Медленно меняющаяся аппроксимация огибающей

«СВЕА» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Svea .

В физике . медленно меняющаяся аппроксимация огибающей ( SVEA , иногда также называемое медленно меняющейся асимметричной аппроксимацией или SVAA ) — это предположение, что огибающая импульса идущей вперед волны медленно меняется во времени и пространстве по сравнению с периодом или длиной волны . Для этого требуется, чтобы спектр сигнала был узкополосным , поэтому его также называют узкополосным приближением .

Приближение медленно меняющейся огибающей часто используется, поскольку полученные уравнения во многих случаях легче решить, чем исходные уравнения, что снижает порядок - всех или некоторых - частных производных высшего порядка . Однако обоснованность сделанных предположений должна быть обоснована.

Пример

Например, рассмотрим уравнение электромагнитной волны :

$$\nabla ^{2}E-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}=0\,,$$

где $c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}~.$

Если k ₀ и ω ₀ являются волновым числом и угловой частотой (характеристической) несущей волны для сигнала E ( r , t ) , полезно следующее представление:

$$E(\mathbf {r} ,t)=\operatorname {\operatorname {Re} } \left[E_{0}(\mathbf {r} ,t)\,e^{i(\mathbf {k} _{0}\cdot \mathbf {r} -\omega _{0}t)}\right],$$

где $\operatorname {Re} [\,\cdot \,]$ обозначает действительную часть величины в скобках, а $i^{2}\equiv -1.$

В приближении медленно меняющейся огибающей (SVEA) предполагается, что комплексная амплитуда E ₀ ( r , t ) меняется только медленно с r и t . Это по своей сути означает, что E ( r , t ) представляет собой волны, распространяющиеся вперед, преимущественно в направлении k ₀ . В результате медленного изменения E ₀ ( r , t ) при взятии производных производными высшего порядка можно пренебречь:

$\left|\nabla ^{2}E_{0}\right|\ll \left|\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}\right|$   и   $\left|{\frac {\partial ^{2}E_{0}}{\partial t^{2}}}\right|\ll \left|\omega _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}\right|,$   с   $k_{0}\equiv \left|\mathbf {k} _{0}\right|.$

Полное приближение

Следовательно, волновое уравнение аппроксимируется в SVEA следующим образом:

$$2i\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+{\frac {2i\omega _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-\left(k_{0}^{2}-{\frac {\omega _{0}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{0}=0~.$$

Удобно выбрать k ₀ и ω ₀ такими, чтобы они удовлетворяли дисперсионному уравнению :

$$k_{0}^{2}-{\frac {\omega _{0}^{2}}{c^{2}}}=0~.$$

Это дает следующее приближение к волновому уравнению в результате приближения медленно меняющейся огибающей:

$$\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+{\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}=0~.$$

Это гиперболическое уравнение в частных производных , подобное исходному волновому уравнению, но теперь первого порядка, а не второго. Это справедливо для когерентных волн, распространяющихся вперед в направлениях, близких к направлению k ₀ . Пространственные и временные масштабы, в которых изменяется E _0, обычно намного длиннее пространственной длины волны и временного периода несущей волны. Таким образом, численное решение уравнения огибающей может использовать гораздо большие шаги по пространству и времени, что приводит к значительно меньшим вычислительным затратам.

Параболическое приближение

Предположим, что распространение волн происходит преимущественно в направлении z , и k ₀ принимается в этом направлении. SVEA применяется только к пространственным производным второго порядка по оси z и времени. Если $\Delta _{\perp }\equiv \partial ^{2}/\partial x^{2}+\partial ^{2}/\partial y^{2}$ — оператор Лапласа в плоскости x × y , результат:

$$k_{0}{\frac {\partial E_{0}}{\partial z}}+{\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\,i\,\Delta _{\perp }E_{0}=0~.$$

Это параболическое уравнение в частных производных . Это уравнение имеет повышенную достоверность по сравнению с полным SVEA: оно представляет волны, распространяющиеся в направлениях, значительно отличающихся от направления z .

Альтернативный срок действия

В одномерном случае еще одним достаточным условием справедливости SVEA является

$\ell _{\mathsf {g}}\gg \lambda$   и   $\ell _{\mathsf {p}}\gg \lambda \left(1-{\frac {v}{c}}\right)\,,$   с   $\lambda ={\frac {2\pi }{k_{0}}}\,,$

где $\ell _{\mathsf {g}}$ – длина, на которой усиливается импульс излучения, $\ell _{\mathsf {p}}$ ширина импульса и $v$ – групповая скорость излучающей системы.

Эти условия гораздо менее ограничительны в релятивистском пределе, где ${\frac {v}{c}}$ близко к 1, как в лазере на свободных электронах , по сравнению с обычными условиями, необходимыми для достоверности SVEA.

См. также

• Ультракороткий импульс
• Приближение ВКБ