Спектральный анализ формы

Анализ спектральной формы опирается на спектр ( собственные значения и/или собственные функции ) оператора Лапласа-Бельтрами для сравнения и анализа геометрических форм. Поскольку спектр оператора Лапласа-Бельтрами инвариантен относительно изометрий , он хорошо подходит для анализа или поиска нежестких форм, то есть сгибаемых объектов, таких как люди, животные, растения и т. д.

Лаплас

Оператор Лапласа-Бельтрами участвует во многих важных дифференциальных уравнениях, таких как уравнение теплопроводности и волновое уравнение . можно определить на римановом многообразии как дивергенцию градиента Его действительной функции f :

$\Delta f:=\operatorname {div} \operatorname {grad} f.$

Его спектральные компоненты можно вычислить, решив уравнение Гельмгольца (или проблему собственных значений Лапласа):

$\Delta \varphi _{i}+\lambda _{i}\varphi _{i}=0.$

Решениями являются собственные функции $\varphi _{i}$ (моды) и соответствующие им собственные значения $\lambda _{i}$, представляющий расходящиеся последовательности положительных действительных чисел. Первое собственное значение равно нулю для закрытых областей или при использовании граничного условия Неймана . Для некоторых форм спектр можно вычислить аналитически (например, прямоугольник, плоский тор, цилиндр, диск или сфера). Например, для сферы собственными функциями являются сферические гармоники .

Наиболее важными свойствами собственных значений и собственных функций является то, что они являются инвариантами изометрии. Другими словами, если форма не растянута (например, лист бумаги согнут в третье измерение), спектральные значения не изменятся. Сгибаемые объекты, такие как животные, растения и люди, могут принимать различные позы тела с минимальным растяжением суставов. Полученные формы называются почти изометрическими, и их можно сравнивать с помощью спектрального анализа формы.

Дискретизация

Геометрические фигуры часто представляются в виде двумерных изогнутых поверхностей, двумерных поверхностных сеток (обычно треугольных сеток ) или трехмерных твердых объектов (например, с использованием вокселей или сеток тетраэдров ). Уравнение Гельмгольца можно решить для всех этих случаев. Если граница существует, например, квадрат или объем любой трехмерной геометрической фигуры, необходимо указать граничные условия.

Существует несколько дискретизаций оператора Лапласа (см. Дискретный оператор Лапласа ) для различных типов представлений геометрии. Многие из этих операторов плохо аппроксимируют базовый непрерывный оператор.

Дескрипторы спектральных форм

ее

ShapeDNA — один из первых дескрипторов спектральных форм. Это нормализованная начальная последовательность собственных значений оператора Лапласа – Бельтрами. Его основными преимуществами являются простое представление (вектор чисел) и сравнение, масштабная инвариантность и, несмотря на простоту, очень хорошая производительность для восстановления нежестких форм. Конкуренты shapeDNA включают сингулярные значения матрицы геодезических расстояний (SD-GDM). и уменьшенная матрица бигармонических расстояний (R-BiHDM). Однако собственные значения являются глобальными дескрипторами, поэтому shapeDNA и другие глобальные спектральные дескрипторы не могут использоваться для локального или частичного анализа формы.

Сигнатура глобальной точки (GPS)

Глобальная подпись точки в какой-то момент $x$ представляет собой вектор масштабированных собственных функций оператора Лапласа – Бельтрами, вычисленный при $x$ (т.е. спектральное вложение формы). GPS является глобальной функцией в том смысле, что ее нельзя использовать для частичного сопоставления форм.

Сигнатура теплового ядра (HKS)

Сигнатура теплового ядра использует собственное разложение теплового ядра :

$h_{t}(x,y)=\sum _{i=0}^{\infty }\exp(-\lambda _{i}t)\varphi _{i}(x)\varphi _{i}(y).$

Для каждой точки поверхности диагональ теплового ядра $h_{t}(x,x)$ выборка производится в определенные значения времени $t_{j}$ и дает локальную подпись, которую также можно использовать для частичного сопоставления или обнаружения симметрии.

Сигнатура ядра Wave (WKS)

ВКС следует той же идее, что и HKS, заменяя уравнение теплопроводности волновым уравнением Шредингера.

сигнатура ядра волны (

ИВКС улучшает WKS для поиска нежестких форм за счет введения новой функции масштабирования к собственным значениям и агрегирования нового члена кривизны.

графа (SGWS

SGWS — это локальный дескриптор, который не только является изометрическим инвариантом, но и компактен, прост в вычислении и сочетает в себе преимущества как полосовых фильтров, так и фильтров нижних частот. Важным аспектом SGWS является возможность объединить преимущества WKS и HKS в одной подписи, обеспечивая при этом представление фигур в множественном разрешении.

Спектральное сопоставление

Спектральное разложение графа Лапласа, связанного со сложными формами (см. Дискретный оператор Лапласа ), дает собственные функции (моды), которые инвариантны к изометриям. Каждая вершина фигуры может быть однозначно представлена ​​комбинацией собственных модальных значений в каждой точке, иногда называемых спектральными координатами:

$s(x)=(\varphi _{1}(x),\varphi _{2}(x),\ldots ,\varphi _{N}(x)){\text{ for vertex }}x.$

Спектральное сопоставление состоит в установлении соответствий точек путем объединения вершин разных фигур, имеющих наиболее схожие спектральные координаты. Ранние работы сосредоточился на редких соответствиях для стереоскопии. Эффективность вычислений теперь обеспечивает плотные соответствия на полных сетках, например, между кортикальными поверхностями. Спектральное сопоставление также можно использовать для сложной нежесткой регистрации изображений , что особенно сложно, когда изображения имеют очень большие деформации. Такие способы регистрации изображений, основанные на собственных модальных значениях спектра, действительно фиксируют глобальные характеристики формы и контрастируют с традиционными нежесткими способами регистрации изображений, которые часто основаны на локальных характеристиках формы (например, градиентах изображения).