями; эллипсоиды , представляющие собой объекты яйцевидной или сферической формы; цилиндры ; и конусы .

Если объект точно или даже приблизительно попадает в одну из этих категорий, мы можем использовать ее для описания формы объекта. Таким образом, мы говорим, что форма крышки люка представляет собой диск , поскольку это примерно тот же геометрический объект, что и реальный геометрический диск.

В геометрии [ править ]

Набор геометрических фигур в двух измерениях: параллелограмм , треугольник и круг.

Геометрическая форма состоит из геометрической информации, которая остается, когда местоположение , масштаб , ориентация и отражение удаляются из описания геометрического объекта . ^[1] То есть результатом перемещения фигуры, ее увеличения, вращения или отражения в зеркале является та же форма, что и оригинал, а не отдельная форма.

Многие двумерные геометрические фигуры могут определяться набором точек или вершин и линий , соединяющих точки в замкнутую цепочку, а также результирующих внутренних точек. Такие фигуры называются многоугольниками и включают треугольники , квадраты и пятиугольники . Другие фигуры могут быть ограничены кривыми , например кругом или эллипсом . Многие трехмерные геометрические фигуры могут быть определены набором вершин, линий, соединяющих вершины, и двумерных граней , заключенных в эти линии, а также результирующих внутренних точек. Такие фигуры называются многогранниками. и включать кубы , а также пирамиды , такие как тетраэдры . Другие трехмерные формы могут быть ограничены изогнутыми поверхностями, например эллипсоид и сфера .

Фигура называется выпуклой, если все точки отрезка между любыми двумя ее точками также являются частью фигуры.

Свойства [ править ]

Есть несколько способов сравнить формы двух объектов:

Конгруэнтность : два объекта конгруэнтны , если один может быть преобразован в другой с помощью последовательности вращений, перемещений и/или отражений.
Сходство : два объекта похожи , если один может быть преобразован в другой посредством равномерного масштабирования вместе с последовательностью вращений, перемещений и/или отражений.
Изотопия : два объекта являются изотопными, если один может быть преобразован в другой с помощью последовательности деформаций , которые не разрывают объект и не создают в нем дыр.

Фигуры, изображенные одним цветом, имеют одинаковую форму и называются подобными.

Иногда два похожих или конгруэнтных объекта можно рассматривать как имеющие разную форму, если для преобразования одного в другой требуется отражение. Например, буквы « b » и « d » являются отражением друг друга, и, следовательно, они конгруэнтны и похожи, но в некоторых контекстах они не считаются имеющими одинаковую форму. Иногда считается, что только контур или внешняя граница объекта определяют его форму. Например, можно считать, что полая сфера имеет ту же форму, что и твердая сфера. Анализ Прокруста используется во многих науках для определения того, имеют ли два объекта одинаковую форму, или для измерения разницы между двумя формами. В высшей математике квазиизометрию можно использовать как критерий, позволяющий утверждать, что две формы примерно одинаковы.

Простые формы часто можно разделить на основные геометрические объекты, такие как точка , линия , кривая , плоскость , плоская фигура (например, квадрат или круг ) или объемная фигура (например, куб или сфера ). Однако большинство форм, встречающихся в физическом мире, сложны. Некоторые из них, такие как растительные структуры и береговые линии, могут быть настолько сложными, что бросают вызов традиционному математическому описанию – и в этом случае их можно анализировать с помощью дифференциальной геометрии или как фракталы .

Некоторые распространенные формы включают: круг , квадрат , треугольник , прямоугольник , овал , звезду (многоугольник) , ромб , полукруг . Правильные многоугольники, начинающиеся с пятиугольника, соответствуют соглашению об именах греческого префикса с суффиксом «-gon»: пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник, нонагон, декагон... См. многоугольник.

Эквивалентность форм [ править ]

В геометрии два подмножества евклидова пространства имеют одинаковую форму, если одно можно преобразовать в другое с помощью комбинации сдвигов , вращений (вместе также называемых жесткими преобразованиями ) и равномерного масштабирования . Другими словами, форма набора точек — это вся геометрическая информация, инвариантная к перемещениям, вращениям и изменениям размера. Наличие одинаковой формы является отношением эквивалентности , и, соответственно, точное математическое определение понятия формы может быть дано как класс эквивалентности подмножеств евклидова пространства, имеющих одинаковую форму.

Математик и статистик Дэвид Джордж Кендалл пишет: ^[2]

В этой статье слово «форма» используется в вульгарном смысле и означает то, что обычно можно было бы ожидать. [...] Здесь мы неформально определяем «форму» как «всю геометрическую информацию, которая остается, когда местоположение, масштаб ^[3] и эффекты вращения объекта отфильтровываются».

Формы физических объектов равны, если подмножества пространства, занимаемые этими объектами, удовлетворяют приведенному выше определению. В частности, форма не зависит от размера и размещения в пространстве объекта. Например, « d » и « p » имеют одинаковую форму, поскольку они могут идеально накладываться друг на друга, если « d » переместить вправо на заданное расстояние, повернуть вверх ногами и увеличить на заданный коэффициент (см. Прокруст) . наложение для деталей). Однако зеркальным изображением можно было бы назвать и другую форму. Например, буквы « b » и « p » имеют разную форму, по крайней мере, когда они вынуждены перемещаться в двухмерном пространстве, например, на странице, на которой они написаны. Несмотря на то, что они имеют одинаковый размер, невозможно идеально наложить их друг на друга, переводя и вращая по странице. Точно так же в трехмерном пространстве правая и левая руки имеют разную форму, даже если они являются зеркальными отражениями друг друга. Формы могут измениться, если объект масштабируется неравномерно. Например, сфера становится эллипсоидом при различном масштабировании в вертикальном и горизонтальном направлениях. Другими словами, сохранение осей симметрии (если они существуют) важно для сохранения форм. Кроме того, форма определяется только внешней границей объекта.

Сходство и сходство [ править ]

Объекты, которые можно преобразовать друг в друга посредством жестких преобразований и зеркального отражения (но не масштабирования), конгруэнтны . Таким образом, объект соответствует своему зеркальному изображению (даже если он не симметричен), но не масштабированной версии. Два конгруэнтных объекта всегда имеют одинаковую форму или зеркальное отображение и одинаковый размер.

Объекты, имеющие одинаковую форму или зеркальное отображение, называются геометрически подобными , независимо от того, имеют ли они одинаковый размер или нет. Таким образом, объекты, которые можно трансформировать друг в друга с помощью жестких преобразований, зеркального отображения и равномерного масштабирования, подобны. Сходство сохраняется, когда один из объектов масштабируется равномерно, а конгруэнтность — нет. Таким образом, конгруэнтные объекты всегда геометрически подобны, но подобные объекты могут не быть конгруэнтными, так как могут иметь разные размеры.

Гомеоморфизм [ править ]

Более гибкое определение формы учитывает тот факт, что реалистичные формы часто деформируются, например, человек в разных позах, дерево, склоняющееся на ветру, или рука с разными положениями пальцев.

Одним из способов моделирования нежестких движений является использование гомеоморфизмов . Грубо говоря, гомеоморфизм — это непрерывное растяжение и изгибание объекта в новую форму. Таким образом, квадрат и круг гомеоморфны друг другу, а сфера и бублик — нет. Часто повторяемая математическая шутка заключается в том, что топологи не могут отличить чашку кофе от пончика. ^[4] поскольку достаточно гибкому пончику можно было придать форму кофейной чашки, создав ямку и постепенно увеличивая ее, сохраняя при этом отверстие для пончика в ручке чашки.

Описываемая форма имеет внешние линии, которые вы можете видеть и составлять форму. Если бы вы помещали свои координаты на график координат, вы могли бы нарисовать линии, чтобы показать, где вы можете видеть фигуру, однако не каждый раз, когда вы помещаете координаты на график как таковой, вы можете создать фигуру. У этой фигуры есть контур и граница, поэтому вы можете ее видеть, и это не просто обычные точки на обычной бумаге.

Анализ формы [ править ]

Вышеупомянутые математические определения жесткой и нежесткой формы возникли в области статистического анализа формы . В частности, анализ Прокруста — это метод, используемый для сравнения форм похожих объектов (например, костей разных животных) или измерения деформации деформируемого объекта. Другие методы предназначены для работы с нежесткими (сгибаемыми) объектами, например, для восстановления независимой от позы формы (см., например, Спектральный анализ формы ).

Классы сходства [ править ]

Все подобные треугольники имеют одинаковую форму. Эти формы можно классифицировать с использованием комплексных чисел $u$ , $v$ , $w$ для вершин в методе, предложенном Дж. А. Лестером. ^[5]и Рафаэль Арци . Например, равносторонний треугольник можно выразить комплексными числами 0, 1, (1 + i√3)/2, представляющими его вершины. Лестер и Артзи называют соотношение

S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}

форма треугольника

(u, v, w)

. Тогда форма равностороннего треугольника равна

{\frac {0-{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}}{0-1}}={\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}=\cos(60^{\circ })+i\sin(60^{\circ })=e^{i\pi /3}.

Для любого аффинного комплексной плоскости преобразования

z\mapsto az+b,\quad a\neq 0,

треугольник трансформируется, но не меняет своей формы. Следовательно, форма является инвариантом аффинной геометрии . Форма

p = S(u, v, w)

зависит от порядка аргументов функции S, но перестановки приводят к связанным значениям. Например,

1-p=1-{\frac {u-w}{u-v}}={\frac {w-v}{u-v}}={\frac {v-w}{v-u}}=S(v,u,w).

Также

p^{-1}=S(u,w,v).

Объединение этих перестановок дает

S(v,w,u)=(1-p)^{-1}.

Более того,

p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)={\frac {u-w}{v-w}}=S(w,v,u).

Эти отношения являются «правилами преобразования» формы треугольника.

Форма четырёхугольника связана с двумя комплексными числами $p$ , $q$ . Если четырехугольник имеет вершины $u$ , $v$ , $w$ , $x$ , то $p = S(u, v, w)$ и $q = S(v, w, x)$ . Артзи доказывает следующие положения о четырехугольных формах:

Если $p=(1-q)^{-1},$ тогда четырехугольник является параллелограммом .
Если параллелограмм имеет $| аргумент р | = | аргумент q |$ , то это ромб .
Когда $p = 1 + i$ и $q = (1 + i)/2$ , тогда четырёхугольник квадратный .
Если $p=r(1-q^{-1})$ и $sn r = sn(Im p)$ , то четырехугольник является трапецией .

Многоугольник $(z_{1},z_{2},...z_{n})$ имеет форму, определяемую n - 2 комплексными числами $S(z_{j},z_{j+1},z_{j+2}),\ j=1,...,n-2.$ Многоугольник ограничивает выпуклое множество , когда все эти компоненты формы имеют мнимые компоненты одного знака. ^[6]

Человеческое восприятие форм [ править ]

Человеческое зрение опирается на широкий спектр представлений форм. ^[7]^[8] Некоторые психологи предполагают, что люди мысленно разбивают изображения на простые геометрические фигуры (например, конусы и сферы), называемые геонами . ^[9] Другие предположили, что формы разлагаются на характеристики или измерения, которые описывают то, как формы имеют тенденцию меняться, например, их сегментируемость , компактность и остроконечность . ^[10] Однако при сравнении сходства форм необходимо как минимум 22 независимых измерения, чтобы учесть различия естественных форм. ^[7]

Есть также явные доказательства того, что формы направляют человеческое внимание . ^[11]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Кендалл, генеральный директор (1984). «Многообразия форм, прокрустовы метрики и комплексные проективные пространства». Бюллетень Лондонского математического общества . 16 (2): 81–121. дои : 10.1112/blms/16.2.81 .
^ Кендалл, генеральный директор (1984). «Многообразия форм, прокрустовы метрики и комплексные проективные пространства» (PDF) . Бюллетень Лондонского математического общества . 16 (2): 81–121. дои : 10.1112/blms/16.2.81 .
^ Здесь масштаб означает только равномерное масштабирование , поскольку неравномерное масштабирование изменит форму объекта (например, превратит квадрат в прямоугольник).
^ Хаббард, Джон Х.; Уэст, Беверли Х. (1995). Дифференциальные уравнения: подход динамических систем. Часть II: Многомерные системы . Тексты по прикладной математике. Том. 18. Спрингер. п. 204. ИСБН 978-0-387-94377-0 .
^ Дж. А. Лестер (1996) «Треугольники I: формы», Математические уравнения 52: 30–54
^ Рафаэль Арци (1994) «Формы многоугольников», Journal of Geometry 50 (1–2): 11–15
^ Перейти обратно: ^а ^б Моргенштерн, Янив; Хартманн, Фридер; Шмидт, Филипп; Тидеманн, Хеннинг; Прокотт, Юджин; Майелло, Гвидо; Флеминг, Роланд (2021). «Вычислимая по изображению модель визуального сходства форм» . PLOS Вычислительная биология . 17 (6): 34. doi : 10.1371/journal.pcbi.1008981 . ПМЦ 8195351 . ПМИД 34061825 .
^ Андреопулос, Александр; Цоцос, Джон К. (2013). «50 лет распознавания объектов: направления вперед». Компьютерное зрение и понимание изображений . 117 (8): 827–891. дои : 10.1016/j.cviu.2013.04.005 .
^ Марр, Д., и Нишихара, Х. (1978). Представление и распознавание пространственной организации трехмерных фигур. Труды Лондонского королевского общества, 200, 269–294.
^ Хуан, Лицян (2020). «Пространство превнимательных особенностей формы» . Журнал видения . 20 (4): 10. дои : 10.1167/jov.20.4.10 . ПМЦ 7405702 . ПМИД 32315405 .
^ Александр, РГ; Шмидт, Дж.; Зелинский, Г.З. (2014). «Достаточно ли сводной статистики? Доказательства важности формы для управления визуальным поиском» . Визуальное познание . 22 (3–4): 595–609. дои : 10.1080/13506285.2014.890989 . ПМК 4500174 . ПМИД 26180505 .

Внешние ссылки [ править ]

Словарное определение формы в Викисловаре

[Kendall-1] Перейти обратно: ^а ^б Кендалл, генеральный директор (1984). «Многообразия форм, прокрустовы метрики и комплексные проективные пространства». Бюллетень Лондонского математического общества . 16 (2): 81–121. дои : 10.1112/blms/16.2.81 .

[2] Кендалл, генеральный директор (1984). «Многообразия форм, прокрустовы метрики и комплексные проективные пространства» (PDF) . Бюллетень Лондонского математического общества . 16 (2): 81–121. дои : 10.1112/blms/16.2.81 .

[3] Здесь масштаб означает только равномерное масштабирование , поскольку неравномерное масштабирование изменит форму объекта (например, превратит квадрат в прямоугольник).

[4] Хаббард, Джон Х.; Уэст, Беверли Х. (1995). Дифференциальные уравнения: подход динамических систем. Часть II: Многомерные системы . Тексты по прикладной математике. Том. 18. Спрингер. п. 204. ИСБН 978-0-387-94377-0 .

[5] Дж. А. Лестер (1996) «Треугольники I: формы», Математические уравнения 52: 30–54

[6] Рафаэль Арци (1994) «Формы многоугольников», Journal of Geometry 50 (1–2): 11–15

[ShapeComp-7] Перейти обратно: ^а ^б Моргенштерн, Янив; Хартманн, Фридер; Шмидт, Филипп; Тидеманн, Хеннинг; Прокотт, Юджин; Майелло, Гвидо; Флеминг, Роланд (2021). «Вычислимая по изображению модель визуального сходства форм» . PLOS Вычислительная биология . 17 (6): 34. doi : 10.1371/journal.pcbi.1008981 . ПМЦ 8195351 . ПМИД 34061825 .

[8] Андреопулос, Александр; Цоцос, Джон К. (2013). «50 лет распознавания объектов: направления вперед». Компьютерное зрение и понимание изображений . 117 (8): 827–891. дои : 10.1016/j.cviu.2013.04.005 .

[9] Марр, Д., и Нишихара, Х. (1978). Представление и распознавание пространственной организации трехмерных фигур. Труды Лондонского королевского общества, 200, 269–294.

[10] Хуан, Лицян (2020). «Пространство превнимательных особенностей формы» . Журнал видения . 20 (4): 10. дои : 10.1167/jov.20.4.10 . ПМЦ 7405702 . ПМИД 32315405 .

[11] Александр, РГ; Шмидт, Дж.; Зелинский, Г.З. (2014). «Достаточно ли сводной статистики? Доказательства важности формы для управления визуальным поиском» . Визуальное познание . 22 (3–4): 595–609. дои : 10.1080/13506285.2014.890989 . ПМК 4500174 . ПМИД 26180505 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]