Радиационное состояние Зоммерфельда

В прикладной математике и теоретической физике — условие излучения Зоммерфельда понятие из теории дифференциальных уравнений и теории рассеяния , используемое для выбора конкретного решения уравнения Гельмгольца . Его представил Арнольд Зоммерфельд в 1912 году. и тесно связан с принципом предельного поглощения (1905 г.) и принципом предельной амплитуды (1948 г.).

Граничное условие, установленное этим принципом, по существу выбирает решение некоторых волновых уравнений, которое распространяется только наружу от известных источников. Вместо этого он позволяет произвольным волнам, приходящим из бесконечности, распространяться внутрь, вместо этого отвлекает от них.

Теорема, наиболее подкрепленная этим условием, справедлива только в трех пространственных измерениях. В двух случаях оно разрушается, потому что волновое движение не сохраняет свою силу в квадрате радиуса. С другой стороны, в пространственных измерениях четыре и выше мощность волнового движения падает с расстоянием гораздо быстрее.

Формулировка

Арнольд Зоммерфельд определил условие излучения скалярного поля, удовлетворяющего уравнению Гельмгольца, как

«Источники должны быть источниками, а не стоками энергии. Энергия, излучаемая источниками, должна рассеиваться до бесконечности; никакая энергия не может излучаться из бесконечности в... поле».

Математически рассмотрим неоднородное уравнение Гельмгольца

$(\nabla ^{2}+k^{2})u=-f{\text{ in }}\mathbb {R} ^{n}$

где $n=2,3$ это размерность пространства, $f$ — заданная функция с компактным носителем, представляющая ограниченный источник энергии, и $k>0$ является константой, называемой волновым числом . Решение $u$ этому уравнению называется излучающим , если оно удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда

$\lim _{|x|\to \infty }|x|^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial |x|}}-ik\right)u(x)=0$

равномерно во всех направлениях

${\hat {x}}={\frac {x}{|x|}}$

(выше, $i$ является мнимой единицей и $|\cdot |$ – евклидова норма ). Здесь предполагается, что поле временной гармоники равно $e^{-i\omega t}u.$ Если вместо этого поле гармоники времени $e^{i\omega t}u,$ следует заменить $-i$ с $+i$ в условиях излучения Зоммерфельда.

Условие излучения Зоммерфельда используется для однозначного решения уравнения Гельмгольца. Например, рассмотрим задачу об излучении от точечного источника. $x_{0}$ в трех измерениях, поэтому функция $f$ в уравнении Гельмгольца есть $f(x)=\delta (x-x_{0}),$ где $\delta$ – дельта-функция Дирака . Эта задача имеет бесконечное множество решений, например, любая функция вида

$u=cu_{+}+(1-c)u_{-}\,$

где $c$ является константой, и

$u_{\pm }(x)={\frac {e^{\pm ik|x-x_{0}|}}{4\pi |x-x_{0}|}}.$

Из всех этих решений только $u_{+}$ удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда и соответствует полю, исходящему из $x_{0}.$ Остальные решения нефизичны. . Например, $u_{-}$ можно интерпретировать как энергию, исходящую из бесконечности и опускающуюся в $x_{0}.$

См. также

• Принцип предельного поглощения
• Принцип ограничения амплитуды
• Безрадиационные условия

Ссылки

• Зоммерфельд, А. (1912). «Функция Грина уравнения вибрации» . Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков . 21 :309-352. ISSN   0012-0456 .
• Зоммерфельд, Арнольд (1967). Уравнения в частных производных в физике . ISBN  0-12-654656-8 .
• Мартин, Пенсильвания (2006). Множественное рассеяние: взаимодействие волн гармоники времени с N препятствиями . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9780511735110 . ISBN  978-0-521-86554-8 .
• Шот, Стивен Х (1992). «Восемьдесят лет радиационного состояния Зоммерфельда». История Математики . 19 (4): 385–401. дои : 10.1016/0315-0860(92)90004-У .

Внешние ссылки

• А.Г. Свешников (2001) [1994], «Радиационные условия» , Энциклопедия Математики , EMS Press