Параболическое уравнение в частных производных

Параболическое уравнение в частных производных — это разновидность уравнения в частных производных (УЧП). Параболические PDE используются для описания широкого спектра зависящих от времени явлений, включая теплопроводность , диффузию частиц и ценообразование на производные инвестиционные инструменты .

Определение [ править ]

Чтобы определить простейший вид параболического УЧП, рассмотрим функцию с действительным знаком. $u(x,y)$ двух независимых действительных переменных, $x$ и $y$ . порядка Линейный УЧП с постоянным коэффициентом второго для $u$ принимает форму

Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0,

и это УЧП классифицируется как параболическое, если коэффициенты удовлетворяют условию

B^{2}-AC=0.

Обычно $x$ представляет одномерное положение и $y$ представляет время, а УЧП решается с учетом заданных начальных и граничных условий. Уравнения с $B^{2}-AC<0$ называются эллиптическими, а те, у которых $B^{2}-AC>0$ являются гиперболическими . Название «параболический» используется потому, что предположение о коэффициентах такое же, как и условие для уравнения аналитической геометрии. $Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$ определить плоскую параболу .

Основным примером параболического УЧП является одномерное уравнение теплопроводности :

u_{t}=\alpha \,u_{xx},

где $u(x,t)$ это температура в данный момент $t$ и на позиции $x$ вдоль тонкого стержня и $\alpha$ – положительная константа ( температуропроводность ). Символ $u_{t}$ означает частную производную от $u$ относительно переменной времени $t$ и аналогично $u_{xx}$ является второй частной производной по $x$ . Для этого примера $t$ играет роль $y$ в общем линейном УЧП второго порядка: $A=\alpha$ , $E=-1$ , а остальные коэффициенты равны нулю.

Уравнение теплопроводности, грубо говоря, гласит, что температура в данный момент времени и в данной точке повышается или падает со скоростью, пропорциональной разнице между температурой в этой точке и средней температурой вблизи этой точки. Количество $u_{xx}$ измеряет, насколько температура далека от соответствия свойству среднего значения гармонических функций .

Понятие параболического PDE можно обобщить несколькими способами.Например, поток тепла через материальное тело определяется трехмерным уравнением теплопроводности :

u_{t}=\alpha \,\Delta u,

где

\Delta u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}

обозначает оператор Лапласа, действующий на $u$ . Это уравнение является прототипом многомерного параболического УЧП.

отмечая, что $-\Delta$ является эллиптическим оператором, что предполагает более широкое определение параболического УЧП:

u_{t}=-Lu,

где $L$ второго порядка — эллиптический оператор (имея в виду, что $L$ должен быть положительным ;случай, когда $u_{t}=+Lu$ рассматривается ниже).

Система уравнений в частных производных для вектора $u$ также может быть параболическим.Например, такая система скрыта в уравнении вида

\nabla \cdot (a(x)\nabla u(x))+b(x)^{\text{T}}\nabla u(x)+cu(x)=f(x)

если матрица-функция $a(x)$ имеет ядро размерности 1.

Параболические УЧП также могут быть нелинейными. Например, уравнение Фишера представляет собой нелинейный УЧП, который включает в себя тот же член диффузии, что и уравнение теплопроводности, но включает член линейного роста и член нелинейного затухания.

Решение [ править ]

При широких предположениях начально-краевая задача для линейного параболического УЧП имеет решение на все времена. Решение $u(x,t)$ , как функция $x$ на фиксированное время $t>0$ , как правило, более гладкая, чем исходные данные $u(x,0)=u_{0}(x)$ .

Для нелинейного параболического УЧП решение начально-краевой задачи может взорваться в сингулярность за конечный промежуток времени. Может быть трудно определить, существует ли решение на все времена, или понять возникающие особенности. Такие интересные вопросы возникают при решении гипотезы Пуанкаре с помощью потока Риччи . ^{[ нужна ссылка ]}

уравнение Обратное параболическое

Иногда встречается так называемая обратная параболическая УЧП , которая принимает вид $u_{t}=Lu$ (обратите внимание на отсутствие знака минус).

Начальная задача для обратного уравнения теплопроводности:

{\begin{cases}u_{t}=-\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{0\right\}.\end{cases}}

эквивалентно конечной задаче для обычного уравнения теплопроводности:

{\begin{cases}u_{t}=\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{T\right\}.\end{cases}}

Подобно задаче конечного значения для параболического УЧП, задача начального значения для обратного параболического УЧП обычно не является корректной (решения часто неограниченно растут за конечное время или даже не существуют). Тем не менее эти проблемы важны для изучения отражения особенностей решений различных других УЧП. ^[1]

Примеры [ править ]

См. также [ править ]

Автозавивка

Ссылки [ править ]

^ Тейлор, М.Е. (1975), "Отражение особенностей решений систем дифференциальных уравнений", Comm. Чистое приложение. Математика. , 28 (4): 457–478, CiteSeerX 10.1.1.697.9255 , doi : 10.1002/cpa.3160280403

Дальнейшее чтение [ править ]

Пертем, Бенуа (2015), Параболические уравнения в биологии: рост, реакция, движение и диффузия , Springer, ISBN 978-3-319-19499-8
Эванс, Лоуренс К. (2010) [1998], Уравнения в частных производных , Аспирантура по математике , том. 19 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , doi : 10.1090/gsm/019 , ISBN 978-0-8218-4974-3 , МР 2597943
«Параболическое уравнение в частных производных» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
«Параболическое уравнение в частных производных, численные методы» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Тейлор, М.Е. (1975), "Отражение особенностей решений систем дифференциальных уравнений", Comm. Чистое приложение. Математика. , 28 (4): 457–478, CiteSeerX 10.1.1.697.9255 , doi : 10.1002/cpa.3160280403

[1]