Уравнение Гельмгольца

В математике уравнение Гельмгольца — это проблема собственных значений оператора Лапласа . Это соответствует эллиптическому уравнению в частных производных : $$\nabla ^{2}f=-k^{2}f,$$где ∇ ² – оператор Лапласа, k ² — собственное значение, а f — (собственная) функция. Когда уравнение применяется к волнам, k называется волновым числом . Уравнение Гельмгольца имеет множество применений в физике и других науках, включая волновое уравнение , уравнение диффузии и уравнение Шрёдингера для свободной частицы.

В оптике уравнение Гельмгольца — волновое уравнение для электрического поля .

Уравнение названо в честь Германа фон Гельмгольца , изучавшего его в 1860 году.

Мотивация и использование

Уравнение Гельмгольца часто возникает при изучении физических проблем, включающих уравнения в частных производных (ЧДУ) как в пространстве, так и во времени. Уравнение Гельмгольца, которое представляет собой независимую от времени форму волнового уравнения , является результатом применения метода разделения переменных для уменьшения сложности анализа.

Например, рассмотрим волновое уравнение $$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.$$

Разделение переменных начинается с предположения, что волновая функция u ( r , t ) на самом деле разделима: $$u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).$$

Подставив эту форму в волновое уравнение и затем упростив, получим следующее уравнение: $${\frac {\nabla ^{2}A}{A}}={\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}.$$

Обратите внимание, что выражение в левой части зависит только от r , тогда как правое выражение зависит только от t . В результате это уравнение справедливо в общем случае тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны одному и тому же постоянному значению. Этот аргумент является ключевым в технике решения линейных уравнений в частных производных методом разделения переменных. Из этого наблюдения мы получаем два уравнения: одно для A ( r ) , другое для T ( t ): $${\frac {\nabla ^{2}A}{A}}=-k^{2}$$$${\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}=-k^{2},$$

где мы выбрали, не ограничивая общности, выражение − k ² по значению константы. (В равной степени допустимо использовать любую константу k в качестве константы разделения; − k ² выбрано только для удобства в получаемых решениях.)

Переставляя первое уравнение, получаем (однородное) уравнение Гельмгольца: $$\nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.$$

Аналогично, после замены ω = kc , где k — волновое число , а ω — угловая частота (в предположении монохроматического поля), второе уравнение принимает вид

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}\right)T=0.$$

Теперь у нас есть уравнение Гельмгольца для пространственной переменной r второго порядка и обыкновенное дифференциальное уравнение по времени. Решением во времени будет линейная комбинация функций синуса и косинуса , точный вид которых определяется начальными условиями, а вид решения в пространстве будет зависеть от граничных условий . Альтернативно, интегральные преобразования , такие как преобразование Лапласа или Фурье , часто используются для преобразования гиперболического УЧП в форму уравнения Гельмгольца.

Из-за своей связи с волновым уравнением уравнение Гельмгольца возникает в задачах таких областей физики , как исследование электромагнитного излучения , сейсмология и акустика .

Решение уравнения Гельмгольца с использованием разделения переменных

Решение пространственного уравнения Гельмгольца: $$\nabla ^{2}A=-k^{2}A$$можно получить для простых геометрий с помощью разделения переменных .

Вибрирующая мембрана

Двумерным аналогом колеблющейся струны является колеблющаяся мембрана, края которой зажаты для неподвижности. Уравнение Гельмгольца было решено для многих основных форм в 19 веке: прямоугольная мембрана Симеоном Дени Пуассоном в 1829 году, равносторонний треугольник Габриэлем Ламе в 1852 году и круглая мембрана Альфредом Клебшем в 1862 году. Эллиптический барабанный пластик изучал Эмиль . Матье , что приводит к дифференциальному уравнению Матье .

Если края фигуры представляют собой отрезки прямых, то решение интегрируемо или познаваемо в замкнутой форме только в том случае, если оно выражается как конечная линейная комбинация плоских волн, удовлетворяющих граничным условиям (ноль на границе, т. е. мембрана, зажатая ).

Если область представляет собой круг радиуса a , то уместно ввести полярные координаты r и θ . Уравнение Гельмгольца принимает вид $$A_{rr}+{\frac {1}{r}}A_{r}+{\frac {1}{r^{2}}}A_{\theta \theta }+k^{2}A=0.$$

Мы можем наложить граничное условие, согласно которому A обращается в нуль, если r = a ; таким образом $$A(a,\theta )=0.$$

метод разделения переменных приводит к пробным решениям вида $$A(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta ),$$где Θ должен быть периодическим с периодом 2 π . Это приводит к

$$\Theta ''+n^{2}\Theta =0,$$$$r^{2}R''+rR'+r^{2}k^{2}R-n^{2}R=0.$$

Из условия периодичности следует, что $$\Theta =\alpha \cos n\theta +\beta \sin n\theta ,$$и что n должно быть целым числом. Радиальная компонента R имеет вид $$R(r)=\gamma J_{n}(\rho ),$$где функция Бесселя J _n ( ρ ) удовлетворяет уравнению Бесселя $$\rho ^{2}J_{n}''+\rho J_{n}'+(\rho ^{2}-n^{2})J_{n}=0,$$и ρ = кр . Радиальная функция имеет _Jn каждого значения n , обозначаемого ρm _{n , бесконечно много корней для} . Граничное условие, согласно которому A обращается в нуль при r = a, будет выполняться, если соответствующие волновые числа будут иметь вид $$k_{m,n}={\frac {1}{a}}\rho _{m,n}.$$

Тогда общее решение A принимает форму обобщенного ряда Фурье , включающего произведения J _n ( km _,n r ) и синуса (или косинуса) nθ . Эти решения представляют собой формы вибрации круглого пластика барабана .

Трехмерные решения

В сферических координатах решение:

$$A(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(a_{\ell m}j_{\ell }(kr)+b_{\ell m}y_{\ell }(kr)\right)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).$$

Это решение возникает из пространственного решения волнового уравнения и уравнения диффузии . Здесь jℓ _kr ( kr ) и yℓ _— ( ) сферические функции Бесселя , а Y ^м
_ℓ ( θ , φ ) — сферические гармоники (Абрамовиц и Стегун, 1964). Обратите внимание, что эти формы являются общими решениями и требуют указания граничных условий для использования в каждом конкретном случае. Для бесконечных внешних областей условие радиации также может потребоваться (Зоммерфельд, 1949).

Записав r ₀ = ( x , y , z ) функция A ( r ₀ ) имеет асимптотику $$A(r_{0})={\frac {e^{ikr_{0}}}{r_{0}}}f\left({\frac {\mathbf {r} _{0}}{r_{0}}},k,u_{0}\right)+o\left({\frac {1}{r_{0}}}\right){\text{ as }}r_{0}\to \infty$$

где функция f называется амплитудой рассеяния, а ( _u0 r0 ) _в — значение A каждой граничной r0 _точке .

Трехмерные решения с заданной функцией на двумерной плоскости

Для двумерной плоскости, где известно значение A, решение уравнения Гельмгольца определяется выражением: $$A(x,y,z)=-{\frac {1}{2\pi }}\iint _{-\infty }^{+\infty }A'(x',y'){\frac {e^{ikr}}{r}}{\frac {z}{r}}\left(ik-{\frac {1}{r}}\right)\,dx'dy',$$

где

• $A'(x',y')$ - решение в двумерной плоскости,
• $r={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}},$

Когда z приближается к нулю, все вклады интеграла исчезают, за исключением r=0. Таким образом $A(x,y,0)=A'(x,y)$ до числового коэффициента, значение которого можно проверить как 1, преобразуя интеграл в полярные координаты $(\rho ,\theta )$.

Это решение важно в теории дифракции, например, при выводе дифракции Френеля .

Параксиальное приближение

Дополнительная информация: Медленно меняющаяся аппроксимация огибающей.

В параксиальном приближении уравнения Гельмгольца комплексная амплитуда A выражается как $$A(\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} )e^{ikz}$$где u представляет собой комплексную амплитуду, которая модулирует синусоидальную плоскую волну, представленную экспоненциальным коэффициентом. Тогда при подходящем предположении u приближенно решает $$\nabla _{\perp }^{2}u+2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}=0,$$где ${\textstyle \nabla _{\perp }^{2}{\overset {\text{ def }}{=}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}}$ является поперечной частью лапласиана .

Это уравнение имеет важные применения в науке об оптике , где оно дает решения, описывающие распространение электромагнитных волн (света) в форме либо параболоидных волн, либо гауссовских лучей . Большинство лазеров излучают лучи такой формы.

Предположение, при котором справедливо параксиальное приближение, состоит в том, что производная по z амплитудной функции u является медленно меняющейся функцией z :

$$\left|{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|k{\frac {\partial u}{\partial z}}\right|.$$

Это условие эквивалентно тому, что угол θ между волновым вектором k и оптической осью z мал: θ ≪ 1 .

Параксиальная форма уравнения Гельмгольца находится подстановкой приведенного выше выражения для комплексной амплитуды в общий вид уравнения Гельмгольца следующим образом:

$$\nabla ^{2}(u\left(x,y,z\right)e^{ikz})+k^{2}u\left(x,y,z\right)e^{ikz}=0.$$

Расширение и аннулирование дает следующее:

$$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)u(x,y,z)e^{ikz}+\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}u(x,y,z)\right)e^{ikz}+2\left({\frac {\partial }{\partial z}}u(x,y,z)\right)ik{e^{ikz}}=0.$$

Ввиду сформулированного выше параксиального неравенства ∂ ² в /∂ z ² слагаемым пренебрегают по сравнению с слагаемым k ·∂ u /∂ z . Это дает параксиальное уравнение Гельмгольца. Подставив ты ( р ) знак равно А ( р ) е ^{− икз} затем дает параксиальное уравнение для исходной комплексной амплитуды A :

$$\nabla _{\perp }^{2}A+2ik{\frac {\partial A}{\partial z}}+2k^{2}A=0.$$

Интеграл дифракции Френеля является точным решением параксиального уравнения Гельмгольца.

Неоднородное уравнение Гельмгольца

Два источника излучения в плоскости, математически заданные функцией f , которая равна нулю в синей области.

Действительная часть результирующего поля A , A является решением неоднородного уравнения Гельмгольца (∇ ² + к ² ) А знак равно - ж .

Неоднородным уравнением Гельмгольца является уравнение $$\nabla ^{2}A(\mathbf {x} )+k^{2}A(\mathbf {x} )=-f(\mathbf {x} )\ {\text{ in }}\mathbb {R} ^{n},$$где ƒ : Р ^н → C — функция с компактным носителем и n = 1, 2, 3. Это уравнение очень похоже на экранированное уравнение Пуассона и было бы идентично, если бы знак плюс (перед членом k ) был заменен на минус знак.

Чтобы однозначно решить это уравнение, необходимо задать граничное условие на бесконечности, которым обычно является условие излучения Зоммерфельда.

$$\lim _{r\to \infty }r^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}-ik\right)A(\mathbf {x} )=0$$

в $n$ пространственные размеры для всех углов (т.е. любое значение $\theta ,\phi$). Здесь $r={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}$ где $x_{i}$ — координаты вектора $\mathbf {x}$.

При этом условии решение неоднородного уравнения Гельмгольца имеет вид

$$A(\mathbf {x} )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )f(\mathbf {x'} )\,\mathrm {d} \mathbf {x'}$$

(обратите внимание, что этот интеграл на самом деле относится к конечной области, поскольку f имеет компактный носитель). Здесь G — функция Грина этого уравнения, то есть решение неоднородного уравнения Гельмгольца с f, равным дельта-функции Дирака , поэтому G удовлетворяет условиям

$$\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )+k^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=-\delta (\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )\in \mathbb {R} ^{n}.$$

Выражение функции Грина зависит от размерности n пространства. У одного есть $$G(x,x')={\frac {ie^{ik|x-x'|}}{2k}}$$для n = 1 ,

$$G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )={\frac {i}{4}}H_{0}^{(1)}(k|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |)$$для n = 2 , где H ⁽¹⁾
₀ — функция Ганкеля , а $$G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )={\frac {e^{ik|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}$$для n = 3 . Заметим, что мы выбрали граничное условие, согласно которому функция Грина является уходящей волной при | х | → ∞ .

Наконец, для общего n

$$G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=c_{d}k^{p}{\frac {H_{p}^{(1)}(k|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |)}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{p}}}$$

где $p={\frac {n-2}{2}}$ и $c_{d}={\frac {1}{2i(2\pi )^{p}}}$.

См. также

• Уравнение Лапласа (частный случай уравнения Гельмгольца)
• Расширение Вейля

Ссылки

• Бланш, Пьер-Александр (2014). Полевое руководство по голографии . Беллингем, Вашингтон, США: Международное общество оптической инженерии SPIE. ISBN  978-0-8194-9957-8 .
• Энгквист, Бьёрн; Чжао, Хункай (2018). «Приблизительная разделимость функции Грина уравнения Гельмгольца в пределе высоких частот». Сообщения по чистой и прикладной математике . 71 (11): 2220–2274. дои : 10.1002/cpa.21755 . ISSN   0010-3640 .
• Гудман, Джозеф В. (1996). Введение в оптику Фурье . Нью-Йорк: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. ISBN  978-0-07-024254-8 .
• Грелла, Р. (1982). «Распространение и дифракция Френеля и уравнение параксиальной волны». Журнал оптики . 13 (6): 367–374. дои : 10.1088/0150-536X/13/6/006 . ISSN   0150-536X .
• Мехрабхани, Сохейл; Шнайдер, Томас (2017). «Всегда ли дифракция Рэлея-Зоммерфельда является точным эталоном для алгоритмов высокоскоростной дифракции?». Оптика Экспресс . 25 (24): 30229-30240. arXiv : 1709.09727 . дои : 10.1364/OE.25.030229 . ISSN   1094-4087 .
• Ноубл, Бен (1958). Методы решения уравнений в частных производных, основанные на методе Винера-Хопфа . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис США. ISBN  978-0-8284-0332-0 .

Дальнейшее чтение

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен, ред. (1964). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-61272-0 .

• Райли, К.Ф.; Хобсон, член парламента; Бенс, SJ (2002). «Глава 19». Математические методы в физике и технике . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-89067-0 .

• Райли, К.Ф. (2002). «Глава 16». Математические методы для ученых и инженеров . Саусалито, Калифорния: Университетские научные книги. ISBN  978-1-891389-24-5 .

• Салех, Бахаа Э.А.; Тейх, Малвин Карл (1991). «Глава 3». Основы фотоники . Серия Уайли по чистой и прикладной оптике. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 80–107. ISBN  978-0-471-83965-1 .

• Зоммерфельд, Арнольд (1949). «Глава 16». Уравнения в частных производных в физике . Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN  978-0126546569 .

• Хау, MS (1998). Акустика взаимодействия жидкости со структурами . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-63320-8 .

Внешние ссылки

• Уравнение Гельмгольца в EqWorld: мир математических уравнений.
• «Уравнение Гельмгольца» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вибрирующая круглая мембрана Сэма Блейка, Демонстрационный проект Wolfram .
• Функции Грина для волны, уравнения Гельмгольца и Пуассона в двумерной безграничной области