Конверт (волны)

В физике и технике огибающая очерчивающую осциллирующего сигнала плавную представляет собой кривую, его крайние значения. Таким образом, огибающая обобщает концепцию постоянной амплитуды до мгновенной амплитуды . На рисунке показана модулированная синусоидальная волна , варьирующая между верхней и нижней огибающей . Огибающая функция может быть функцией времени, пространства, угла или любой переменной.

Огибающая модулированной синусоидальной волны.

В биении волн

Модулированная волна, возникающая в результате сложения двух синусоидальных волн одинаковой амплитуды и почти одинаковой длины волны и частоты.

Распространенной ситуацией, приводящей к образованию огибающей функции как в пространстве x , так и во времени t, является суперпозиция двух волн почти одинаковой длины волны и частоты:

${\begin{aligned}F(x,\ t)&=\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda -\Delta \lambda }}-(f+\Delta f)t\right)\right]+\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda +\Delta \lambda }}-(f-\Delta f)t\right)\right]\\[6pt]&\approx 2\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\right]\ \sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\right]\end{aligned}}$

которая использует тригонометрическую формулу сложения двух синусоид и приближение Δ λ ≪ λ :

${\frac {1}{\lambda \pm \Delta \lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\ {\frac {1}{1\pm \Delta \lambda /\lambda }}\approx {\frac {1}{\lambda }}\mp {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}.$

Здесь длина волны модуляции λ _mod определяется выражением:

$\lambda _{\rm {mod}}={\frac {\lambda ^{2}}{\Delta \lambda }}\ .$

Длина волны модуляции в два раза больше длины самой огибающей, поскольку каждая полудлина модулирующей косинусоидальной волны определяет как положительные, так и отрицательные значения модулированной синусоидальной волны. Точно так же частота биений равна частоте огибающей, в два раза превышающей частоту модулирующей волны, или 2Δ f .

Если эта волна является звуковой волной, ухо слышит частоту, связанную с f, и амплитуда этого звука меняется в зависимости от частоты ударов.

и

См. Также: Волна § Фазовая скорость и групповая скорость.

Красный квадрат движется с фазовой скоростью , а зеленые кружки распространяются с групповой скоростью .

Аргумент синусоиды, приведенной выше, за исключением коэффициента 2 π , таков:

$\xi _{C}=\left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\ ,$

$\xi _{E}=\left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\ ,$

с индексами C и E , относящимися к перевозчику и конверту . Одна и та же амплитуда F волны _{является результатом одних и тех же значений ξ C} и ξ _E , каждое из которых само может вернуться к одному и тому же значению при разных, но правильно связанных вариантах выбора x и t . Эта инвариантность означает, что можно отслеживать эти формы сигналов в пространстве, чтобы определить скорость положения фиксированной амплитуды по мере ее распространения во времени; Чтобы аргумент несущей волны оставался прежним, необходимо выполнить следующее условие:

$\left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)=\left({\frac {x+\Delta x}{\lambda }}-f(t+\Delta t)\right)\ ,$

который показывает, что для сохранения постоянной амплитуды расстояние Δ x связано с временным интервалом Δ t так называемой фазовой скоростью v _p

$v_{\rm {p}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda f\ .$

С другой стороны, те же соображения показывают, что огибающая распространяется с так называемой групповой скоростью v _g :

$v_{\rm {g}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda _{\rm {mod}}\Delta f=\lambda ^{2}{\frac {\Delta f}{\Delta \lambda }}\ .$

Более распространенное выражение для групповой скорости получается путем введения волнового вектора k :

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}\ .$

Мы замечаем, что для небольших изменений Δ λ величина соответствующего небольшого изменения волнового вектора, скажем Δ k , равна:

$\Delta k=\left|{\frac {dk}{d\lambda }}\right|\Delta \lambda =2\pi {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}\ ,$

поэтому групповую скорость можно переписать как:

$v_{\rm {g}}={\frac {2\pi \Delta f}{\Delta k}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta k}}\ ,$

где ω — частота в радианах/с: ω = 2 π f . Во всех средах частота и волновой вектор связаны дисперсионным соотношением ω : = ω ( k ), а групповую скорость можно записать

$v_{\rm {g}}={\frac {d\omega (k)}{dk}}\ .$

Дисперсионное соотношение ω=ω( k ) для некоторых волн, соответствующих колебаниям решетки в GaAs.

В такой среде, как классический вакуум, дисперсионное уравнение для электромагнитных волн имеет вид:

$\omega =c_{0}k$

где c ₀ — скорость света в классическом вакууме. В этом случае фазовая и групповая скорости равны c ₀ .

В так называемых дисперсионных средах закон дисперсии может быть сложной функцией волнового вектора, а фазовая и групповая скорости не совпадают. Например, для нескольких типов волн, проявляемых колебаниями атомов ( фононов ) в GaAs , на рисунке показаны дисперсионные соотношения для различных направлений волнового вектора k . В общем случае фазовая и групповая скорости могут иметь разные направления.

В приближении функции

См. также: теория возмущений k·p.

Вероятности электронов в двух нижних квантовых состояниях квантовой ямы GaAs размером 160 Å в GaAs- GaAlAs гетероструктуре , рассчитанные на основе огибающих функций.

В физике конденсированного состояния энергии собственная функция подвижного носителя заряда в кристалле может быть выражена как волна Блоха :

$\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,$

где n — индекс зоны (например, зоны проводимости или валентной зоны), r — пространственное положение, а k — волновой вектор . Экспонента представляет собой синусоидально меняющуюся функцию, соответствующую медленно меняющейся огибающей, модулирующей быстро меняющуюся часть волновой функции un _{, , k} описывающую поведение волновой функции вблизи ядер атомов решетки. Огибающая ограничена значениями k в диапазоне, ограниченном зоной Бриллюэна кристалла, и это ограничивает то, насколько быстро она может меняться в зависимости от местоположения r .

При определении поведения носителей с помощью квантовой механики , приближение огибающей обычно используется в котором уравнение Шредингера упрощается и относится только к поведению оболочки, а граничные условия применяются непосредственно к огибающей функции, а не к полной волновая функция. Например, волновая функция носителя, захваченного вблизи примеси, определяется огибающей функцией F , которая определяет суперпозицию функций Блоха:

$\psi (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,$

где фурье-компоненты огибающей F ( k ) находятся из приближенного уравнения Шрёдингера. В некоторых приложениях периодическая часть uk _k заменяется ее значением вблизи края зоны, скажем, = k 0 _, и тогда:

$\psi (\mathbf {r} )\approx \left(\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }\right)u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )=F(\mathbf {r} )u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )\ .$

В дифракционных картинах

Дифракционная картина двойной щели имеет однощелевую огибающую.

Картины дифракции от нескольких щелей имеют огибающую, определяемую картиной дифракции на одной щели. Для одной щели шаблон определяется следующим образом:

$I_{1}=I_{0}\sin ^{2}\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)^{2}\ ,$

где α — угол дифракции, d — ширина щели, λ — длина волны. Для нескольких прорезей шаблон

$I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,$

где q — количество щелей, а g — постоянная решетки. Первый фактор, результат I ₁ для одной щели , модулирует более быстро меняющийся второй фактор, который зависит от количества щелей и расстояния между ними.

Оценка

Детектор огибающей — это схема , которая пытается извлечь огибающую из аналогового сигнала .

При цифровой обработке сигналов огибающая может быть оценена с использованием преобразования Гильберта или движущейся среднеквадратичной амплитуды .

См. также

• Аналитический сигнал § Комплексная огибающая/модулирующая полоса
• Разложение по эмпирическому моду
• Конверт (математика)
• Отслеживание конвертов
• Мгновенная фаза
• Модуляция
• Математика колебаний
• Пиковая мощность огибающей
• Спектральная оболочка

Ссылки

Эта статья включает в себя материал из статьи Citizendium « Функция конверта », которая лицензируется по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported, но не по GFDL .